写像による像と逆像の関係

写像による始集合の要素の像と、終集合の要素の逆像の間に成立する関係や、写像による始集合の部分集合の像と、終集合の部分集合の逆像の間に成立する関係などについて整理します。
写像 集合の像 集合の逆像
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写像による要素の像と逆像の関係

復習になりますが、写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、\(f\)による要素\(b\in B\)の逆像は、\begin{equation*}
f^{-1}\left( b\right) =\left\{ a\in A\ |\ b=f\left( a\right) \right\}
\end{equation*}と定義される\(A\)の部分集合であるため、順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}
a\in f^{-1}\left( b\right) \ \Leftrightarrow \ b=f\left( a\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(a\)が\(f\)による\(b\)の逆像の要素であることと、\(b\)が\(f\)による\(a\)の像であることは必定十分です。

上の恒等式において\(a\)は\(f^{-1}\left( b\right) \)の要素ですが、これを少し限定して、\(a\)が\(f^{-1}\left( b\right)\)の唯一の要素であるとしても、同様の恒等式は成り立つでしょうか。つまり、順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}
f^{-1}\left( b\right) =\left\{ a\right\} \ \Leftrightarrow \ b=f\left(
a\right)
\end{equation*}という関係もまた成り立つでしょうか。以下の例が示唆するように、このような関係は成り立つとは限りません。

例(写像による要素の像と逆像の関係)
写像\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)を\(f\left( x\right) =x^{2}\)と定義します。\(f\left( 1\right) =1^{2}=1\)であることから順序対\(\left( 1,1\right) \in \mathbb{R}\times \mathbb{R}\)に注目した上で、\begin{equation}
f^{-1}\left( 1\right) =\left\{ 1\right\} \Leftrightarrow 1=f\left( 1\right)
\tag{1}
\end{equation}が成り立つものと仮定して矛盾を導きます。\(1=f\left( 1\right) \)は真であるため、\(\left( 1\right) \)が成り立つのであれば\(f^{-1}\left( 1\right) =\left\{ 1\right\} \)もまた真のはずです。しかし実際には、\begin{equation*}
f^{-1}\left( 1\right) =\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ 1=x^{2}\right\} =\left\{ 1,-1\right\}
\end{equation*}であり、\(f^{-1}\left( 1\right) \not=\left\{ 1\right\} \)となります。したがって、\(\left( 1\right) \)は成り立ちません。

 

写像による集合の像や逆像の特徴づけ

復習になりますが、写像\(f:X\rightarrow Y\)が与えられたとき、集合\(A\subset X\)の像は、\begin{eqnarray*}
f\left( A\right) &=&\left\{ f\left( a\right) \in Y\ |\ a\in A\right\} \\
&=&\left\{ y\in Y\ |\ \exists a\in A:\left( a,y\right) \in G\left( f\right)
\right\} \\
&=&\left\{ y\in Y\ |\ \exists a\in A:y=f\left( a\right) \right\}
\end{eqnarray*}などと様々な形で表現できます。加えて、任意の\(\left( a,y\right) \in A\times Y\)について、\begin{equation*}
a\in f^{-1}\left( y\right) \ \Leftrightarrow \ y=f\left( a\right)
\end{equation*}という関係が成り立つため、\(f\left( A\right) \)はさらに、\begin{eqnarray*}
f\left( A\right) &=&\left\{ y\in Y\ |\ \exists a\in A:a\in f^{-1}\left(
y\right) \right\} \\
&=&\left\{ y\in Y\ |\ f^{-1}\left( y\right) \cap A\not=\phi \right\}
\end{eqnarray*}などと表現することもできます。特に、\(A=X\)の場合の像は\(f\)の値域\(R\left( f\right) \)であり、これは、\begin{eqnarray*}
R\left( f\right) &=&f\left( X\right) \\
&=&\left\{ f\left( x\right) \in Y\ |\ x\in X\right\} \\
&=&\left\{ y\in Y\ |\ \exists x\in X:\left( x,y\right) \in G\left( f\right)
\right\} \\
&=&\left\{ y\in Y\ |\ \exists x\in X:y=f\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ y\in Y\ |\ \exists x\in X:x\in f^{-1}\left( y\right) \right\} \\
&=&\left\{ y\in Y\ |\ f^{-1}\left( y\right) \cap X\not=\phi \right\} \\
&=&\left\{ y\in Y\ |\ f^{-1}\left( y\right) \not=\phi \right\} \quad
\because f^{-1}\left( y\right) \subset X
\end{eqnarray*}などと様々な形で表現できます。

やはり復習になりますが、写像\(f:X\rightarrow Y\)が与えられたとき、集合\(B\subset Y\)の逆像は、\begin{eqnarray*}
f^{-1}\left( B\right) &=&\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in B\right\}
\\
&=&\left\{ x\in X\ |\ \exists b\in B:\left( x,b\right) \in G\left( f\right)
\right\} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ \exists b\in B:b=f\left( x\right) \right\}
\end{eqnarray*}などと様々な形で表現できます。加えて、任意の\(\left( x,b\right) \in X\times B\)について、\begin{equation*}
x\in f^{-1}\left( b\right) \ \Leftrightarrow \ b=f\left( a\right)
\end{equation*}という関係が成り立つため、\(f^{-1}\left( B\right) \)はさらに、\begin{equation*}
f^{-1}\left( B\right) =\left\{ x\in X\ |\ \exists b\in B:x\in f^{-1}\left(
b\right) \right\}
\end{equation*}と表現することもできます。特に、\(B=Y\)の場合の逆像は\(f\)の定義域\(D\left( f\right) \)であり、これは、\begin{eqnarray*}
D\left( f\right) &=&f^{-1}\left( Y\right) \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in Y\right\} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ \exists y\in Y:\left( x,y\right) \in G\left( f\right)
\right\} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ \exists y\in Y:y=f\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ \exists y\in Y:x\in f^{-1}\left( y\right) \right\}
\end{eqnarray*}などと様々な形で表現できます。

 

写像による集合の像の逆像

写像\(f:X\rightarrow Y\)が与えられたとき、集合\(A\subset X\)を任意に選んだ上で、その像\(f\left( A\right) \)をとります。\(f\left( A\right) \)は\(Y\)の部分集合であるため、その逆像\(f^{-1}\left( f\left( A\right) \right) \)をとることができますが、これはもとの集合\(A\)よりも大きい集合になることが保証されます。実際、\begin{equation}
f^{-1}\left( f\left( A\right) \right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right)
\in f\left( A\right) \right\} \tag{1}
\end{equation}であるため、\(x\in X\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
x\in A &\Rightarrow &f\left( x\right) \in f\left( A\right) \quad \because
f\left( A\right) \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &x\in f^{-1}\left( f\left( A\right) \right) \quad \because
\left( 1\right)
\end{eqnarray*}となります。つまり\(A\subset f^{-1}\left( f\left( A\right) \right) \)です。

命題(写像による集合の像の逆像)
写像\(f:X\rightarrow Y\)が与えられたとき、集合\(A\subset X\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}
A\subset f^{-1}\left( f\left( A\right) \right)
\end{equation*}が成り立つ。
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逆に、集合\(A\subset X\)を任意にとったとき、\begin{equation*}
f^{-1}\left( f\left( A\right) \right) \subset A
\end{equation*}という関係は成り立つとは限りません。これは以下の例より明らかです。

例(写像による集合の像の逆像)
写像\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)が\(f\left( x\right) =x^{2}\)と定義されているとき、\(f\)による\(\left[ 0,2\right] \subset \mathbb{R}\)の像は、\begin{eqnarray*}
f\left( \left[ 0,2\right] \right) &=&\left\{ x^{2}\in
\mathbb{R}\ |\ x\in \left[ 0,2\right] \right\} \\
&=&\left[ 0,4\right] \end{eqnarray*}となります。さらにその逆像は、\begin{eqnarray*}
f^{-1}\left( f\left( \left[ 0,2\right] \right) \right) &=&f^{-1}\left( \left[ 0,4\right] \right) \\
&=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ x^{2}\in \left[ 0,4\right] \right\} \\
&=&\left[ -2,2\right] \end{eqnarray*}となります。したがって、\(\left[ 0,2\right] \subset f^{-1}\left( f\left( \left[ 0,2\right] \right) \right) \)が成り立ちますが、これは先の命題と整合的です。逆に、\(f^{-1}\left( f\left( \left[ 0,2\right] \right) \right) \)は\(\left[ 0,2\right] \)の部分集合ではありません。

 

写像による集合の逆像の像

写像\(f:X\rightarrow Y\)が与えられたとき、集合\(B\subset Y\)を任意に選んだ上で、その逆像\(f^{-1}\left( B\right) \)をとります。\(f^{-1}\left( B\right) \)は\(X\)の部分集合であるため、その像\(f\left( f^{-1}\left( B\right) \right) \)をとることができますが、これはもとの集合\(B\)よりも小さい集合になることが保証されます。実際、\(y\in Y\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
y\in f\left( f^{-1}\left( B\right) \right) &\Leftrightarrow &\exists x\in
f^{-1}\left( B\right) :y=f\left( x\right) \quad \because f\left(
f^{-1}\left( B\right) \right) \text{の定義} \\
&\Rightarrow &\exists x\in X:\left[ f\left( x\right) \in B\ \wedge \
y=f\left( x\right) \right] \quad \because f^{-1}\left( B\right) \text{の定義} \\
&\Rightarrow &y\in B
\end{eqnarray*}となります。つまり\(f\left( f^{-1}\left( B\right) \right) \subset B\)です。

命題(写像による集合の逆像の像)
写像\(f:X\rightarrow Y\)と部分集合\(B\subset Y\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}
f\left( f^{-1}\left( B\right) \right) \subset B
\end{equation*}という関係が成り立つ。
証明を見る(プレミアム会員限定)

逆に、集合\(B\subset Y\)を任意にとったとき、\begin{equation*}
B\subset f\left( f^{-1}\left( B\right) \right)
\end{equation*}という関係は成り立つとは限りません。これは以下の例より明らかです。

例(写像による集合の逆像の像)
写像\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)が\(f\left( x\right) =x^{2}\)と定義されているとき、\(f\)による\(\left[ -1,1\right] \subset \mathbb{R}\)の逆像は、\begin{eqnarray*}
f^{-1}\left( \left[ -1,1\right] \right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ x^{2}\in \left[ -1,1\right] \right\} \\
&=&\left[ -1,1\right] \end{eqnarray*}となります。さらにその像は、\begin{eqnarray*}
f\left( f^{-1}\left( \left[ -1,1\right] \right) \right) &=&f\left( \left[
-1,1\right] \right) \\
&=&\left\{ x^{2}\in
\mathbb{R}\ |\ x\in \left[ -1,1\right] \right\} \\
&=&\left[ 0,1\right] \end{eqnarray*}となります。したがって、\(f\left( f^{-1}\left( \left[ -1,1\right] \right) \right) \subset \left[ -1,1\right] \)が成り立ちますが、これは先の命題と整合的です。逆に、\(\left[ -1,1\right] \)は\(f\left( f^{-1}\left( \left[ -1,1\right] \right) \right) \)の部分集合ではありません。

次回は単射や全射、全単射と呼ばれる種類の写像について解説します。
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