以下の問いに答えてください（各10点）。

1. 写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{3}-1\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が単射、全射、全単射であるかそれぞれ判定してください。また、\(f\)の値域を求めてください。さらに、\(f\)が全単射である場合には逆写像\(f^{-1}\)を特定してください。
2. 写像\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =x^{2}+1\end{equation*}を定めるものとします。\(g\)が単射、全射、全単射であるかそれぞれ判定してください。また、\(g\)の値域を求めてください。さらに、\(g\)が全単射である場合には逆写像\(g^{-1}\)を特定してください。
3. 写像\(h:\mathbb{R} \rightarrow \lbrack 1,+\infty )\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}h\left( x\right) =x^{2}+1\end{equation*}を定めるものとします。\(h\)が単射、全射、全単射であるかそれぞれ判定してください。また、\(h\)の値域を求めてください。さらに、\(h\)が全単射である場合には逆写像\(h^{-1}\)を特定してください。

ある施設に4人の利用者がいます。利用者の集合を、\begin{equation*}
A=\left\{ a,b,c,d\right\}
\end{equation*}とし、ロッカー番号の集合を、\begin{equation*}
B=\left\{ 1,2,3,4,5\right\}
\end{equation*}とします。利用者に割り当てられたロッカー番号を表す写像\(f:A\rightarrow B\)が、\begin{eqnarray*}f\left( a\right) &=&1 \\
f\left( b\right) &=&3 \\
f\left( c\right) &=&4 \\
f\left( d\right) &=&3
\end{eqnarray*}によって定義されています。以下の問いに答えてください（各5点）。

1. \(f\)の値域\(f\left( A\right) \)を求めてください。
2. \(f\)が単射であるか判定し、その理由を説明してください。
3. \(f\)が全射であるか判定し、その理由を説明してください。
4. ロッカー\(3\)の逆像\(f^{-1}\left( 3\right) \)を求めてください。
5. この割り当てにどのような運用上の問題があるか説明してください。

写像\begin{equation*}
f:A\rightarrow A
\end{equation*}が単射であるものとします。以下の問いに答えてください。

1. \(A\)が有限集合の場合には\(f\)は全射であり、したがって全単射であることを証明してください（15点）。
2. \(A\)が無限集合の場合には同様の主張は成り立たないこと、すなわち\(f\)は全射であるとは限らないことを示してください（10点）。

今ぴゅたーシステムが利用できる文字の集合を、\begin{equation*}
L=\left\{ l_{1},l_{2},\cdots ,l_{k}\right\}
\end{equation*}とします。ただし、\(k\geq 1\)です。\(L\)の要素を有限個並べることにより得られる、空文字列ではないすべての有限文字列からなる集合を\(W\)で表記します。例えば、\(L=\left\{ a,b\right\} \)であれば、\begin{equation*}W=\left\{ a,b,aa,ab,ba,bb,aaa,\cdots \right\}
\end{equation*}です。また、\begin{equation*}\mathbb{N} =\left\{ 1,2,3,\cdots \right\}
\end{equation*}とします。以上を踏まえた上で、\(W\)と\(\mathbb{N} \)の間に全単射が存在することを証明してください。