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単射と左逆写像

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写像の左逆写像

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、その終集合と始集合を逆にした写像\(g:B\rightarrow A\)を任意に選べば合成写像\(g\circ f:A\rightarrow A\)が常に定義可能です。合成写像の定義より、これはそれぞれの\(a\in A\)に対して、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( a\right) =g\left( f\left( a\right) \right) \in
A
\end{equation*}を像として定める写像です。特に、与えられた写像\(f:A\rightarrow B\)に対して、合成写像\(g\circ f:A\rightarrow A\)が恒等写像になるような写像\(g:B\rightarrow A\)が存在する場合には、すなわち、それぞれの\(a\in A\)に対して、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( a\right) =a
\end{equation*}を定めるような合成写像\(g\circ f\)を写像\(f\)とともに作れる写像\(g\)が存在する場合には、この\(g\)を\(f\)の左逆写像(left inverse mapping of \(f\))と呼びます。

恒等写像は\(I_{A}:A\rightarrow A\)と表記されます。恒等写像の定義より、これはそれぞれの\(a\in A\)に対して、\begin{equation*}I_{A}\left( a\right) =a
\end{equation*}を定めます。この表記を利用すると、写像\(f:A\rightarrow B\)の左逆写像とは、\begin{equation*}g\circ f=I_{A}
\end{equation*}を満たす写像\(g:B\rightarrow A\)として定義されます。

例(逆写像は左逆写像)
写像\(f:A\rightarrow B\)に対して、その逆写像\(f^{-1}:B\rightarrow A\)が存在するものとします。\(f\)の終集合と\(f^{-1}\)の定義域はともに\(B\)で一致するため合成写像\(f^{-1}\circ f:A\rightarrow A\)が定義可能です。さらに、順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)を任意に選んだとき、逆写像の定義より、\begin{equation}f\left( a\right) =b\Leftrightarrow f^{-1}\left( b\right) =a \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立ちます。以上を踏まえると、それぞれの\(a\in A\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( f^{-1}\circ f\right) \left( a\right) &=&f^{-1}\left( f\left(
a\right) \right) \quad \because \text{合成写像の定義} \\
&=&f^{-1}\left( b\right) \quad \because f\left( a\right) =b \\
&=&a\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため\(f^{-1}\circ f\)は恒等写像です。したがって\(f^{-1}\)は\(f\)の左逆写像です。つまり、写像\(f\)の逆写像\(f^{-1}\)が存在する場合、これは同時に\(f\)の左逆写像でもあります。

一般に、写像は左逆写像を持つとは限りません。以下の例から明らかです。

例(左逆写像を持たない写像)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{a,b,c\right\} \)に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。つまり、\(f\left( 1\right) =b\)かつ\(f\left( 2\right) =a\)かつ\(f\left( 3\right) =b\)です。

図:左逆写像を持たない写像
図:左逆写像を持たない写像

この写像\(f\)の左逆写像\(g:B\rightarrow A\)は存在しません。実際、写像\(g:B\rightarrow A\)を任意に選んだとき、合成写像\(g\circ f:A\rightarrow A\)に関して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( 1\right) &=&g\left( f\left( 1\right) \right)
=g\left( b\right) \\
\left( g\circ f\right) \left( 3\right) &=&g\left( f\left( 3\right) \right)
=g\left( b\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立ちますが、\(g\circ f\)が恒等写像であるためには\(g\left( b\right) =1\)と\(g\left( b\right) =3\)がともに成り立つ必要があり、これは\(g\)が写像であることと矛盾します。したがって\(g\circ f\)は恒等写像ではありません。任意の\(g\)について同様の議論が成立するため\(f\)の左逆写像が存在しないことが明らかになりました。

 

単射と左逆写像の関係

では、どのような写像が左逆写像を持つのでしょうか。先ほど例を通じて確認したように、与えられた写像の逆写像が存在する場合、それは同時に左逆写像であることが保証されます。ただ、逆写像が存在しない場合でも左逆写像が存在する状況は起こり得ます。以下の例から明らかです。

例(単射は左逆写像を持つ)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{a,b,c\right\} \)に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。つまり、\(f\left( 1\right) =b\)かつ\(f\left( 2\right) =a\)かつ\(f\left( 3\right) =c\)です。\(f\)は\(A\)のそれぞれの要素に対して異なる\(B\)の値を定めるため、この\(f\)は単射です。また、\(f\)が\(d\in B\)に対して定める逆像は\(f^{-1}\left( d\right) =\phi \)であるため逆写像\(f^{-1}\)は点\(b\)において定義不可能です。したがって逆写像\(f^{-1}:B\rightarrow A\)は存在しません。

図:単射
図:単射

写像\(g:B\rightarrow A\)を上の図のように定義します。つまり、\(g\left( a\right) =2\)かつ\(g\left( b\right) =1\)かつ\(g\left( c\right) =3\)かつ\(g\left( d\right) =3\)です。このとき、合成関数\(g\circ f:A\rightarrow A\)は、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( 1\right) &=&g\left( f\left( 1\right) \right)
=g\left( b\right) =1 \\
\left( g\circ f\right) \left( 2\right) &=&g\left( f\left( 2\right) \right)
=g\left( a\right) =2 \\
\left( g\circ f\right) \left( 3\right) &=&g\left( f\left( 3\right) \right)
=g\left( c\right) =3
\end{eqnarray*}を満たすため、これは恒等写像です。したがって\(g\)は\(f\)の左逆写像です。

上の例が示唆するように、与えられた写像の逆写像が存在しない場合でも、その写像が単射であれば、左逆写像が存在することを保証できます。

命題(単射は左逆写像を持つ)
写像\(f:A\rightarrow B\)が単射であるならば、その左逆写像\(g:B\rightarrow A\)が存在する。
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実は、上の命題の逆もまた成立します。つまり、ある写像の左逆写像が存在するとき、その写像が単射であることが保証されます。

命題(左逆写像を持つ写像は単射)
写像\(f:A\rightarrow B\)に対してその左逆写像\(g:B\rightarrow A\)が存在するならば、\(f\)は単射である。
証明

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以上の2つの命題より、写像が左逆写像を持つことと、その写像が単射であることが必要十分であることが明らかになりました。

命題(単射と左逆写像)

写像\(f:A\rightarrow B\)が単射であることは、\(f\)の左逆写像\(g:B\rightarrow A\)が存在するための必要十分条件である。

例(単射と左逆写像)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{a,b,c\right\} \)に対して、\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。つまり、\(f\left( 1\right) =b\)かつ\(f\left( 2\right) =a\)かつ\(f\left( 3\right) =b\)です。

図:左逆写像を持たない写像
図:左逆写像を持たない写像

先ほど、写像\(f\)の左逆写像\(g:B\rightarrow A\)は存在しないことを示しました。したがって、上の命題より\(f\)は単射ではないはずです。実際、\begin{equation*}f\left( 1\right) =f\left( 3\right) =b
\end{equation*}が成り立つため\(f\)は単射ではありません。

例(単射と左逆写像)
写像\(f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2x
\end{equation*}を像として定めるものとします。この写像\(f\)は単射であるため、上の命題より\(f\)の左逆写像\(g:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \)が存在するはずです。写像\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{N} \ |\ x\in \mathbb{N} \right\} \quad \because R\left( f\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ 2x\in \mathbb{N} \ |\ x\in \mathbb{N} \right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&E_{++}
\end{eqnarray*}です。ただし、\(E_{++}\)はすべての正の偶数からなる集合です。\(f\)は単射であるため、\(f\)の終集合を\(\mathbb{N} \)から\(R\left( f\right) \)すなわち\(E_{++}\)に縮小して得られる\(f:\mathbb{N} \rightarrow E_{++}\)の逆写像\(f^{-1}:E_{++}\rightarrow \mathbb{N} \)が存在します。以上を踏まえた上で、適当な自然数\(x_{0}\in \mathbb{N} \)を選んだ上で、写像を\(g:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \)を、\begin{equation*}g\left( y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
f^{-1}\left( y\right) & \left( if\ y\in E_{++}\right) \\
x_{0} & \left( if\ y\not\in E_{++}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定義すると、任意の\(x\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&=&f^{-1}\left( f\left( x\right) \right) \quad \because f\left( x\right) \in
E_{++} \\
&=&x
\end{eqnarray*}となるため、\(g\circ f=I_{\mathbb{N} }\)であること、すなわち\(g\)が\(f\)の左逆写像であることが示されました。

 

演習問題

問題(左逆写像)
集合\(A,B\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ 1,2\right\} \\
B &=&\left\{ a,b,c\right\}
\end{eqnarray*}で与えられているものとします。さらに写像\(f:A\rightarrow B\)を、\begin{eqnarray*}f\left( 1\right) &=&a \\
f\left( 2\right) &=&b
\end{eqnarray*}と定義します。この写像\(f\)の左逆写像が存在することを示してください。さらに、\(f\)の左逆写像は一意的でないことを示してください。
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次回は全射と呼ばれるクラスの写像について解説します。

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関連知識

全単射

狭義単調関数の逆関数

狭義単調関数は全単射であるため、終集合を値域に制限すれば全単射になります。したがって、その逆関数が必ず存在します。特に、狭義単調増加関数の逆関数は狭義単調増加であり、狭義単調減少関数の逆関数は狭義単調減少です。

単射

単射

定義域の異なる要素に対して異なる像を定める写像を単射や1対1の写像などと呼びます。単射どうしの合成写像は単射です。また、単射の終集合を値域に限定すれば逆写像の存在を保証できます。

DISCUSSION

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