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全射

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全射

写像\(f:A\rightarrow B\)の終集合の要素\(b\in B\)を任意に選んだとき、それに対して\(b=f\left( a\right) \)を満たす定義域の要素\(a\in A\)が存在することを保証できる場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall b\in B,\ \exists a\in A:b=f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)を\(A\)から\(B\)への全射(surjection)や\(A\)から\(B\)の上への写像(onto-mapping)などと呼びます。

写像\(f:A\rightarrow B\)が全射でないこととは、上の定義の否定である、\begin{equation*}\exists b\in B,\ \forall a\in A:b\not=f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(f\)の終集合の要素の中に、\(f\)の定義域のいかなる要素の像でないものが存在する場合、\(f\)は全射ではありません。

例(全射)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{a,b,c\right\} \)に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。図では\(1\)から\(c\)へ矢印が伸びていますが、これは\(f\)による\(1\)の像が\(c\)であること、すなわち\(f\left( 1\right) =c\)であることを意味します。他の2本の矢印より\(f\left( 2\right) =a\)かつ\(f\left( 3\right) =b\)であることも読み取れます。\(B\)のそれぞれの要素に対して\(A\)の要素から矢印が伸びているため、この\(f\)は全射です。

図:全射
図:全射
例(全射)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{a,b,c\right\} \)に対して、\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。つまり、\(f\left( 1\right)=f\left( 3\right) =b\)かつ\(f\left( 2\right) =a\)です。図からは\(c\)へ伸びる矢印が存在しないことを読み取れますが、これは\(c=f\left( x\right) \)を満たす\(A\)の要素\(x\)が存在しないことを意味するため、この\(f\)は全射ではありません。

図:全射ではない
図:全射ではない
例(全射)
写像\(f:\mathbb{N} \rightarrow E_{++}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2x
\end{equation*}を像として定めるものとします。ただし、\(\mathbb{N} \)はすべての自然数からなる集合、\(E_{++}\)はすべての正の偶数からなる集合です。終集合の要素である正の偶数\(y\in E_{++}\)を任意に選ぶと、それは自然数\(x\in \mathbb{N} \)を用いて\(y=2x\)という形で表すことができますが、\(f\)の定義より、これは\(f\left( x\right) =y\)であることを意味します。したがって、\begin{equation*}\forall y\in E_{++},\ \exists x\in \mathbb{N} :y=f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)が全射であることが示されました。
例(全射)
写像\(f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2x
\end{equation*}を像として定めるものとします。先の例とは異なり、終集合はすべての正の偶数からなる集合\(E_{++}\)ではなくすべての自然数\(\mathbb{N} \)であることに注意してください。この\(f\)はもはや全射ではありません。実際、終集合の要素\(3\in \mathbb{N} \)に注目すると、これに対して\(3=2x\)すなわち\(3=f\left( x\right) \)を満たす自然数\(x\in \mathbb{N} \)は存在しません。つまり、\begin{equation*}\exists 3\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in \mathbb{N} :3\not=f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つため、この\(f\)は全射ではないことが示されました。
例(包含写像)
写像\(f:A\rightarrow B\)は包含写像であるものとします。つまり、定義域と終集合の間に\(A\subset B\)という関係が成り立つとともに、\(f\)がそれぞれの\(a\in A\)に対して定める像が、\begin{equation*}f\left( a\right) =a
\end{equation*}であるということです。以前に示したように包含写像は単射です。その一方で、包含写像は全射であるとは限りません。実際、\(f\)の定義域\(A\)が終集合\(B\)の真部分集合であるとき、\begin{equation*}\exists b\in B\backslash A,\ \forall a\in A:b\not=a
\end{equation*}が成り立ちますが、これは、\begin{equation*}
\exists b\in B,\ \forall a\in A:b\not=f\left( a\right)
\end{equation*}を意味するからです。

例(恒等写像)
写像\(f:A\rightarrow A\)が恒等写像であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(a\in A\)に対して定める像が、\begin{equation*}f\left( a\right) =a
\end{equation*}であるということです。以前に示したように恒等写像は単射です。加えて、恒等写像は全射でもあります。実際、\begin{equation*}
\forall a\in A,\ \exists a\in A:a=f\left( a\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall a\in A,\ \exists a\in A:a=a
\end{equation*}が成り立つからです。

 

写像から生成される全射

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、この\(f\)が全射であるか否かを問わず、終集合を値域に制限して\(f:A\rightarrow f\left( A\right) \)とすれば、これは必ず全射になります。\(b\inf\left( A\right) \)を任意に選んだとき、値域の定義より\(b=f\left( a\right) \)を満たす\(a\in A\)が必ず存在するからです。つまり、\begin{equation*}\forall b\in f\left( A\right) ,\ \exists a\in A:b=f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、これは\(f\)が全射であることを意味します。

命題(写像から生成される全射)
写像\(f:A\rightarrow B\)が任意に与えられたとき、\(f:A\rightarrow f\left( A\right) \)は全射である。ただし、\(f\left( A\right) \)は\(f\)の値域である。

上の命題の逆も成立します。つまり、写像が全射であるならば、その終集合が値域は一致します。

命題(全射の終集合と値域は一致する)
写像\(f:A\rightarrow B\)が全射であるならば、\(B=f\left( A\right) \)が成り立つ。ただし、\(f\left(A\right) \)は\(f\)の値域である。
証明

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以上の命題より、写像が全射であることと、その写像の終集合と値域が一致することは必要十分であることが明らかになりました。

命題(全射の特徴づけ)

写像\(f:A\rightarrow B\)について\(B=f\left(A\right) \)が成り立つことは、\(f\)が全射であるための必要十分条件である。

例(写像から生成される全射)
写像\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 1,2\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 1,2\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2x
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ 1,2\right] \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 1,2\right] \right\} \\
&=&\left\{ 2x\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 1,2\right] \right\} \\
&=&\left[ 2,4\right] \end{eqnarray*}ですが、これは\(f\)の終集合\(\mathbb{R} \)と一致しないため、先の命題より\(f\)は全射ではありません。一方、\(f\)の終集合を値域に制限して\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 1,2\right] \rightarrow \left[ 2,4\right] \)とすれば、先の命題より\(f\)は全射になります。

 

全射と合成写像

2つの写像\(f:A\rightarrow B\)と\(g:B\rightarrow C\)が任意に与えられたとき、それぞれの\(a\in A\)に対して、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( a\right) =g\left( f\left( a\right) \right)
\end{equation*}を像として定める合成写像\(g\circ f:A\rightarrow C\)が定義可能です。写像\(f,g\)がともに全射である場合、それらの合成写像\(g\circ f\)もまた全射になることが保証されます。

命題(全射の合成は全射)
2つの写像\(f:A\rightarrow B\)と\(g:B\rightarrow C\)が任意に与えられたとき、これらがともに全射であるならば、合成写像\(g\circ f:A\rightarrow C\)もまた全射である。
証明

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逆に、合成写像\(g\circ f\)が全射であるとき、それを構成する写像\(f,g\)もまた全射であることを保証できるのでしょうか。この場合、\(g\)が全射であることは保証されます。

命題(全射である合成写像を構成する全射)
2つの写像\(f:A\rightarrow B\)と\(g:B\rightarrow C\)が任意に与えられたとき、合成写像\(g\circ f:A\rightarrow C\)が全射であるならば、写像\(g\)もまた全射である。
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合成写像\(g\circ f\)が全射である場合には\(g\)もまた全射であることが明らかになりましたが、もう一方の写像\(f\)は全射であるとは限りません。以下の例から明らかです。

例(全射である合成写像を構成する非全射)
集合\(A,B,C\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \\
B &=&\left\{ b_{1},b_{2},b_{3}\right\} \\
C &=&\left\{ c_{1},c_{2}\right\}
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。写像\(f:A\rightarrow B\)は、\begin{eqnarray*}f\left( a_{1}\right) &=&b_{1} \\
f\left( a_{2}\right) &=&b_{2}
\end{eqnarray*}を満たし、写像\(g:B\rightarrow C\)は、\begin{eqnarray*}g\left( b_{1}\right) &=&c_{1} \\
g\left( b_{2}\right) &=&c_{2} \\
g\left( b_{3}\right) &=&c_{2}
\end{eqnarray*}を満たすとき、合成写像\(g\circ f:A\rightarrow C\)は、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( a_{1}\right) &=&g\left( f\left( a_{1}\right)
\right) =g\left( b_{1}\right) =c_{1} \\
\left( g\circ f\right) \left( a_{2}\right) &=&g\left( f\left( a_{2}\right)
\right) =g\left( b_{2}\right) =c_{2}
\end{eqnarray*}を満たします。\(g\)と\(g\circ f\)はともに全射である一方、\(f\)は単射ではありません。

 

全射の逆写像

全射の逆写像は存在するとは限りません。実際、写像\(f:A\rightarrow B\)が全射であり、なおかつ終集合のある要素\(b\in B\)に対してその逆像\(f^{-1}\left( b\right) \subset A\)が複数の要素を持つ場合、逆写像\(f^{-1}:B\rightarrow A\)は点\(b\in B\)において定義不可能です。

例(逆写像を持たない全射)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{b,c\right\} \)に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。つまり、\(f\left( 1\right) =f\left( 2\right) =b\)かつ\(f\left( 3\right) =c\)です。

図:逆写像を持たない全射
図:逆写像を持たない全射

この写像\(f\)は逆写像\(f:B\rightarrow A\)を持ちません。実際、\(f\)による\(b\in B\)の逆像は\(f^{-1}\left( b\right) =\left\{ 1,2\right\} \)であるため、逆写像\(f^{-1}:B\rightarrow A\)はそもそも点\(b\in B\)において定義不可能だからです。

 

演習問題

問題(全射)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =1
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は全射ですか。議論してください。
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問題(単射と全射が一致するための条件)
集合\(A\)が有限集合である場合には、写像\(A\rightarrow A\)が単射であることと、その写像\(f:A\rightarrow A\)が全射であることは必要十分であることを証明してください。
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次回は写像の右逆写像と呼ばれる概念を定義し、写像に対して右逆写像が存在することと、その写像が全射であることが必要十分であることを示します。

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関連知識

全射

全射と右逆写像

写像 f に対して合成写像 f∘g が恒等写像になるような写像 g が存在する場合、このような g を f の右逆写像と呼びます。選択公理を認める場合、写像 f に対してその右逆写像が存在することは、f が全射であるための必要十分条件です。

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