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逆写像

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逆写像

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、終集合の要素\(b\in B\)の逆像とは、\begin{equation*}f^{-1}\left( b\right) =\left\{ a\in A\ |\ b=f\left( a\right) \right\}
\end{equation*}と定義される\(A\)の部分集合です。一般には、終集合\(B\)の要素\(b\)を選んだとき、それに対して\(b=f\left( a\right) \)を満たす始集合\(A\)の要素\(a\)は存在するとは限らず(この場合の\(f^{-1}\left( b\right) \)は空集合)、存在する場合でも一意的であるとは限りません(この場合の\(f^{-1}\left( b\right) \)は複数の要素を持つ集合)。

一方、写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、終集合の任意の要素\(b\in B\)に関する逆像\(f^{-1}\left( b\right) \subset A\)が1点集合である場合、集合\(f^{-1}\left( b\right) \)と、そこに含まれる1つの要素と同一視することにより、\(B\)のそれぞれの要素\(b\)に対して\(A\)の要素\(f^{-1}\left( b\right) \)を1つずつ定める写像が定義可能です。このように定義された写像を\(f\)の逆写像(inverse mapping)と呼び、これを\(f^{-1}:B\rightarrow A\)で表します。つまり、逆写像\(f^{-1}\)がぞれぞれの\(b\in B\)に対して定める像\(f^{-1}\left( b\right) \in A\)は、\(f\)による\(b\)の逆像\(f^{-1}\left( b\right) \subset A\)に含まれる唯一の要素と一致します。

繰り返しになりますが、写像\(f:A\rightarrow B\)による要素\(b\in B\)の逆像\(f^{-1}\left( b\right) \)は\(A\)の「部分集合」である一方、写像\(f\)の逆写像\(f^{-1}:B\rightarrow A\)による要素\(b\in B\)の像\(f^{-1}\left( b\right) \)は\(A\)の「要素」です。両者を同一の記号によって表記していますが、厳密にはこれらは異なる概念です。ただ、逆写像\(f^{-1}\)について考える際には\(f\)による\(b\)の逆像\(f^{-1}\left( b\right) \)は1つの要素だけを持つ集合であることが前提になっており、その1つの要素は逆写像\(f^{-1}\)による\(b\)の像\(f^{-1}\left( b\right) \)と一致するため、両者を同一視するということです。

例(逆写像)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{a,b,c\right\} \)に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。図では\(a\)には\(2\)から矢印が伸びていますが、これは\(f\)による\(a\)の逆像が\(\left\{ 2\right\} \)であること、すなわち\(f^{-1}\left( a\right) =\left\{ 2\right\} \)であることを意味します。他の 2 本の矢印より、\(f^{-1}\left( b\right) =\left\{ 3\right\} \)かつ\(f^{-1}\left(c\right) =\left\{ 1\right\} \)です。

図:逆写像
図:逆写像

写像\(f\)による終集合\(B\)の任意の要素の逆像が1点集合であることが確認できたため、逆写像\(f^{-1}:B\rightarrow A\)が存在し、これは、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( a\right) &=&2 \\
f^{-1}\left( b\right) &=&3 \\
f^{-1}\left( c\right) &=&1
\end{eqnarray*}を満たします。

例(逆写像)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を像として定めるものとします。\(f\)によるそれぞれの\(y\in \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( y\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ y=f\left( x\right) \right\} \quad \because f^{-1}\left( y\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ y=x\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\{y\}
\end{eqnarray*}ですが、これは1点集合であるため逆写像\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、\(f^{-1}\)はそれぞれの\(y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =y
\end{equation*}を像として定めます。

例(逆写像)
一夫一妻制を採用する社会において、既婚者である男性の集合を\(M\)、彼らの妻からなる集合を\(W\)で表します。写像\(f:M\rightarrow W\)はそれぞれの既婚男性\(m\in M\)に対して、\begin{equation*}f\left( m\right) =m\text{の妻}
\end{equation*}を像として定めるものとします。\(f\)によるそれぞれ妻\(w\in W\)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( w\right) &=&\left\{ m\in M\ |\ w=f\left( m\right) \right\}
\quad \because f^{-1}\left( w\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ m\in M\ |\ w=m\text{の妻}\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\{ w\text{の夫}\right\} \quad \because \text{一夫一妻制社会}
\end{eqnarray*}ですが、これは1点集合であるため逆写像\(f^{-1}:W\rightarrow M\)が存在し、\(f^{-1}\)はそれぞれの\(w\in W\)に対して、\begin{equation*}f^{-1}\left( w\right) =w\text{の夫}
\end{equation*}を像として定めます。

 

逆関数が存在しないケース

一般に、写像は逆写像を持つとは限りません。まず、写像\(f:A\rightarrow B\)によるある要素\(b\in B\)の逆像\(f^{-1}\left( b\right) \subset A\)が空集合である場合、逆写像\(f^{-1}:B\rightarrow A\)による\(b\in B\)の像\(f^{-1}\left( b\right) \)が存在しないため、\(f^{-1}\)を定義することができません。

例(逆写像)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{a,b,c\right\} \)に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。図では\(c\)には矢印が伸びていませんが、これは\(f^{-1}\left(c\right) =\phi \)であることを意味します。逆写像\(f^{-1}:B\rightarrow A\)が写像であるためには、\(B\)のそれぞれの要素に対して逆写像\(f^{-1}\)は\(A\)の要素を1つずつ定める必要があります。しかし、この例では\(c\)に対して逆写像\(f^{-1}\)が定めるべき\(A\)の要素が存在しないため、逆写像\(f^{-1}\)を定義できません。

図:逆写像
図:逆写像
例(逆写像)
写像\(f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2x
\end{equation*}を像として定めるものとします。\(f\)によるそれぞれの\(y\in \mathbb{Z} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( y\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ y=f\left( x\right) \right\} \quad \because f^{-1}\left( y\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ y=2x\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\{ \frac{y}{2}\right\}
\end{eqnarray*}ですが、\(y\)が奇数である場合には\(\frac{y}{2}\)は自然数でないため、\(f^{-1}\left(y\right) \)は空集合になります。したがって、逆写像\(f^{-1}:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \)は存在しません。
例(逆写像)
上の例において\(f\)の終集合を\(\mathbb{Z} \)から偶数全体の集合\(E\)に縮小して\(f:\mathbb{Z} \rightarrow E\)とします。このとき、\(f\)によるそれぞれの\(y\in E\)の逆像は、先と同様に、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =\left\{ \frac{y}{2}\right\}
\end{equation*}となりますが、\(y\)は偶数であるため\(\frac{y}{2}\)は整数となります。したがって、\(f^{-1}\left( y\right) \)は1点集合であるため逆写像\(f^{-1}:E\rightarrow \mathbb{Z} \)が存在し、\(f^{-1}\)はそれぞれの\(y\in E\)に対して、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =\frac{y}{2}
\end{equation*}を像として定めます。

写像\(f:A\rightarrow B\)によるある要素\(b\in B\)の逆像\(f^{-1}\left( b\right)\subset A\)が複数の要素を持つ集合である場合、逆写像\(f^{-1}:B\rightarrow A\)による\(b\in B\)の像\(f^{-1}\left( b\right) \)が一意的に定まらないため、\(f^{-1}\)を定義することができません。

例(逆写像)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{a,b,c\right\} \)に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。図では\(1\)と\(3 \)から\(b\)へ矢印が伸びていますが、これは\(f^{-1}\left( b\right) =\left\{ 1,3\right\} \)であることを意味します。逆写像\(f^{-1}:B\rightarrow A\)が写像であるためには、\(B\)のそれぞれの要素に対して逆写像\(f^{-1}\)は\(A\)の要素を1つずつ定める必要があります。しかし、この例では\(b\)に対して逆写像\(f^{-1}\)が定める\(A\)の要素を1つに限定できないため、逆写像\(f^{-1}\)を定義できません。

図:逆写像
図:逆写像
例(逆写像)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を像として定めるものとします。\(f\)によるそれぞれの\(y\in \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( y\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ y=x^{2}\right\} \\
&=&\left\{ \sqrt{y},-\sqrt{y}\right\}
\end{eqnarray*}となります。例えば、\begin{equation*}
f^{-1}\left( 1\right) =\{x\in \mathbb{R} \ |\ 1=x^{2}\}=\{1,-1\}
\end{equation*}となりますが、これは1点集合ではないため逆写像\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は存在しません。
例(逆写像)
上の例において\(f\)の定義域を\(\mathbb{R} \)から\(\mathbb{R} _{+}\)に縮小して\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)とします。ただし、\(\mathbb{R} _{+}\)は非負の実数からなる集合です。このとき、\(f\)によるそれぞれの\(y\in \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( y\right) &=&\{x\in \mathbb{R} _{+}\ |\ y=x^{2}\} \\
&=&\left\{ \sqrt{y}\right\} \quad \because x\geq 0
\end{eqnarray*}ですが、これは1点集合であるため逆写像\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在し、\(f^{-1}\)はそれぞれの\(y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =\sqrt{y}
\end{equation*}を像として定めます。

以上の議論が示唆するように、写像\(f:A\rightarrow B\)の逆写像\(f^{-1}:B\rightarrow A\)が存在することを保証するためには、\(f\)による任意の\(b\in B\)に関する逆像\(f^{-1}\left( b\right) \subset A\)が1点集合である必要があります。

 

逆写像の求め方

写像\(f:A\rightarrow B\)に対して、その逆写像\(f^{-1}:B\rightarrow A\)が存在するものとします。\(f\left( a\right) =b\)を満たす順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)を任意に選ぶと、逆写像の定義より、この\(b\)に対して逆写像\(f^{-1}\)が定める像\(f^{-1}\left( b\right) \)は\(a\)に他なりません。つまり\(f^{-1}\left( b\right) =a\)が成り立ちます。逆に、\(f^{-1}\left( b\right) =a\)を満たす順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)を任意に選ぶと、やはり逆写像の定義より\(f\left( a\right) =b\)が成り立ちます。以上を踏まえると、任意の順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)に対して、\begin{equation*}f\left( a\right) =b\Leftrightarrow f^{-1}\left( b\right) =a
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、写像\(f\)による\(a\)の像が\(b\)であることと、逆写像\(f^{-1}\)による\(b\)の像が\(a\)であることは必要十分です。

以上の事実を用いると、写像から逆写像を求めることができます。具体的には、写像の形状\(f\left( x\right) \)が具体的に与えられているとき、\(f\left( x\right) =y\)とおくと、上の関係より\(\left(x,y\right) \)は\(f^{-1}\left( y\right) =x\)を満たすことが保証されます。したがって、\(f\left(x\right) =y\)を\(x\)について解くことにより逆写像の具体的な形状\(f^{-1}\left( y\right) \)が明らかになります。

例(逆写像)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{2}x
\end{equation*}を像として定めるとき、その逆写像\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在します(確認してください)。そこで、\begin{equation*}y=f\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
y=\frac{1}{2}x
\end{equation*}とおいた上で、これを\(x\)について解くと、\begin{equation*}x=2y
\end{equation*}を得るため、\begin{equation*}
f^{-1}\left( y\right) =2y
\end{equation*}となります。これが逆写像\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)による\(y\in \mathbb{R} \)の像\(f^{-1}\left( y\right) \in \mathbb{R} \)です。
例(逆写像)
先に扱った例ですが、一夫一妻制を採用する社会において、既婚者である男性の集合を\(M\)、彼らの妻からなる集合を\(W\)で表します。写像\(f:M\rightarrow W\)はそれぞれの既婚男性\(m\in M\)に対して、\begin{equation*}f\left( m\right) =m\text{の妻}
\end{equation*}を像として定めるとき、その逆写像\(f^{-1}:W\rightarrow M\)が存在します。そこで、\begin{equation*}w=f\left( m\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
w=m\text{の妻}
\end{equation*}とおいた上で、これを\(m\)について解くと、\begin{equation*}m=w\text{の夫}
\end{equation*}を得るため、\begin{equation*}
f^{-1}\left( w\right) =w\text{の夫}
\end{equation*}となります。これが逆写像\(f^{-1}:W\rightarrow M\)による\(w\in W\)の像\(f^{-1}\left( w\right) \in M\)です。

 

逆写像の定義域と値域

写像\(f:A\rightarrow B\)の逆写像\(f^{-1}:B\rightarrow A\)が存在する場合、写像\(f\)の定義域と逆写像\(f^{-1}\)の値域が一致し、写像\(f\)の値域と逆写像\(f^{-1}\)の定義域が一致することが保証されます。

命題(写像と逆写像の関係)
写像\(f:A\rightarrow B\)に対して、その逆写像\(f^{-1}:B\rightarrow A\)が存在するとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ D\left( f\right) =R\left( f^{-1}\right) \\
&&\left( b\right) \ R\left( f\right) =D\left( f^{-1}\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。

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例(逆写像の定義域と値域)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{2}x
\end{equation*}を像として定めるものとします。\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}D\left( f\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \right\} \quad \because D\left( f\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \frac{1}{2}x\in \mathbb{R} \right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}であり、\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \quad \because R\left( f\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ \frac{1}{2}x\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}です。\(f\)の逆写像\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、それぞれの\(y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =2y
\end{equation*}を像として定めます。\(f^{-1}\)の定義域は、\begin{eqnarray*}D\left( f^{-1}\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ f^{-1}\left( y\right) \in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ 2y\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}であり、\(f^{-1}\)の値域は、\begin{eqnarray*}R\left( f^{-1}\right) &=&\left\{ f^{-1}\left( y\right) \in \mathbb{R} \ |\ y\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ 2y\in \mathbb{R} \ |\ y\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}です。したがって、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ D\left( f\right) =R\left( f^{-1}\right) \\
&&\left( b\right) \ R\left( f\right) =D\left( f^{-1}\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立ちますが、これは上の命題の主張と整合的です。

 

逆写像の逆写像

写像\(f:A\rightarrow B\)の逆写像\(f^{-1}:B\rightarrow A\)が存在する場合には、さらにその逆写像\(\left( f^{-1}\right) ^{-1}:A\rightarrow B\)が存在し、これは\(f\)と一致することが保証されます。つまり、逆写像の逆写像はもとの写像に等しいということです。

命題(逆写像の逆写像)

写像\(f:A\rightarrow B\)の逆写像\(f^{-1}:B\rightarrow A\)が存在する場合には、さらにその逆写像\(\left( f^{-1}\right) ^{-1}:A\rightarrow B\)が存在して、\begin{equation*}\left( f^{-1}\right) ^{-1}=f
\end{equation*}が成り立つ。

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演習問題

問題(逆写像)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2x+3
\end{equation*}を像として定めるとき、その逆写像\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在することを示した上で、それを具体的に求めてください。
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問題(逆写像)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x-3\right) ^{2}
\end{equation*}を像として定めるとき、その逆写像\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在しないことを示してください。一方、この写像\(f\)の定義域を縮小して\(f:[3,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)としたとき、その逆写像\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \lbrack 3,+\infty )\)が存在することを示した上で、それを具体的に求めてください。
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問題(逆写像)
写像\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 2\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x+1}{x-2}
\end{equation*}を像として定めるとき、その逆写像\(f^{-1}\)が存在することを示した上で、それを具体的に求めてください。
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次回は合成写像について学びます。

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