確認テスト III（集合の濃度）

写像\begin{equation*}
f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{Z}
\end{equation*}を、\begin{equation*}
f(x)=\lfloor x\rfloor
\end{equation*}と定義します。ただし、\(\lfloor x\rfloor \)は\(x\)以下の最大の整数を表します。また、\begin{equation*} D=2\mathbb{Z}=\left\{ 2n\mid n\in \mathbb{Z}\right\}
\end{equation*}とおきます。以下の問いに答えてください。

1. \(f\left( \mathbb{R}\right) =\mathbb{Z}\)であることを示した上で、\(f\left( \mathbb{R}\right) \)の濃度を判定してください（5点）。
2. \(f^{-1}(D)\)を具体的に表した上で、その濃度を判定してください（10点）。

集合\(A,B\)について、\begin{equation*} \left\vert A\right\vert =\left\vert \mathbb{R}\right\vert
\end{equation*}が成り立つとともに、\(B\)は可算集合であるものとします。このとき、\begin{equation*} \left\vert A\times B\right\vert =\left\vert \mathbb{R}\right\vert
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。また、この証明において選択公理が必要であるかどうかを説明してください。

以下の問いに答えてください（各10点）。

1. \(\left\vert \mathbb{N}\right\vert +1=\left\vert \mathbb{N}\right\vert +2=\left\vert \mathbb{N}\right\vert \)が成り立つことを証明してください。
2. \(\left\vert \mathbb{N}\right\vert \cdot 1=\left\vert \mathbb{N}\right\vert \cdot 2=\left\vert \mathbb{N}\right\vert \)が成り立つことを証明してください。

集合族\(\mathcal{C}\)を、 \begin{equation*}
\mathcal{C}=\left\{ A\subset \mathbb{N}\mid A\text{と}\mathbb{N}\backslash A\text{はともに無限集合}\right\}
\end{equation*}と定義します。このとき、
\begin{equation*}
\left\vert \mathcal{C}\right\vert =\left\vert 2^{\mathbb{N}}\right\vert
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。したがって、\(\mathcal{C}\)が非可算集合であることを示してください。

実数集合の高々可算な部分集合全体からなる集合族を、
\begin{equation*}
\mathcal{A}=\left\{A\subset\mathbb{R}\mid A\text{は高々可算集合}\right\}
\end{equation*}と定義します。選択公理を認めるものとします。実数列全体の集合 \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\)が連続体であることを用いて、 \begin{equation*}
\left|\mathcal{A}\right|=\left|\mathbb{R}\right|
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。また、選択公理を用いる箇所を明らかにしてください。