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写像による像と逆像の関係

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写像による要素の像と逆像の関係

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、\(f\)による終集合の要素\(b\in B\)の逆像は、\begin{equation*}
f^{-1}\left( b\right) =\left\{ a\in A\ |\ b=f\left( a\right) \right\}
\end{equation*}と定義される\(A\)の部分集合であるため、順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}
a\in f^{-1}\left( b\right) \Leftrightarrow b=f\left( a\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(a\)が\(f\)による\(b\)の逆像の要素であることと、\(b\)が\(f\)による\(a\)の像であることは必要十分です。

上の恒真式において\(a\)は\(f^{-1}\left( b\right) \)の要素ですが、これを少し限定して、\(a\)が\(f^{-1}\left( b\right) \)の唯一の要素であるとしても同様の恒真式は成り立つでしょうか。つまり、順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}
f^{-1}\left( b\right) =\left\{ a\right\} \Leftrightarrow b=f\left( a\right)
\end{equation*}という関係もまた成り立つでしょうか。以下の例が示唆するように、このような関係は成り立つとは限りません。

例(写像による要素の像と逆像の関係)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
f\left( 1\right) =1^{2}=1
\end{equation*}が成り立つことを踏まえた上で、順序対\(\left( 1,1\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に注目した上で、\begin{equation}
f^{-1}\left( 1\right) =\left\{ 1\right\} \Leftrightarrow 1=f\left( 1\right)
\quad\cdots (1)
\end{equation}が成り立つものと仮定して矛盾を導きます。\(1=f\left( 1\right) \)は真であるため、\(\left( 1\right) \)が成り立つのであれば\(f^{-1}\left( 1\right) =\left\{ 1\right\} \)もまた真のはずです。しかし実際には、\begin{equation*}
f^{-1}\left( 1\right) =\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ 1=x^{2}\right\} =\left\{ 1,-1\right\}
\end{equation*}であり、\(f^{-1}\left( 1\right) \not=\left\{ 1\right\} \)となります。したがって、\(\left( 1\right) \)は成り立ちません。

 

写像による集合の像や逆像の特徴づけ

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、始集合の部分集合\(X\subset A\)の像は、\begin{eqnarray*}
f\left( X\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in B\ |\ x\in X\right\} \\
&=&\left\{ b\in B\ |\ \exists x\in X:\left( x,b\right) \in G\left( f\right)
\right\} \\
&=&\left\{ b\in B\ |\ \exists x\in X:b=f\left( x\right) \right\}
\end{eqnarray*}などと様々な形で表現できます。加えて、任意の順序対\(\left( x,b\right) \in X\times B\)について、\begin{equation*}
x\in f^{-1}\left( b\right) \Leftrightarrow b=f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つため、\(f\)による\(X\)の像はさらに、\begin{eqnarray*}
f\left( X\right) &=&\left\{ b\in B\ |\ \exists x\in X:x\in f^{-1}\left(
b\right) \right\} \\
&=&\left\{ b\in B\ |\ f^{-1}\left( b\right) \cap X\not=\phi \right\}
\end{eqnarray*}などと表現することもできます。特に、\(X=A\)の場合の像は\(f\)の値域\(R\left( f\right) \)であり、これは、\begin{eqnarray*}
R\left( f\right) &=&f\left( A\right) \\
&=&\left\{ f\left( a\right) \in B\ |\ a\in A\right\} \\
&=&\left\{ b\in B\ |\ \exists a\in A:\left( a,b\right) \in G\left( f\right)
\right\} \\
&=&\left\{ b\in B\ |\ \exists a\in A:b=f\left( a\right) \right\} \\
&=&\left\{ b\in B\ |\ \exists a\in A:a\in f^{-1}\left( b\right) \right\} \\
&=&\left\{ b\in B\ |\ f^{-1}\left( b\right) \cap A\not=\phi \right\} \\
&=&\left\{ b\in B\ |\ f^{-1}\left( b\right) \not=\phi \right\}
\end{eqnarray*}などと様々な形で表現できます。

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、終集合の部分集合\(Y\subset B\)の逆像は、\begin{eqnarray*}
f^{-1}\left( Y\right) &=&\left\{ a\in A\ |\ f\left( a\right) \in Y\right\}
\\
&=&\left\{ a\in A\ |\ \exists y\in Y:\left( a,y\right) \in G\left( f\right)
\right\} \\
&=&\left\{ a\in A\ |\ \exists y\in Y:y=f\left( a\right) \right\}
\end{eqnarray*}などと様々な形で表現できます。加えて、任意の\(\left( a,y\right) \in A\times Y\)について、\begin{equation*}
a\in f^{-1}\left( y\right) \Leftrightarrow y=f\left( a\right)
\end{equation*}という関係が成り立つため、\(f\)による\(Y\)の逆像はさらに、\begin{equation*}
f^{-1}\left( Y\right) =\left\{ a\in A\ |\ \exists y\in Y:a\in f^{-1}\left(
y\right) \right\}
\end{equation*}と表現することもできます。特に、\(Y=B\)の場合の逆像は\(f\)の定義域\(D\left( f\right) \)であり、これは、\begin{eqnarray*}
D\left( f\right) &=&f^{-1}\left( B\right) \\
&=&\left\{ a\in A\ |\ f\left( a\right) \in B\right\} \\
&=&\left\{ a\in A\ |\ \exists b\in B:\left( a,b\right) \in G\left( f\right)
\right\} \\
&=&\left\{ a\in A\ |\ \exists b\in B:b=f\left( a\right) \right\} \\
&=&\left\{ a\in A\ |\ \exists b\in B:a\in f^{-1}\left( b\right) \right\}
\end{eqnarray*}などと様々な形で表現できます。

 

写像による集合の像の逆像

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、始集合の部分集合\(X\subset A\)を任意に選んだ上で、その像\(f\left( X\right) \)をとります。これは\(B\)の部分集合であるため、さらにその逆像\(f^{-1}\left( f\left( X\right) \right) \)をとることができますが、これはもとの集合\(X\)よりも大きい集合になることが保証されます。実際、\begin{equation}
f^{-1}\left( f\left( X\right) \right) =\left\{ a\in A\ |\ f\left( a\right)
\in f\left( X\right) \right\} \quad\cdots (1)
\end{equation}であるため、\(a\in A\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
a\in X &\Rightarrow &f\left( a\right) \in f\left( X\right) \\
&\Leftrightarrow &a\in f^{-1}\left( f\left( X\right) \right) \quad \because
\left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(X\subset f^{-1}\left( f\left( X\right) \right) \)であることが示されました。

命題(写像による集合の像の逆像)
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、始集合の部分集合\(X\subset A\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}
X\subset f^{-1}\left( f\left( X\right) \right)
\end{equation*}が成り立つ。
証明を見る(プレミアム会員限定)

逆に、始集合の部分集合\(X\subset A\)を任意にとったとき、\begin{equation*}
f^{-1}\left( f\left( X\right) \right) \subset X
\end{equation*}は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。

例(写像による集合の像の逆像)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)による\(\left[ 0,2\right] \subset \mathbb{R} \)の像は、\begin{eqnarray*}
f\left( \left[ 0,2\right] \right) &=&\left\{ x^{2}\in
\mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,2\right] \right\} \\
&=&\left[ 0,4\right] \end{eqnarray*}となります。さらにその逆像は、\begin{eqnarray*}
f^{-1}\left( f\left( \left[ 0,2\right] \right) \right) &=&f^{-1}\left( \left[ 0,4\right] \right) \\
&=&\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ x^{2}\in \left[ 0,4\right] \right\} \\
&=&\left[ -2,2\right] \end{eqnarray*}となります。したがって、\(\left[ 0,2\right] \)は\(f^{-1}\left( f\left( \left[ 0,2\right] \right) \right) \)の部分集合である一方で、\(f^{-1}\left( f\left( \left[ 0,2\right] \right) \right) \)は\(\left[ 0,2\right] \)の部分集合ではありません。

 

写像による集合の逆像の像

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、終集合の部分集合\(Y\subset B\)を任意に選んだ上で、その逆像\(f^{-1}\left( Y\right) \)をとります。これは\(A\)の部分集合であるため、さらにその像\(f\left( f^{-1}\left( Y\right) \right) \)をとることができますが、これはもとの集合\(Y\)よりも小さい集合になることが保証されます。実際、\(b\in B\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
b\in f\left( f^{-1}\left( Y\right) \right) &\Leftrightarrow &\exists a\in
f^{-1}\left( Y\right) :b=f\left( a\right) \quad \because f\left(
f^{-1}\left( Y\right) \right) \text{の定義} \\
&\Rightarrow &\exists a\in A:\left[ f\left( a\right) \in Y\wedge b=f\left(
a\right) \right] \quad \because f^{-1}\left( Y\right) \text{の定義} \\
&\Rightarrow &b\in Y
\end{eqnarray*}となるため、\(f\left( f^{-1}\left( Y\right) \right) \subset Y\)であることが示されました。

命題(写像による集合の逆像の像)
写像\(f:A\rightarrow B\)と終集合の部分集合\(Y\subset B\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}
f\left( f^{-1}\left( Y\right) \right) \subset Y
\end{equation*}という関係が成り立つ。
証明を見る(プレミアム会員限定)

逆に、終集合の部分集合\(Y\subset B\)を任意にとったとき、\begin{equation*}
Y\subset f\left( f^{-1}\left( Y\right) \right)
\end{equation*}は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。

例(写像による集合の逆像の像)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)による\(\left[ -1,1\right] \subset \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}
f^{-1}\left( \left[ -1,1\right] \right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ x^{2}\in \left[ -1,1\right] \right\} \\
&=&\left[ -1,1\right] \end{eqnarray*}となります。さらにその像は、\begin{eqnarray*}
f\left( f^{-1}\left( \left[ -1,1\right] \right) \right) &=&f\left( \left[
-1,1\right] \right) \\
&=&\left\{ x^{2}\in
\mathbb{R} \ |\ x\in \left[ -1,1\right] \right\} \\
&=&\left[ 0,1\right] \end{eqnarray*}となります。したがって、\(f\left( f^{-1}\left( \left[ -1,1\right] \right) \right) \)は\(\left[ -1,1\right] \)の部分集合である一方で、\(\left[ -1,1\right] \)は\(f\left( f^{-1}\left( \left[ -1,1\right] \right) \right) \)の部分集合ではありません。

次回は逆写像と呼ばれる種類の写像について解説します。

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