連続体どうしの共通部分の濃度
集合\(A,B\)の共通部分\(A\cap B\)とは、\(A\)と\(B\)の両方に属する要素からなる集合です。共通部分については、\begin{eqnarray*}A\cap B &\subset &A \\
A\cap B &\subset &B
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。したがって、\(A,B\)の少なくとも一方が可算集合である場合、共通部分\(A\cap B\)は高々可算集合です。
命題（連続体との共通部分の濃度）
集合\(A,B\)の少なくとも一方が連続体であるならば、共通部分\(A\cap B\)は連続体濃度以下の濃度を持つ。
例（連続体と可算集合の共通部分）
以下の集合\begin{eqnarray*}
A &=&\mathbb{R} \\
B &=&\mathbb{Q} \end{eqnarray*}に注目します。\(A\)は連続体であり\(B\)は可算集合であるため、先の命題より、\begin{equation*}\left\vert A\cap B\right\vert \leq \left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。実際、\begin{equation*}
A\cap B=\mathbb{Q} \end{equation*}ですが、これは可算集合です。
A &=&\mathbb{R} \\
B &=&\mathbb{Q} \end{eqnarray*}に注目します。\(A\)は連続体であり\(B\)は可算集合であるため、先の命題より、\begin{equation*}\left\vert A\cap B\right\vert \leq \left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。実際、\begin{equation*}
A\cap B=\mathbb{Q} \end{equation*}ですが、これは可算集合です。
先の命題を踏まえると以下を得ます。
命題（連続体どうしの共通部分の濃度）
集合\(A,B\)がともに連続体であるならば、共通部分\(A\cap B\)は連続体濃度以下の濃度を持つ。
2つの連続体の共通部分は連続体濃度以下の濃度を持つことが明らかになりましたが、そのパターンとしては少なくとも、空集合、1点集合、任意の有限濃度を持つ集合、可算集合、連続体のいずれにもなり得ます。さらに、連続体仮説が成り立たない場合には、可算濃度と連続体濃度の中間の濃度を持つ共通部分も存在します。
例（共通部分が空集合である場合）
以下の集合\begin{eqnarray*}
A &=&\left( 0,1\right) \\
B &=&\left( 2,3\right)
\end{eqnarray*}はともに連続体ですが、共通部分は、\begin{equation*}
A\cap B=\phi
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left\vert A\cap B\right\vert =\left\vert \phi \right\vert =0
\end{equation*}です。
A &=&\left( 0,1\right) \\
B &=&\left( 2,3\right)
\end{eqnarray*}はともに連続体ですが、共通部分は、\begin{equation*}
A\cap B=\phi
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left\vert A\cap B\right\vert =\left\vert \phi \right\vert =0
\end{equation*}です。
例（共通部分が1点集合である場合）
以下の集合\begin{eqnarray*}
A &=&\left[ 0,1\right] \\
B &=&\left[ 1,2\right] \end{eqnarray*}はともに連続体ですが、共通部分は、\begin{equation*}
A\cap B=\left\{ 1\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left\vert A\cap B\right\vert =\left\vert \left\{ 1\right\} \right\vert =1
\end{equation*}です。
A &=&\left[ 0,1\right] \\
B &=&\left[ 1,2\right] \end{eqnarray*}はともに連続体ですが、共通部分は、\begin{equation*}
A\cap B=\left\{ 1\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left\vert A\cap B\right\vert =\left\vert \left\{ 1\right\} \right\vert =1
\end{equation*}です。
例（共通部分が任意の有限濃度である場合）
自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選びます。以下の集合\begin{eqnarray*}A &=&\left( n+1,n+2\right) \cup \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} \\
B &=&\left( n+3,n+4\right) \cup \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\}
\end{eqnarray*}に注目します。\begin{eqnarray*}
\left( n+1,n+2\right) &\subset &A \\
\left( n+3,n+4\right) &\subset &B
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、\(A,B\)はともに\(\mathbb{R} \)の部分集合であるとともに非退化区間を部分集合として含むため連続体です。共通部分は、\begin{equation*}A\cap B=\left\{ 1,2,\cdots ,n\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left\vert A\cap B\right\vert =\left\vert \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\}
\right\vert =n
\end{equation*}です。
B &=&\left( n+3,n+4\right) \cup \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\}
\end{eqnarray*}に注目します。\begin{eqnarray*}
\left( n+1,n+2\right) &\subset &A \\
\left( n+3,n+4\right) &\subset &B
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、\(A,B\)はともに\(\mathbb{R} \)の部分集合であるとともに非退化区間を部分集合として含むため連続体です。共通部分は、\begin{equation*}A\cap B=\left\{ 1,2,\cdots ,n\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left\vert A\cap B\right\vert =\left\vert \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\}
\right\vert =n
\end{equation*}です。
例（共通部分が可算集合である場合）
以下の集合\begin{eqnarray*}
A &=&\left( 0,+\infty \right) \cup \mathbb{Q} \\
B &=&\left( -\infty ,0\right) \cup \mathbb{Q} \end{eqnarray*}に注目します。\begin{eqnarray*}
\left( 0,+\infty \right) &\subset &A \\
\left( -\infty ,0\right) &\subset &B
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、\(A,B\)はともに\(\mathbb{R} \)の部分集合であるとともに非退化区間を部分集合として含むため連続体です。共通部分は、\begin{equation*}A\cap B=\mathbb{Q} \end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left\vert A\cap B\right\vert =\left\vert \mathbb{Q} \right\vert =\left\vert \mathbb{N} \right\vert
\end{equation*}です。
A &=&\left( 0,+\infty \right) \cup \mathbb{Q} \\
B &=&\left( -\infty ,0\right) \cup \mathbb{Q} \end{eqnarray*}に注目します。\begin{eqnarray*}
\left( 0,+\infty \right) &\subset &A \\
\left( -\infty ,0\right) &\subset &B
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、\(A,B\)はともに\(\mathbb{R} \)の部分集合であるとともに非退化区間を部分集合として含むため連続体です。共通部分は、\begin{equation*}A\cap B=\mathbb{Q} \end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left\vert A\cap B\right\vert =\left\vert \mathbb{Q} \right\vert =\left\vert \mathbb{N} \right\vert
\end{equation*}です。
例（共通部分が連続体である場合）
以下の集合\begin{eqnarray*}
A &=&\left( 0,2\right) \\
B &=&\left( 1,3\right)
\end{eqnarray*}はともに連続体ですが、共通部分は、\begin{equation*}
A\cap B=\left( 1,2\right)
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left\vert A\cap B\right\vert =\left\vert \left( 1,2\right) \right\vert
=\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}です。
A &=&\left( 0,2\right) \\
B &=&\left( 1,3\right)
\end{eqnarray*}はともに連続体ですが、共通部分は、\begin{equation*}
A\cap B=\left( 1,2\right)
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left\vert A\cap B\right\vert =\left\vert \left( 1,2\right) \right\vert
=\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}です。
有限集合\(A,B\)については、包除原理により、\begin{equation*}\left\vert A\cap B\right\vert =\left\vert A\right\vert +\left\vert
B\right\vert -\left\vert A\cup B\right\vert
\end{equation*}が成り立つため、\(\left\vert A\right\vert ,\left\vert B\right\vert ,\left\vert A\cup B\right\vert \)から共通部分の濃度を特定できます。一方、\(A,B\)がともに連続体である場合には、\(\left\vert A\cap B\right\vert \)は少なくとも\(0,1,2,\cdots ,\left\vert \mathbb{N} \right\vert ,\left\vert \mathbb{R} \right\vert \)のいずれにもなり得ることを例を通じて確認しました。したがって、\(\left\vert A\right\vert ,\left\vert B\right\vert ,\left\vert A\cup B\right\vert \)だけから\(\left\vert A\cap B\right\vert \)を特定する公式はありません。一般的に保証されるのは、\begin{equation*}\left\vert A\cap B\right\vert \leq \left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}ということだけです。
ただし、2つの集合\(A,B\)の少なくとも一方が連続体であるとともに、両者に共通して含まれる連続体が存在する場合、共通部分もまた連続体になります。
命題（連続体の共通部分が連続体となるための十分条件）
集合\(A,B\)の少なくとも一方が連続体であるものとする。さらに、ある連続体\(C\)が存在して、\begin{equation*}C\subset A\cap B
\end{equation*}が成り立つ場合には、共通部分\begin{equation*}
A\cap B
\end{equation*}もまた連続体である。
\end{equation*}が成り立つ場合には、共通部分\begin{equation*}
A\cap B
\end{equation*}もまた連続体である。
例（連続体の共通部分）
以下の集合\begin{eqnarray*}
A &=&\left( 0,2\right) \cup \mathbb{Q} \\
B &=&\left( 1,3\right) \cup \mathbb{Z} \end{eqnarray*}に注目します。\begin{eqnarray*}
\left( 0,2\right) &\subset &A \\
\left( 1,3\right) &\subset &B
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、\(A,B\)はともに\(\mathbb{R} \)の部分集合であるとともに非退化区間を部分集合として含むため連続体です。\(\left(1,2\right) \)は連続体であるとともに、\begin{equation*}\left( 1,2\right) \subset A\cap B
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より、\begin{equation*}
\left\vert A\cap B\right\vert =\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。この例では\(A\cap B\)を具体的に特定しなくても、その中に連続体\(\left( 1,2\right) \)が含まれていることだけから、共通部分が連続体であると判定できます。
A &=&\left( 0,2\right) \cup \mathbb{Q} \\
B &=&\left( 1,3\right) \cup \mathbb{Z} \end{eqnarray*}に注目します。\begin{eqnarray*}
\left( 0,2\right) &\subset &A \\
\left( 1,3\right) &\subset &B
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、\(A,B\)はともに\(\mathbb{R} \)の部分集合であるとともに非退化区間を部分集合として含むため連続体です。\(\left(1,2\right) \)は連続体であるとともに、\begin{equation*}\left( 1,2\right) \subset A\cap B
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より、\begin{equation*}
\left\vert A\cap B\right\vert =\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。この例では\(A\cap B\)を具体的に特定しなくても、その中に連続体\(\left( 1,2\right) \)が含まれていることだけから、共通部分が連続体であると判定できます。
任意個の連続体の共通部分の濃度
2つの集合に関する先の結果は、任意個の集合の共通部分にも拡張できます。
命題（連続体を含む任意個の集合の共通部分の濃度）
集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の少なくとも1つの要素が連続体であり、添字集合\(\Lambda \)が非空であるならば、共通部分\begin{equation*}\bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}は連続体濃度以下の濃度を持つ。
\end{equation*}は連続体濃度以下の濃度を持つ。
先の命題を踏まえると以下を得ます。
命題（任意個の連続体の共通部分の濃度）
集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素がいずれも連続体であり、添字集合\(\Lambda \)が非空であるならば、共通部分\begin{equation*}\bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}は連続体濃度以下の濃度を持つ。
\end{equation*}は連続体濃度以下の濃度を持つ。
例（共通部分が空集合になる例）
以下の集合族\begin{equation*}
\left\{ \left( 0,\frac{1}{n}\right) \right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}に注目します。\(\left( 0,\frac{1}{n}\right) \)は非空の開区間であるため連続体です。したがって先の命題より、\begin{equation*}\left\vert \bigcap_{n\in \mathbb{N} }\left( 0,\frac{1}{n}\right) \right\vert \leq \left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。実際、\(x\leq 0\)を任意に選んだとき、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}x\not\in \left( 0,\frac{1}{n}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。また、\(x>0\)を任意に選んだとき、十分大きな\(n\in \mathbb{N} \)のもとでは、\begin{equation*}\frac{1}{n}<x
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
x\not\in \left( 0,\frac{1}{n}\right)
\end{equation*}です。したがって共通部分の定義より、\begin{equation*}
\bigcap_{n\in \mathbb{N} }\left( 0,\frac{1}{n}\right) =\phi
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left\vert \bigcap_{n\in \mathbb{N} }\left( 0,\frac{1}{n}\right) \right\vert =0
\end{equation*}を得ます。
\left\{ \left( 0,\frac{1}{n}\right) \right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}に注目します。\(\left( 0,\frac{1}{n}\right) \)は非空の開区間であるため連続体です。したがって先の命題より、\begin{equation*}\left\vert \bigcap_{n\in \mathbb{N} }\left( 0,\frac{1}{n}\right) \right\vert \leq \left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。実際、\(x\leq 0\)を任意に選んだとき、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}x\not\in \left( 0,\frac{1}{n}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。また、\(x>0\)を任意に選んだとき、十分大きな\(n\in \mathbb{N} \)のもとでは、\begin{equation*}\frac{1}{n}<x
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
x\not\in \left( 0,\frac{1}{n}\right)
\end{equation*}です。したがって共通部分の定義より、\begin{equation*}
\bigcap_{n\in \mathbb{N} }\left( 0,\frac{1}{n}\right) =\phi
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left\vert \bigcap_{n\in \mathbb{N} }\left( 0,\frac{1}{n}\right) \right\vert =0
\end{equation*}を得ます。
例（共通部分が1点集合になる例）
以下の集合族\begin{equation*}
\left\{ \left[ -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right] \right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}に注目します。\(\left[ -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right] \)は非退化区間であるため連続体です。したがって先の命題より、\begin{equation*}\left\vert \bigcap_{n\in \mathbb{N} }\left[ -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right] \right\vert \leq \left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。実際、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}0\in \left[ -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right] \end{equation*}であるため、\begin{equation*}
0\in \bigcap_{n\in \mathbb{N} }\left[ -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right] \end{equation*}を得ます。また、\(x\not=0\)を任意に選んだとき、十分大きな\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}\frac{1}{n}<\left\vert x\right\vert
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
x\not\in \left[ -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right] \end{equation*}であるため、\begin{equation*}
x\not\in \bigcap_{n\in \mathbb{N} }\left[ -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right] \end{equation*}です。したがって、\begin{equation*}
\bigcap_{n\in \mathbb{N} }\left[ -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right] =\left\{ 0\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left\vert \bigcap_{n\in \mathbb{N} }\left[ -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right] \right\vert =1
\end{equation*}を得ます。
\left\{ \left[ -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right] \right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}に注目します。\(\left[ -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right] \)は非退化区間であるため連続体です。したがって先の命題より、\begin{equation*}\left\vert \bigcap_{n\in \mathbb{N} }\left[ -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right] \right\vert \leq \left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。実際、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}0\in \left[ -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right] \end{equation*}であるため、\begin{equation*}
0\in \bigcap_{n\in \mathbb{N} }\left[ -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right] \end{equation*}を得ます。また、\(x\not=0\)を任意に選んだとき、十分大きな\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}\frac{1}{n}<\left\vert x\right\vert
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
x\not\in \left[ -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right] \end{equation*}であるため、\begin{equation*}
x\not\in \bigcap_{n\in \mathbb{N} }\left[ -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right] \end{equation*}です。したがって、\begin{equation*}
\bigcap_{n\in \mathbb{N} }\left[ -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right] =\left\{ 0\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left\vert \bigcap_{n\in \mathbb{N} }\left[ -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right] \right\vert =1
\end{equation*}を得ます。
例（共通部分が可算集合になる例）
以下の集合族\begin{equation*}
\left\{ \mathbb{Q} \cup \left( -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right) \right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}に注目します。\(\mathbb{Q} \cup \left( -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right) \)は非退化区間\(\left( -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right) \)を部分集合として持つ\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため連続体です。したがって先の命題より、\begin{equation*}\left\vert \bigcap_{n\in \mathbb{N} }\left( \mathbb{Q} \cup \left( -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right) \right) \right\vert \leq
\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。実際、\(q\in \mathbb{Q} \)を任意に選んだとき、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}q\in \mathbb{Q} \cup \left( -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}\mathbb{Q} \subset \bigcap_{n\in \mathbb{N} }\left( \mathbb{Q} \cup \left( -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right) \right)
\end{equation*}が成り立ちます。また、\(x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)を任意に選んだとき\(x\not\in \mathbb{Q} \)です。さらに\(x\not=0\)ゆえに、十分大きな\(n\in \mathbb{N} \)のもとで、\begin{equation*}\frac{1}{n}<\left\vert x\right\vert
\end{equation*}が成り立つため\(x\not\in \left( -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right) \)です。したがって、\begin{equation*}q\not\in \mathbb{Q} \cup \left( -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)
\end{equation*}です。ゆえに、\begin{equation*}
\bigcap_{n\in \mathbb{N} }\left( \mathbb{Q} \cup \left( -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right) \right) =\mathbb{Q} \end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left\vert \bigcap_{n\in \mathbb{N} }\left( \mathbb{Q} \cup \left( -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right) \right) \right\vert =\left\vert \mathbb{N} \right\vert
\end{equation*}を得ます。
\left\{ \mathbb{Q} \cup \left( -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right) \right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}に注目します。\(\mathbb{Q} \cup \left( -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right) \)は非退化区間\(\left( -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right) \)を部分集合として持つ\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため連続体です。したがって先の命題より、\begin{equation*}\left\vert \bigcap_{n\in \mathbb{N} }\left( \mathbb{Q} \cup \left( -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right) \right) \right\vert \leq
\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。実際、\(q\in \mathbb{Q} \)を任意に選んだとき、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}q\in \mathbb{Q} \cup \left( -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}\mathbb{Q} \subset \bigcap_{n\in \mathbb{N} }\left( \mathbb{Q} \cup \left( -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right) \right)
\end{equation*}が成り立ちます。また、\(x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)を任意に選んだとき\(x\not\in \mathbb{Q} \)です。さらに\(x\not=0\)ゆえに、十分大きな\(n\in \mathbb{N} \)のもとで、\begin{equation*}\frac{1}{n}<\left\vert x\right\vert
\end{equation*}が成り立つため\(x\not\in \left( -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right) \)です。したがって、\begin{equation*}q\not\in \mathbb{Q} \cup \left( -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)
\end{equation*}です。ゆえに、\begin{equation*}
\bigcap_{n\in \mathbb{N} }\left( \mathbb{Q} \cup \left( -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right) \right) =\mathbb{Q} \end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left\vert \bigcap_{n\in \mathbb{N} }\left( \mathbb{Q} \cup \left( -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right) \right) \right\vert =\left\vert \mathbb{N} \right\vert
\end{equation*}を得ます。
集合族に属する少なくとも1つの集合が連続体であり、すべての集合に共通して含まれる連続体が存在する場合、共通部分もまた連続体になります。
命題（連続体の共通部分が連続体となるための十分条件）
集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の少なくとも1つの要素が連続体であり、添字集合\(\Lambda \)が非空であるものとする。さらに、ある連続体\(C\)が存在して、\begin{equation*}C\subset \bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}が成り立つ場合には、共通部分\begin{equation*}
\bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}もまた連続体である。
\end{equation*}が成り立つ場合には、共通部分\begin{equation*}
\bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}もまた連続体である。
連続体仮説との関係
集合\(A,B\)がともに連続体であるならば、\begin{equation*}\left\vert A\cap B\right\vert \leq \left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、濃度の比較可能性を前提とする場合、以下の3通り\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \left\vert A\cap B\right\vert \leq \left\vert \mathbb{N} \right\vert \\
&&\left( b\right) \ \left\vert \mathbb{N} \right\vert <\left\vert A\cap B\right\vert <\left\vert \mathbb{R} \right\vert \\
&&\left( c\right) \ \left\vert A\cap B\right\vert =\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{eqnarray*}が可能性として存在します。ただし、連続体仮説を認める場合には\(\left( b\right) \)は起こり得ないため、実際に起こり得るのは\(\left( a\right),\left( c\right) \)のどちらか一方です。つまり、\(A\cap B\)は高々可算集合であるか連続体であるかのどちらか一方です。
命題（連続体仮説の帰結）
連続体仮説が成り立つ場合には、任意の2つの連続体の共通部分は高々可算集合または連続体のどちらかである。
逆の主張も成り立ちます。まずは以下の命題を示します。
命題（任意の連続体以下の濃度を共通部分として実現できる）
集合\(X\)について、\begin{equation*}\left\vert X\right\vert \leq \left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}が成り立つ場合、2つの連続体\(A,B\)が存在して、\begin{equation*}\left\vert A\cap B\right\vert =\left\vert X\right\vert
\end{equation*}と表せる。
\end{equation*}が成り立つ場合、2つの連続体\(A,B\)が存在して、\begin{equation*}\left\vert A\cap B\right\vert =\left\vert X\right\vert
\end{equation*}と表せる。
以上を踏まえた上で以下を示します。
命題（連続体仮説の特徴づけ）
連続体仮説が成り立つことと、任意の2つの連続体の共通部分が高々可算集合または連続体のどちらかであることは必要十分である。
演習問題
問題（連続体と可算集合の共通部分）
集合\(A\)が連続体であり、集合\(B\)が可算集合である場合には、共通部分\(A\cap B\)が高々可算集合であることを証明してください。
問題（非退化区間を含まない連続体の共通部分）
以下の集合\begin{eqnarray*}
A &=&\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) \cup \left\{ 0\right\} \\
B &=&\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) \cup \left\{ 1\right\}
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。以下の問いに答えてください。
A &=&\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) \cup \left\{ 0\right\} \\
B &=&\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) \cup \left\{ 1\right\}
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。以下の問いに答えてください。
- \(A,B\)が連続体であることを示してください。
- \(A\cap B\)を求めた上で、\(A\cap B\)が連続体であることを示してください。
- \(A\cap B\)が非退化区間を部分集合として含まないことを示してください。
