写像による像と逆像の関係

写像による要素の像と逆像の関係

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、\(f\)による終集合の要素\(b\in B\)の逆像は、\begin{equation*}f^{-1}\left( b\right) =\left\{ a\in A\ |\ b=f\left( a\right) \right\}
\end{equation*}と定義される\(A\)の部分集合であるため、順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}a\in f^{-1}\left( b\right) \Leftrightarrow b=f\left( a\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(a\)が\(f \)による\(b\)の逆像の要素であることと、\(b\)が\(f \)による\(a\)の像であることは必要十分です。

上の恒真式において\(a\)は\(f^{-1}\left( b\right) \)の要素ですが、これを少し限定して、\(a\)が\(f^{-1}\left( b\right) \)の唯一の要素であるとしても同様の恒真式は成り立つでしょうか。つまり、順序対\(\left(a,b\right) \in A\times B\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}f^{-1}\left( b\right) =\left\{ a\right\} \Leftrightarrow b=f\left( a\right)
\end{equation*}という関係もまた成り立つでしょうか。以下の例が示唆するように、このような関係は成り立つとは限りません。

写像による集合の像や逆像の特徴づけ

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、始集合の部分集合\(X\subset A\)の像は、\begin{eqnarray*}f\left( X\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in B\ |\ x\in X\right\} \\
&=&\left\{ b\in B\ |\ \exists x\in X:\left( x,b\right) \in G\left( f\right)
\right\} \\
&=&\left\{ b\in B\ |\ \exists x\in X:b=f\left( x\right) \right\}
\end{eqnarray*}などと様々な形で表現できます。加えて、任意の順序対\(\left( x,b\right)\in X\times B\)について、\begin{equation*}x\in f^{-1}\left( b\right) \Leftrightarrow b=f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つため、\(f\)による\(X\)の像はさらに、\begin{eqnarray*}f\left( X\right) &=&\left\{ b\in B\ |\ \exists x\in X:x\in f^{-1}\left(
b\right) \right\} \\
&=&\left\{ b\in B\ |\ f^{-1}\left( b\right) \cap X\not=\phi \right\}
\end{eqnarray*}などと表現することもできます。特に、\(X=A\)の場合の像は\(f\)の値域\(R\left( f\right) \)であり、これは、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&f\left( A\right) \\
&=&\left\{ f\left( a\right) \in B\ |\ a\in A\right\} \\
&=&\left\{ b\in B\ |\ \exists a\in A:\left( a,b\right) \in G\left( f\right)
\right\} \\
&=&\left\{ b\in B\ |\ \exists a\in A:b=f\left( a\right) \right\} \\
&=&\left\{ b\in B\ |\ \exists a\in A:a\in f^{-1}\left( b\right) \right\} \\
&=&\left\{ b\in B\ |\ f^{-1}\left( b\right) \cap A\not=\phi \right\} \\
&=&\left\{ b\in B\ |\ f^{-1}\left( b\right) \not=\phi \right\}
\end{eqnarray*}などと様々な形で表現できます。

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、終集合の部分集合\(Y\subset B\)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( Y\right) &=&\left\{ a\in A\ |\ f\left( a\right) \in Y\right\} \\
&=&\left\{ a\in A\ |\ \exists y\in Y:\left( a,y\right) \in G\left( f\right)
\right\} \\
&=&\left\{ a\in A\ |\ \exists y\in Y:y=f\left( a\right) \right\}
\end{eqnarray*}などと様々な形で表現できます。加えて、任意の\(\left( a,y\right) \in A\times Y\)について、\begin{equation*}a\in f^{-1}\left( y\right) \Leftrightarrow y=f\left( a\right)
\end{equation*}という関係が成り立つため、\(f\)による\(Y\)の逆像はさらに、\begin{equation*}f^{-1}\left( Y\right) =\left\{ a\in A\ |\ \exists y\in Y:a\in f^{-1}\left(
y\right) \right\}
\end{equation*}と表現することもできます。特に、\(Y=B\)の場合の逆像は\(f\)の定義域\(D\left( f\right) \)であり、これは、\begin{eqnarray*}D\left( f\right) &=&f^{-1}\left( B\right) \\
&=&\left\{ a\in A\ |\ f\left( a\right) \in B\right\} \\
&=&\left\{ a\in A\ |\ \exists b\in B:\left( a,b\right) \in G\left( f\right)
\right\} \\
&=&\left\{ a\in A\ |\ \exists b\in B:b=f\left( a\right) \right\} \\
&=&\left\{ a\in A\ |\ \exists b\in B:a\in f^{-1}\left( b\right) \right\}
\end{eqnarray*}などと様々な形で表現できます。

写像による集合の像の逆像

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、始集合の部分集合\(X\subset A\)を任意に選んだ上で、その像\(f\left(X\right) \)をとります。これは\(B\)の部分集合であるため、さらにその逆像\(f^{-1}\left( f\left( X\right) \right) \)をとることができますが、これはもとの集合\(X\)よりも大きい集合になることが保証されます。

逆に、始集合の部分集合\(X\subset A\)を任意にとったとき、\begin{equation*}f^{-1}\left( f\left( X\right) \right) \subset X
\end{equation*}は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。

写像による集合の逆像の像

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、終集合の部分集合\(Y\subset B\)を任意に選んだ上で、その逆像\(f^{-1}\left( Y\right) \)をとります。これは\(A\)の部分集合であるため、さらにその像\(f\left( f^{-1}\left( Y\right) \right) \)をとることができますが、これはもとの集合\(Y\)よりも小さい集合になることが保証されます。

逆に、終集合の部分集合\(Y\subset B\)を任意にとったとき、\begin{equation*}Y\subset f\left( f^{-1}\left( Y\right) \right)
\end{equation*}は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。