連続体の部分集合の濃度

連続体の部分集合に関する基本命題

有限集合の部分集合は有限集合であり、可算集合の部分集合は高々可算集合です。したがって、有限集合または可算集合の部分集合を取っても、もとの集合より大きな濃度をもつ集合が得られることはありません。

同様の性質は、連続体の部分集合についても成り立ちます。集合\(A\)が連続体であり、\(B\subset A\)であるならば、\(B\)の濃度は連続体濃度以下です。すなわち、\begin{equation*}\left\vert B\right\vert \leq \left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。

先の命題は、連続体の部分集合が連続体より大きな濃度を持つことはないと主張しています。ただし、この命題から部分集合\(B\)の濃度を具体的に特定できるわけではありません。連続体の部分集合は様々な濃度を取り得ます。以下に例を提示します。

連続体の非可算部分集合と連続体仮説

実数集合\(\mathbb{R} \)は連続体であるため、その部分集合\(B\subset \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、先の命題より、\begin{equation*}\left\vert B\right\vert \leq \left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。さらに、\(B\)が非可算集合であるならば、\begin{equation*}\left\vert \mathbb{N} \right\vert <\left\vert B\right\vert
\end{equation*}も成り立つため、\begin{equation*}
\left\vert \mathbb{N} \right\vert <\left\vert B\right\vert \leq \left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}を得ます。しかし、以上の条件だけから、\begin{equation}
\left\vert B\right\vert =\left\vert \mathbb{R} \right\vert \quad \cdots (1)
\end{equation}を導くことはできません。なぜなら、\begin{equation}
\left\vert \mathbb{N} \right\vert <\left\vert B\right\vert <\left\vert \mathbb{R} \right\vert \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす濃度が存在する可能性を排除できないからです。ただし、連続体仮説を認める場合、\(\left( 2\right) \)を満たす濃度は存在しないため\(\left( 1\right) \)が成り立ちます。つまり、\(\mathbb{R} \)の部分集合が非可算集合である場合、それもまた連続体です。結論を命題としてまとめます。

逆の主張もまた成り立ちます。

以上の2つの命題を踏まえると以下を得ます。

先の命題は、一般の連続体に拡張可能です。

区間を含む集合は連続体

連続体仮説を認める場合、実数集合\(\mathbb{R} \)の任意の非可算部分集合\(B\subset \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\left\vert B\right\vert =\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。一方、集合\(B\)が特定の性質を持つ場合には、連続体仮説を仮定しなくても、\begin{equation*}\left\vert B\right\vert =\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}であることを証明できます。以下では、代表的な場合を取り上げます。

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)から定義される以下の集合\begin{eqnarray*}\left[ a,b\right] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\} \\
\left( a,b\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\} \\
\lbrack a,b) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<b\right\} \\
(a,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x\leq b\right\} \\
\lbrack a,+\infty ) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<+\infty \right\} \\
(-\infty ,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x\leq b\right\} \\
\left( a,+\infty \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<+\infty \right\} \\
\left( -\infty ,b\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x<b\right\} \\
\left( -\infty ,+\infty \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x<+\infty \right\}
\end{eqnarray*}を総称して区間と呼びます。\(a=b\)の場合には、\begin{eqnarray*}\left[ a,a\right] &=&\left\{ a\right\} \\
\left( a,a\right) &=&\phi
\end{eqnarray*}であるため、1点集合や空集合も広義の区間です。そこで、少なくとも2つの異なる実数を含む区間を非退化区間と呼ぶことがあります。

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(I\)について、\begin{equation*}\forall a,b\in I:\left[ a<b\Rightarrow \left( a,b\right) \subset I\right] \end{equation*}が成り立つことは、\(I\)が区間であるための必要十分条件です。区間については場を改めて詳しく解説します。

集合\(A\subset \mathbb{R} \)が非退化区間を部分集合として含む場合、\(A\)は連続体であることが保証されます。

先の命題において、集合\(A\)の部分集合である区間\(I\)は非退化区間である必要があります。言い換えると、\(A\)の部分集合である区間が1点集合や空集合だけである場合、\(A\)が連続体であることを保証できません。実際、以下の集合\begin{equation*}A=\left\{ a\right\} \subset \mathbb{R} \end{equation*}は非退化区間を部分集合として持たない一方で、\begin{eqnarray*}
\phi &=&\left( a,a\right) \subset A \\
\left\{ a\right\} &=&\left[ a,a\right] \subset A
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。\(A\)は有限集合であるため連続体ではなく、したがって先の命題の主張が成り立ちません。

先の命題の逆は成り立ちません。つまり、連続体は非退化区間を部分集合として持つとは限りません。以下の例より明らかです。

先の命題をもう少し一般化できます。

演習問題