可算集合どうしの共通部分の濃度
前節では、有限個または可算個の可算集合の和集合について、その濃度を考えました。和集合は各集合のすべての要素を集めて作られるため、もとの集合より濃度が大きくなる可能性があります。そのため、可算個の可算集合の和集合が可算であることを示すためには、各集合の要素を二重に配列して列挙する議論が必要でした。これに対して、共通部分はすべての集合に属する要素だけからなるため、もとのどの集合よりも大きくなることはありません。本節では、可算集合の共通部分の濃度について考えます。
集合\(A,B\)の共通部分\(A\cap B\)とは、\(A\)と\(B\)の両方に属する要素からなる集合です。共通部分については、\begin{eqnarray*}A\cap B &\subset &A \\
A\cap B &\subset &B
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。したがって、\(A,B\)の少なくとも一方が可算集合である場合、共通部分\(A\cap B\)は高々可算集合です。
A &=&\mathbb{Q} \\
B &=&\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}に注目します。\(A\)は可算集合であり\(B\)は非可算集合です。共通部分は、\begin{equation*}A\cap B=\mathbb{Q} \backslash \left\{ 0\right\}
\end{equation*}ですが、これは無限集合です。したがって先の命題より、\(\mathbb{Q} \backslash \left\{ 0\right\} \)は可算集合です。
先の命題を踏まえると以下を得ます。
2つの可算集合の共通部分は高々可算集合であることが明らかになりましたが、そのパターンとしては空集合、1点集合、任意の有限濃度を持つ集合、可算集合のいずれにもなり得ます。
A &=&\left\{ 2n\ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \\
B &=&\left\{ 2n-1\ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{eqnarray*}はともに可算集合ですが、共通部分は、\begin{equation*}
A\cap B=\phi
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left\vert A\cap B\right\vert =\left\vert \phi \right\vert =0
\end{equation*}です。
A &=&\mathbb{N} \\
B &=&\left\{ 1\right\} \cup \mathbb{Z} _{− −}
\end{eqnarray*}はともに可算集合ですが、共通部分は、\begin{equation*}
A\cap B=\left\{ 1\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left\vert A\cap B\right\vert =\left\vert \left\{ 1\right\} \right\vert =1
\end{equation*}です。
B &=&\left\{ 1,2,\cdots ,k\right\} \cup \mathbb{Z} _{− −}
\end{eqnarray*}はともに可算集合ですが、共通部分は、\begin{equation*}
A\cap B=\left\{ 1,2,\cdots ,k\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left\vert A\cap B\right\vert =\left\vert \left\{ 1,2,\cdots ,k\right\}
\right\vert =k
\end{equation*}です。
A &=&\mathbb{N} \\
B &=&\left\{ 2n\ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{eqnarray*}はともに可算集合ですが、共通部分は、\begin{equation*}
A\cap B=B
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left\vert A\cap B\right\vert =\left\vert B\right\vert =\left\vert \mathbb{N} \right\vert
\end{equation*}です。
有限集合\(A,B\)については、包除原理により、\begin{equation*}\left\vert A\cap B\right\vert =\left\vert A\right\vert +\left\vert
B\right\vert -\left\vert A\cup B\right\vert
\end{equation*}が成り立つため、\(\left\vert A\right\vert ,\left\vert B\right\vert ,\left\vert A\cup B\right\vert \)から共通部分の濃度を特定できます。一方、\(A,B\)がともに可算集合である場合には、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =\left\vert B\right\vert =\left\vert A\cup
B\right\vert =\left\vert \mathbb{N} \right\vert
\end{equation*}であっても、\(\left\vert A\cap B\right\vert \)は\(0,1,2,\cdots ,\left\vert \mathbb{N} \right\vert \)のいずれにもなり得ることを例を通じて確認しました。したがって、\(\left\vert A\right\vert ,\left\vert B\right\vert ,\left\vert A\cup B\right\vert \)だけから\(\left\vert A\cap B\right\vert \)を特定する公式はありません。一般的に保証されるのは、\begin{equation*}\left\vert A\cap B\right\vert \leq \left\vert \mathbb{N} \right\vert
\end{equation*}ということだけです。
任意個の可算集合の共通部分の濃度
2つの集合に関する先の結果は、任意個の集合の共通部分にも拡張できます。
\end{equation*}は高々可算集合である。特に、\(\bigcap_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda }\)が無限集合ならば可算集合である。
先の命題では添字集合\(\Lambda \)が非空である状況を想定しました。全体集合が\(U\)である場合、添字集合\(\Lambda \)が空集合である場合の集合族の共通部分は、\begin{equation*}\bigcap_{\lambda \in \phi }A_{\lambda }=U
\end{equation*}と定義されます。したがって、\(U\)が非可算集合ならば、この共通部分も非可算集合になるため、先の命題の主張が成り立ちません。したがって先の命題では\(\Lambda \)を非空としています。
\end{equation*}は高々可算集合です。特に、\(\bigcap_{i\in \mathbb{N} }A_{i}\)が無限集合ならば可算集合です。
先の命題を踏まえると以下を得ます。
\end{equation*}は高々可算集合である。特に、\(\bigcap_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda }\)が無限集合ならば可算集合である。
\end{equation*}は高々可算集合です。特に、\(\bigcap_{i\in \mathbb{N} }A_{i}\)が無限集合ならば可算集合です。
A_{\lambda }=\mathbb{N} \cup \left\{ \lambda \right\}
\end{equation*}であるものとします。\(A_{\lambda }\)は可算集合であり、\(\Lambda \)は非可算集合です。先の命題より、共通部分\begin{equation*}\bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=\bigcap_{\lambda \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{N} }\mathbb{N} \cup \left\{ \lambda \right\}
\end{equation*}は高々可算集合です。実際、\begin{equation*}
\bigcap_{\lambda \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{N} }\mathbb{N} \cup \left\{ \lambda \right\} =\mathbb{N} \end{equation*}であるため、共通部分は可算集合です。
任意個の高々可算集合の共通部分の濃度
これまでの議論を踏まえると以下を得ます。
\end{equation*}は高々可算集合である。
先の命題を踏まえると以下を得ます。
\end{equation*}は高々可算集合である。
演習問題
\end{equation*}が成り立つものとします。その上で、共通部分\begin{equation*}
\bigcap_{n\in \mathbb{N} }A_{n}
\end{equation*}をとります。この共通部分が空集合になる場合、非空の有限集合になる場合、可算集合になる場合の具体例をそれぞれ挙げてください。
\end{equation*}と定義します。\(A_{n}\)が可算集合であることを示した上で、\begin{equation*}\bigcap_{n\in \mathbb{N} }A_{n}
\end{equation*}を求めてください。
