逆写像
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、終集合の要素\(b\in B\)の逆像とは、\begin{equation*}f^{-1}\left( b\right) =\left\{ a\in A\ |\ b=f\left( a\right) \right\}
\end{equation*}と定義される\(A\)の部分集合です。終集合の要素\(b\in B\)を選んだとき、それに対して\(b=f\left( a\right) \)を満たす始集合の要素\(a\in A\)は存在するとは限らず（この場合の逆像\(f^{-1}\left( b\right) \)は空集合）、存在する場合でも一意的であるとは限りません（この場合の逆像\(f^{-1}\left( b\right) \)は複数の要素を持つ集合）。
一方、写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、終集合の任意の要素\(b\in B\)の逆像\(f^{-1}\left( b\right) \subset A\)が1点集合になることが保証される場合には、つまり、以下の条件\begin{equation*}\forall b\in B,\ \exists a\in A:f^{-1}\left( b\right) =\left\{ a\right\}
\end{equation*}が成り立つ場合には、集合\(f^{-1}\left( b\right) \)と、そこに含まれる1つの要素\(a\)と同一視することにより、終集合のそれぞれの要素\(b\in B\)に対して、その逆像に属する唯一の要素\(f^{-1}\left(b\right) =a\in A\)を値として定める\(B\)から\(A\)への写像が定義可能です。このように定義された写像を\(f\)の逆写像（inverse mapping）と呼び、\begin{equation*}
f^{-1}:B\rightarrow A
\end{equation*}で表記します。つまり、逆写像\(f^{-1}\)がぞれぞれの\(b\in B\)に対して定める像\(f^{-1}\left( b\right) \in A\)は、写像\(f\)による\(b\)の逆像\(f^{-1}\left(b\right) \subset A\)に含まれる唯一の要素\(a\)と一致します。
繰り返しになりますが、写像\(f:A\rightarrow B\)による要素\(b\in B\)の逆像\(f^{-1}\left( b\right) \)は\(A\)の「部分集合」である一方、写像\(f\)の逆写像\(f^{-1}:B\rightarrow A\)による要素\(b\in B\)の像\(f^{-1}\left( b\right) \)は\(A\)の「要素」です。両者を同一の記号\(f^{-1}\left( b\right) \)によって表記していますが、厳密にはこれらは異なる概念です。ただ、逆写像\(f^{-1}\)について考える際には\(f\)による\(b\)の逆像\(f^{-1}\left(b\right) \)は1つの要素だけを持つ集合であることが前提になっており、その1つの要素は逆写像\(f^{-1}\)による\(b\)の像\(f^{-1}\left( b\right) \)と一致するため、両者を同一視するということです。
写像\(f:A\rightarrow B\)の始集合は\(A\)である一方で終集合は\(B\)ですが、その逆写像\(f^{-1}:B\rightarrow A\)の始集合は\(B\)である一方で終集合は\(A\)です。つまり、写像\(f\)と逆写像\(f^{-1}\)とでは、始集合と終集合の立場が逆転します。
\end{equation*}は写像になります。逆に、出口\(b\in B\)を選んだとき、この出口に繋がっている入り口は存在するとは限りませんし、存在する場合にも1つだけであるとは限りません。つまり、出口\(b\in B\)の逆像\begin{equation*}f^{-1}\left( b\right) =\left\{ a\in A\ |\ b=f\left( a\right) \right\}
\end{equation*}は出口\(b\)に繋がっている入り口からなる集合ですが、これは空集合であったり、複数の要素を持つ集合である状況は起こり得るということです。一方、任意の出口\(b\in B\)に対して、そこに繋がっている入り口が1つずつだけ存在することが保証される場合には、すなわち、任意の出口\(b\in B\)の逆像\(f^{-1}\left( b\right) \subset A\)が1点集合である場合には、この集合\(f^{-1}\left( b\right) \)とその要素である1つの入り口を同一視することにより、それぞれの出口\(b\in B\)に対して、その出口に繋がっている唯一の入り口\(f^{-1}\left(b\right) \in A\)を特定する逆写像\begin{equation*}f^{-1}:B\rightarrow A
\end{equation*}が定義可能です。
A &=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
B &=&\left\{ a,b,c\right\}
\end{eqnarray*}に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。
図から読み取れるように、\(f\)による\(A\)の要素の像は、\begin{eqnarray*}f\left( 1\right) &=&c \\
f\left( 2\right) &=&a \\
f\left( 3\right) &=&b
\end{eqnarray*}です。逆に、\(f\)による\(B\)の要素の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( a\right) &=&\left\{ 2\right\} \\
f^{-1}\left( b\right) &=&\left\{ 3\right\} \\
f^{-1}\left( c\right) &=&\left\{ 1\right\}
\end{eqnarray*}です。写像\(f\)による終集合\(B\)の要素の逆像がいずれも1点集合であることが確認できたため逆写像\begin{equation*}f^{-1}:B\rightarrow A
\end{equation*}が定義可能であり、これは、\begin{eqnarray*}
f^{-1}\left( a\right) &=&2 \\
f^{-1}\left( b\right) &=&3 \\
f^{-1}\left( c\right) &=&1
\end{eqnarray*}を満たします。
\end{equation*}を像として定めるものとします。\(f\)による終集合の要素\(y\in \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( y\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ y=f\left( x\right) \right\} \quad \because f^{-1}\left( y\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ y=x\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\{y\}
\end{eqnarray*}ですが、これは1点集合であるため逆写像\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、\(f^{-1}\)はそれぞれの\(y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =y
\end{equation*}を像として定めます。
\end{equation*}を像として定めるものとします。\(f\)によるそれぞれ妻\(w\in W\)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( w\right) &=&\left\{ m\in M\ |\ w=f\left( m\right) \right\}
\quad \because f^{-1}\left( w\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ m\in M\ |\ w=m\text{の妻}\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\{ w\text{の夫}\right\} \quad \because \text{一夫一妻制社会}
\end{eqnarray*}ですが、これは1点集合であるため逆写像\(f^{-1}:W\rightarrow M\)が存在し、\(f^{-1}\)はそれぞれの\(w\in W\)に対して、\begin{equation*}f^{-1}\left( w\right) =w\text{の夫}
\end{equation*}を像として定めます。
逆写像は存在するとは限らない：写像による要素の逆像が空集合である場合
写像の逆写像は存在するとは限りません。写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられているものとします。加えて、終集合に属する少なくとも1つの要素\(b\in B\)について、その逆像\(f^{-1}\left( b\right) \subset A\)が空集合であるものとします。この場合、逆写像\(f^{-1}:B\rightarrow A\)がその点\(b\)に対して定めるべき値がそもそも存在しないため、逆写像\(f^{-1}\)は定義不可能です。
\end{equation*}は写像になります。少なくとも1つの出口\(b\in B\)について、その出口に繋がっている入り口が存在しない場合には、すなわち、その出口\(b\)に繋がっている入り口からなる集合が、\begin{equation*}f^{-1}\left( b\right) =\phi
\end{equation*}を満たす場合には、逆写像\(f^{-1}\)がこの出口\(b\)に対して定めるべき入り口\(f^{-1}\left( b\right) \)がそもそも存在しないため、逆写像\(f^{-1}:B\rightarrow A\)は定義不可能です。
A &=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
B &=&\left\{ a,b,c\right\}
\end{eqnarray*}に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。
図から読み取れるように、\(f\)による\(A\)の要素の像は、\begin{eqnarray*}f\left( 1\right) &=&b \\
f\left( 2\right) &=&a \\
f\left( 3\right) &=&b
\end{eqnarray*}です。逆に、\(f\)による\(B\)の要素の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( a\right) &=&\left\{ 2\right\} \\
f^{-1}\left( b\right) &=&\left\{ 1,3\right\} \\
f^{-1}\left( c\right) &=&\phi
\end{eqnarray*}です。逆写像\(f^{-1}:B\rightarrow A\)が写像であるためには、\(B\)のそれぞれの要素に対して逆写像\(f^{-1}\)は\(A\)の要素を1つずつ定める必要があります。しかし、この例では\(c\)に対して逆写像\(f^{-1}\)が定めるべき\(A\)の要素が存在しないため、逆写像\(f^{-1}\)を定義できません。
\end{equation*}を像として定めるものとします。\(f\)によるそれぞれの整数\(y\in \mathbb{Z} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( y\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ y=f\left( x\right) \right\} \quad \because f^{-1}\left( y\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ y=2x\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\{ \frac{y}{2}\right\}
\end{eqnarray*}ですが、\(y\)が奇数である場合に\(\frac{y}{2}\)は整数でないため、\(f^{-1}\left( y\right) \)は空集合になります。したがって、逆写像\(f^{-1}:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \)は存在しません。
写像\(f:A\rightarrow B\)の逆写像が存在しない場合でも、その終集合\(B\)を制限することにより、逆写像\(f^{-1}\)を作ることができる場合があります。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を像として定めるものとします。先に明らかになったように逆写像\(f^{-1}:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \)は存在しません。では、この写像\(f\)の終集合を偶数全体の集合\(E\)に縮小して、\begin{equation*}f:\mathbb{Z} \rightarrow E
\end{equation*}とした場合にはどうなるでしょうか。\(f\)によるそれぞれの偶数\(y\in E\)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( y\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ y=f\left( x\right) \right\} \quad \because f^{-1}\left( y\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ y=2x\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\{ \frac{y}{2}\right\}
\end{eqnarray*}ですが、\(y\)が偶数であるため\(\frac{y}{2}\)は整数になります。したがってこの場合には逆写像\begin{equation*}f^{-1}:E\rightarrow \mathbb{Z} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの偶数\(y\in E\)に対して、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =\frac{y}{2}
\end{equation*}を定めます。
逆写像は存在するとは限らない：写像による要素の逆像が複数の要素を持つ場合
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられているものとします。加えて、終集合に属する少なくとも1つの要素\(b\in B\)について、その逆像\(f^{-1}\left( b\right) \subset A\)が複数の要素を持つものとします。この場合、逆写像\(f^{-1}:B\rightarrow A\)がその点\(b\)に対して定めるべき値が一意的に定まらないため、逆写像\(f^{-1}\)は定義不可能です。
\end{equation*}は写像になります。少なくとも1つの出口\(b\in B\)について、その出口に繋がっている入り口が複数存在する場合には、すなわち、その出口\(b\)に繋がっている入り口からなる集合\begin{equation*}f^{-1}\left( b\right)
\end{equation*}が複数の要素を持つ場合には、逆写像\(f^{-1}\)がこの出口\(b\)に対して定めるべき入り口\(f^{-1}\left( b\right) \)が一意的に定まらないため、逆写像\(f^{-1}:B\rightarrow A\)は定義不可能です。
A &=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
B &=&\left\{ a,b,c\right\}
\end{eqnarray*}に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。
図から読み取れるように、\(f\)による\(A\)の要素の像は、\begin{eqnarray*}f\left( 1\right) &=&b \\
f\left( 2\right) &=&a \\
f\left( 3\right) &=&b
\end{eqnarray*}です。逆に、\(f\)による\(B\)の要素の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( a\right) &=&\left\{ 2\right\} \\
f^{-1}\left( b\right) &=&\left\{ 1,3\right\} \\
f^{-1}\left( c\right) &=&\phi
\end{eqnarray*}です。逆写像\(f^{-1}:B\rightarrow A\)が写像であるためには、\(B\)のそれぞれの要素に対して逆写像\(f^{-1}\)は\(A\)の要素を1つずつ定める必要があります。しかし、この例では\(b\)に対して逆写像\(f^{-1}\)が定めるべき\(A\)の要素を1つに限定できないため、逆写像\(f^{-1}\)を定義できません。
\end{equation*}を像として定めるものとします。\(f\)によるそれぞれの\(y\in \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( y\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ y=x^{2}\right\} \\
&=&\left\{ \sqrt{y},-\sqrt{y}\right\}
\end{eqnarray*}となります。例えば、\begin{equation*}
f^{-1}\left( 1\right) =\{x\in \mathbb{R} \ |\ 1=x^{2}\}=\{1,-1\}
\end{equation*}となりますが、これは1点集合ではないため逆写像\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は存在しません。
写像\(f:A\rightarrow B\)の逆写像が存在しない場合でも、その始集合\(A\)を制限することにより、逆写像\(f^{-1}\)を作ることができる場合があります。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を像として定めるものとします。先に明らかになったように逆写像\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は存在しません。では、この写像\(f\)の始集合を非負の実数からなる集合\(\mathbb{R} _{+}\)に縮小して、\begin{equation*}f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}とした場合にはどうなるでしょうか。\(f\)によるそれぞれの\(y\in \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( y\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}\ |\ y=x^{2}\right\} \\
&=&\left\{ \sqrt{y}\right\}
\end{eqnarray*}となり、これは1点集合であるため逆写像\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が定義可能であり、これはそれぞれの\(y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =\sqrt{y}
\end{equation*}を定めます。
逆写像の定義域と値域
写像\(f\)の逆写像\(f^{-1}\)が存在する場合、写像\(f\)の定義域と逆写像\(f^{-1}\)の値域が一致し、写像\(f\)の値域と逆写像\(f^{-1}\)の定義域が一致することが保証されます。
&&\left( b\right) \ R\left( f\right) =D\left( f^{-1}\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。
\end{equation*}を像として定めるものとします。\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}D\left( f\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \right\} \quad \because D\left( f\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \frac{1}{2}x\in \mathbb{R} \right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}であり、\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \quad \because R\left( f\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ \frac{1}{2}x\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}です。\(f\)の逆写像\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、それぞれの\(y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =2y
\end{equation*}を像として定めます。\(f^{-1}\)の定義域は、\begin{eqnarray*}D\left( f^{-1}\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ f^{-1}\left( y\right) \in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ 2y\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}であり、\(f^{-1}\)の値域は、\begin{eqnarray*}R\left( f^{-1}\right) &=&\left\{ f^{-1}\left( y\right) \in \mathbb{R} \ |\ y\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ 2y\in \mathbb{R} \ |\ y\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}です。したがって、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ D\left( f\right) =R\left( f^{-1}\right) \\
&&\left( b\right) \ R\left( f\right) =D\left( f^{-1}\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立ちますが、これは上の命題の主張と整合的です。
逆写像の求め方
写像\(f:A\rightarrow B\)の逆写像\(f^{-1}:B\rightarrow A\)を具体的に求めるためにはどうすればよいでしょうか。逆写像の定義にしたがうのであれば、写像による終集合の要素の逆像\begin{equation*}f^{-1}\left( b\right) =\left\{ a\in A\ |\ b=f\left( a\right) \right\}
\end{equation*}を具体的に求めた上で、それが1点集合であることを確認することになります。その上で、この集合\(f^{-1}\left( b\right) \)の唯一の要素を逆写像\(f^{-1}\)による\(b\)の像として採用することになります。
もう少し簡単に逆写像を求めることもできます。その際に以下の命題が役に立ちます。
\end{equation*}が成り立つ。
以上の命題より、写像\(f\)による\(a\)の像が\(b\)であることと、逆写像\(f^{-1}\)による\(b\)の像が\(a\)であることは必要十分であることが明らかになりました。以上の事実を用いると、比較的容易に写像の逆写像を求めることができます。具体的には、写像\(f\)の具体的な形状\(f\left( a\right) \)が明らかになっている場合、便宜的に、\begin{equation*}b=f\left( a\right)
\end{equation*}とおけば、上の命題より、これは以下の関係\begin{equation*}
a=f^{-1}\left( b\right)
\end{equation*}と必要十分であることが保証されます。したがって、\(b=f\left( a\right) \)を\(a\)について解けば逆写像の具体的な形状\(f^{-1}\left( b\right) \)が明らかになります。
逆写像を特定する手順を改めて整理すると以下のようになります。
- 写像\(f:A\rightarrow B\)の逆写像\(f^{-1}\)が存在することを確認する。
- 逆写像\(f^{-1}\)の定義域\(D\left( f^{-1}\right) \)を特定する。これは写像\(f\)の値域\(R\left(f\right) \)と一致する。
- 逆写像\(f^{-1}\)の形状\(f^{-1}\left(b\right) \)を特定する。つまり、\(b=f\left( a\right) \)とおいた上で、これを\(a\)について解いて\(a=f^{-1}\left( b\right) \)を得る。得られた結果\(f^{-1}\left(b\right) \)は逆写像\(f^{-1}\)の具体的な形状である。
\end{equation*}を定めるものとします。逆写像\(f^{-1}\)は存在します。逆写像の定義域は、\begin{eqnarray*}D\left( f^{-1}\right) &=&R\left( f\right) \\
&=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \frac{1}{2}x\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}です。逆写像\(f^{-1}\)の形状を特定するために、\begin{equation*}y=f\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
y=\frac{1}{2}x
\end{equation*}とおいた上で、これを\(x\)について解くと、\begin{equation*}x=2y
\end{equation*}を得るため、\begin{equation*}
f^{-1}\left( y\right) =2y
\end{equation*}となります。以上より、\(f\)の逆写像は、\begin{equation*}f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}であり、これはそれぞれの\(y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =2y
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。
\end{equation*}を像として定めるとき、その逆写像\(f^{-1}\)が存在します。逆写像の定義域は、\begin{eqnarray*}D\left( f^{-1}\right) &=&R\left( f\right) \\
&=&\left\{ f\left( m\right) \in W\ |\ m\in M\right\} \\
&=&\left\{ \text{既婚女性}\right\} \\
&=&W
\end{eqnarray*}です。逆写像\(f^{-1}\)の形状を特定するために、\begin{equation*}w=f\left( m\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
w=m\text{の妻}
\end{equation*}とおいた上で、これを\(m\)について解くと、\begin{equation*}m=w\text{の夫}
\end{equation*}を得るため、\begin{equation*}
f^{-1}\left( w\right) =w\text{の夫}
\end{equation*}となります。以上より、\(f\)の逆写像は、\begin{equation*}f^{-1}:W\rightarrow M
\end{equation*}であり、これはそれぞれの\(w\in W\)に対して、\begin{equation*}f^{-1}\left( w\right) =w\text{の夫}
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。
合成写像を用いた逆写像であることの判定
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられた状況において、その逆写像\(f^{-1}:B\rightarrow A\)を特定する方法について解説しました。では、写像\(f:A\rightarrow B\)に加えて、その逆写像の候補であるような写像\(g:B\rightarrow A\)が与えられた場合、\(g\)が実際に\(f\)の逆写像であるか判定するためにはどうすればよいでしょうか。\(g\)は\(f\)の逆写像の候補であるため、両者の始集合と終集合の立場が逆転していることに注意してください。
集合\(A,B\)に加えて2つの写像\begin{eqnarray*}f &:&A\rightarrow B \\
g &:&B\rightarrow A
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。この場合、2つの合成写像\begin{eqnarray*}
g\circ f &:&A\rightarrow A \\
f\circ g &:&B\rightarrow B
\end{eqnarray*}が定義可能ですが、これらがともに恒等写像であることは、すなわち、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
\forall a &\in &A:\left( g\circ f\right) \left( a\right) =a \\
\forall b &\in &B:\left( f\circ g\right) \left( b\right) =b
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(f\)と\(g\)はお互いに相手の逆写像であることが保証されます。
\forall b &\in &B:\left( f\circ g\right) \left( b\right) =b
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\begin{eqnarray*}
f^{-1} &=&g \\
g^{-1} &=&f
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。
\end{equation*}を定め、写像\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =4x+32
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\\
&=&g\left( \frac{x}{4}-8\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&4\left( \frac{x}{4}-8\right) +32\quad \because g\text{の定義} \\
&=&x-32+32 \\
&=&x
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\left( f\circ g\right) \left( x\right) &=&f\left( g\left( x\right) \right)
\\
&=&f\left( 4x+32\right) \quad \because g\text{の定義} \\
&=&\frac{4x+32}{4}-8\quad \because f\text{の定義} \\
&=&x+8-8 \\
&=&x
\end{eqnarray*}であるため、先の命題より\(f\)と\(g\)はお互いに相手の逆写像です。つまり、\begin{eqnarray*}f^{-1} &=&g \\
g^{-1} &=&f
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。
逆写像の逆写像
写像\(f:A\rightarrow B\)の逆写像\(f^{-1}:B\rightarrow A\)が存在する場合には、さらにその逆写像\(\left( f^{-1}\right) ^{-1}:A\rightarrow B\)が存在し、これはもとの写像\(f\)と一致することが保証されます。つまり、逆写像の逆写像はもとの写像に等しいということです。
写像\(f:A\rightarrow B\)の逆写像\(f^{-1}:B\rightarrow A\)が存在する場合には、さらにその逆写像\(\left( f^{-1}\right) ^{-1}:A\rightarrow B\)が存在して、\begin{equation*}\left( f^{-1}\right) ^{-1}=f
\end{equation*}が成り立つ。
2つの写像\begin{eqnarray*}
f &:&A\rightarrow B \\
g &:&B\rightarrow A
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。\(f\)と\(g\)は始集合と終集合が逆になっていることに注意してください。
\(g\)が\(f\)の逆写像であるものとします。つまり、\begin{equation*}g=f^{-1}
\end{equation*}が成り立つということです。この場合、先の命題より、\begin{equation*}
\left( f^{-1}\right) ^{-1}=f
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
g^{-1}=f
\end{equation*}となるため、以上の事実は\(f\)が\(g\)の逆写像であることを意味します。以上より、\(g\)が\(f\)の逆写像である場合には、逆に\(f\)は\(g\)の逆写像であることが明らかになりました。
\(f\)と\(g\)の立場を逆にしても同様の主張が成り立ちます。したがって、\(f\)が\(g\)の逆写像である場合には、逆に\(g\)は\(f\)の逆写像です。したがって以下の命題を得ます。
\end{equation*}が成り立つ。
合成写像の逆写像
集合\(A,B\)に加えて2つの写像\begin{eqnarray*}f &:&A\rightarrow B \\
g &:&B\rightarrow C
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。この場合、合成写像\begin{equation*}
g\circ f:A\rightarrow C
\end{equation*}が定義可能です。与えられた写像\(f,g\)の逆写像\begin{eqnarray*}f^{-1} &:&B\rightarrow A \\
g^{-1} &:&C\rightarrow B
\end{eqnarray*}が存在する場合には、これらの合成写像\begin{equation*}
f^{-1}\circ g^{-1}:C\rightarrow A
\end{equation*}が定義可能です。
以上の条件のもとでは合成写像\(g\circ f\)の逆写像\begin{equation*}\left( g\circ f\right) ^{-1}:C\rightarrow A
\end{equation*}が存在することが保証されるとともに、以下の関係\begin{equation*}
\left( g\circ f\right) ^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、合成写像の逆写像は、個々の写像の逆関数の合成と一致します。
\end{equation*}が成り立つ。
演習問題
\end{equation*}を像として定めるとき、その逆写像\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在することを示した上で、それを具体的に求めてください。
\end{equation*}を像として定めるとき、その逆写像\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在しないことを示してください。一方、この写像\(f\)の定義域を縮小して\(f:[3,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)としたとき、その逆写像\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \lbrack 3,+\infty )\)が存在することを示した上で、それを具体的に求めてください。
\end{equation*}を像として定めるとき、その逆写像\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 2\right\} \)が存在することを示した上で、それを具体的に求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。その逆写像\(f^{-1}\)が存在することを前提とした上で、それを具体的に求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。その逆写像\(f^{-1}\)が存在することを前提とした上で、それを具体的に求めてください。
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =2+\left( 6-x\right) ^{\frac{1}{5}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)と\(g\)はお互いに相手の逆写像であることを示してください。
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