連続体の差集合の濃度

前節までに、連続体の部分集合や和集合、共通部分の濃度について解説しました。本節では、連続体の差集合の濃度について考えます。

集合\(A,B\)の差集合\(A\backslash B\)とは、\(A\)に属する一方で\(B\)には属さない要素からなる集合です。差集合については、\begin{equation*}A\backslash B\subset A
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\(A\)が連続体である場合、連続体の部分集合の濃度に関する性質を利用することにより、差集合\(A\backslash B\)が連続体以下の濃度を持つことが示されます。

命題（連続体との差集合の濃度）

集合\(A\)が連続体であるならば、任意の集合\(B\)について、差集合\(A\backslash B\)は連続体濃度以下の濃度を持つ。

証明

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例（連続体と可算集合の差集合）

以下の集合\begin{eqnarray*}
A &=&\mathbb{R} \\
B &=&\mathbb{Q} \end{eqnarray*}に注目します。\(A\)は連続体であり\(B\)は可算集合です。したがって先の命題より、\begin{equation*}A\backslash B=\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \end{equation*}は連続体濃度以下の濃度を持ちます。実際、\begin{equation*}
\left\vert \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right\vert =\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。

先の命題を踏まえると以下を得ます。

命題（連続体どうしの差集合の濃度）

集合\(A,B\)がともに連続体であるならば、差集合\(A\backslash B\)は連続体濃度以下の濃度を持つ。

証明

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2つの連続体の差集合は連続体濃度以下の濃度を持つことが明らかになりましたが、そのパターンとしては少なくとも、空集合、1点集合、任意の有限濃度を持つ集合、可算集合、連続体のいずれにもなり得ます。さらに、連続体仮説が成り立たない場合には、可算濃度と連続体濃度の中間の濃度を持つ差集合も存在します。

例（差集合が空集合である場合）

以下の集合\begin{eqnarray*}
A &=&\mathbb{R} \\
B &=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}はともに連続体ですが、差集合は、\begin{equation*}
A\backslash B=\phi
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left\vert A\backslash B\right\vert =\left\vert \phi \right\vert =0
\end{equation*}です。

例（差集合が1点集合である場合）

以下の集合\begin{eqnarray*}
A &=&\mathbb{R} \\
B &=&\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\}
\end{eqnarray*}はともに連続体ですが、差集合は、\begin{equation*}
A\backslash B=\left\{ 1\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left\vert A\backslash B\right\vert =\left\vert \left\{ 1\right\}
\right\vert =1
\end{equation*}です。

例（差集合が任意の有限濃度である場合）

自然数\(k\in \mathbb{N} \)を任意に選びます。以下の集合\begin{eqnarray*}A &=&\mathbb{R} \\
B &=&\mathbb{R} \backslash \left\{ 1,\cdots ,k\right\}
\end{eqnarray*}はともに連続体ですが、差集合は、\begin{equation*}
A\backslash B=\left\{ 1,\cdots ,k\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left\vert A\backslash B\right\vert =\left\vert \left\{ 1,\cdots ,k\right\}
\right\vert =k
\end{equation*}です。

例（差集合が可算集合である場合）

以下の集合\begin{eqnarray*}
A &=&\mathbb{R} \\
B &=&\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \end{eqnarray*}はともに連続体ですが、差集合は、\begin{equation*}
A\backslash B=\mathbb{Q} \end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left\vert A\backslash B\right\vert =\left\vert \mathbb{Q} \right\vert =\left\vert \mathbb{N} \right\vert
\end{equation*}です。

例（差集合が連続体である場合）

以下の集合\begin{eqnarray*}
A &=&\mathbb{R} \\
B &=&\left( -\infty ,0\right)
\end{eqnarray*}はともに連続体ですが、差集合は、\begin{equation*}
A\backslash B=[0,+\infty )
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left\vert A\backslash B\right\vert =\left\vert [0,+\infty )\right\vert
=\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}です。

有限集合\(A\)については、任意の集合\(B\)について差集合\(A\backslash B\)は有限集合であるとともに、\begin{equation*}\left\vert A\backslash B\right\vert =\left\vert A\right\vert -\left\vert
A\cap B\right\vert
\end{equation*}が成り立つため、\(\left\vert A\right\vert \)と\(\left\vert A\cap B\right\vert \)から差集合の濃度を特定できます。一方、\(A\)が連続体である場合には、\(\left\vert A\backslash B\right\vert \)は少なくとも\(0,1,2,\cdots ,\left\vert \mathbb{N} \right\vert ,\left\vert \mathbb{R} \right\vert \)のいずれにもなり得ることを例を通じて確認しました。したがって、\(\left\vert A\right\vert \)と\(\left\vert A\cap B\right\vert \)を知るだけでは、一般に\(\left\vert A\backslash B\right\vert \)を一意に特定できません。一般的に保証されるのは、\begin{equation*}\left\vert A\backslash B\right\vert \leq \left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}ということだけです。

例（減法公式が成立しない例）

以下の集合\begin{eqnarray*}
A_{1} &=&\mathbb{R} \\
A_{2} &=&\mathbb{R} \\
B_{1} &=&\mathbb{R} \\
B_{2} &=&\left( -\infty ,0\right)
\end{eqnarray*}はいずれも連続体であるとともに、\begin{eqnarray*}
\left\vert A_{1}\right\vert &=&\left\vert \mathbb{R} \right\vert \\
\left\vert A_{2}\right\vert &=&\left\vert \mathbb{R} \right\vert \\
\left\vert A\cap B_{1}\right\vert &=&\left\vert \mathbb{R} \right\vert \\
\left\vert A\cap B_{2}\right\vert &=&\left\vert -\infty ,0\right\vert
=\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\left\vert A_{1}\right\vert &=&\left\vert A_{2}\right\vert \\
\left\vert A\cap B_{1}\right\vert &=&\left\vert A\cap B_{2}\right\vert
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。その一方で、\begin{eqnarray*}
\left\vert A\backslash B_{1}\right\vert &=&\left\vert \phi \right\vert =0 \\
\left\vert A\backslash B_{2}\right\vert &=&\left\vert [0,+\infty
)\right\vert =\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\left\vert A\backslash B_{1}\right\vert \not=\left\vert A\backslash
B_{2}\right\vert
\end{equation*}です。したがって、連続体に対しては、減法公式\begin{equation*}
\left\vert A\backslash B\right\vert =\left\vert A\right\vert -\left\vert
A\cap B\right\vert
\end{equation*}を一般的な公式とみなすことはできません。

連続体と高々可算集合の差集合の濃度

集合\(A\)が連続体である場合、任意の集合\(B\)に対して差集合\(A\backslash B\)は連続体濃度以下の濃度を持つことが明らかになりました。特に、\(B\)が高々可算集合である場合には\(A\backslash B\)が連続体であることが保証されます。

命題（連続体と高々可算集合の差集合の濃度）

集合\(A\)が連続体であり集合\(B\)が高々可算集合である場合、差集合\(A\backslash B\)は連続体である。ただし、選択公理を認めるものとする。

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例（連続体と可算集合の差集合の濃度）

実数集合\(\mathbb{R} \)は連続体であり、有理数集合\(\mathbb{Q} \)は可算集合であるため、先の命題より、\begin{equation*}\left\vert \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right\vert =\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、無理数集合は連続体です。

例（連続体と有限集合の差集合の濃度）

以下の集合\begin{eqnarray*}
A &=&\left[ 0,1\right] \\
B &=&\left\{ 0,\frac{1}{2},1\right\}
\end{eqnarray*}に注目します。\(A\)は連続体であり\(B\)は有限集合であるため、先の命題より、\begin{equation*}\left\vert A\backslash B\right\vert =\left\vert \left[ 0,1\right] \backslash
\left\{ 0,\frac{1}{2},1\right\} \right\vert =\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。

連続体仮説との関係

集合\(A,B\)がともに連続体であるならば、\begin{equation*}\left\vert A\backslash B\right\vert \leq \left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、濃度の比較可能性を前提とする場合、以下の3通り\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \left\vert A\backslash B\right\vert \leq \left\vert \mathbb{N} \right\vert \\
&&\left( b\right) \ \left\vert \mathbb{N} \right\vert <\left\vert A\backslash B\right\vert <\left\vert \mathbb{R} \right\vert \\
&&\left( c\right) \ \left\vert A\backslash B\right\vert =\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{eqnarray*}が可能性として存在します。ただし、連続体仮説を認める場合には\(\left( b\right) \)は起こり得ないため、実際に起こり得るのは\(\left( a\right),\left( c\right) \)のどちらか一方です。つまり、\(A\backslash B\)は高々可算集合であるか連続体であるかのどちらか一方です。

命題（連続体仮説の帰結）

連続体仮説が成り立つ場合には、任意の2つの連続体の差集合は高々可算集合または連続体である。

逆の主張も成り立ちます。まずは以下の命題を示します。

命題（連続体以下の任意の濃度を差集合として表現する）

集合\(X\)について、\begin{equation*}\left\vert X\right\vert \leq \left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}が成り立つ場合、2つの連続体\(A,B\)が存在して、\begin{equation*}\left\vert A\backslash B\right\vert =\left\vert X\right\vert
\end{equation*}と表せる。

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以上を踏まえた上で以下を示します。

命題（連続体仮説の特徴づけ）

連続体仮説が成り立つことと、任意の2つの連続体の差集合が高々可算集合または連続体であることは必要十分である。

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演習問題

問題（差集合の順序が重要である例）

連続体\(A\)と集合\(B\)について、\(A\backslash B\)と\(B\backslash A\)の濃度が一致するとは限らないことを示してください。

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問題（連続体と有限集合の差集合）

連続体\(A\)と有限集合\(F\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left\vert A\backslash F\right\vert =\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題（区間内の無理数）

以下の集合\begin{equation*}
\left( 0,1\right) \backslash \mathbb{Q} \end{equation*}が連続体であることを証明してください。

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連続体の差集合の濃度

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