連続体と連続体以下の集合の和集合は連続体
集合\(A,B\)がいずれも連続体である場合、和集合\begin{equation*}A\cup B
\end{equation*}もまた連続体なのでしょうか。また、連続体からなる集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)について、その和集合\begin{equation*}\bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}の濃度はどのように判定できるのでしょうか。順番に考えます。
議論の出発点として、連続体と連続体濃度以下の濃度を持つ集合の和集合が連続体であることを示します。
命題（連続体と連続体以下の集合の和集合は連続体）
集合\(A,B\)について、\begin{eqnarray*}\left\vert A\right\vert &=&\left\vert \mathbb{R} \right\vert \\
\left\vert B\right\vert &\leq &\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
\left\vert A\cup B\right\vert =\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}が成り立つ。
\left\vert B\right\vert &\leq &\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
\left\vert A\cup B\right\vert =\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}が成り立つ。
例（開区間と整数集合の和集合）
以下の集合\begin{eqnarray*}
&&\left( 0,1\right) \\
&&\mathbb{Z} \end{eqnarray*}に注目します。\(\left( 0,1\right) \)は連続体であり\(\mathbb{Z} \)は可算集合であるため、先の命題より、\begin{equation*}\left\vert \left( 0,1\right) \cup \mathbb{Z} \right\vert =\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。区間\(\left( 0,1\right) \)にすべての整数を加えても連続体のままであるということです。
&&\left( 0,1\right) \\
&&\mathbb{Z} \end{eqnarray*}に注目します。\(\left( 0,1\right) \)は連続体であり\(\mathbb{Z} \)は可算集合であるため、先の命題より、\begin{equation*}\left\vert \left( 0,1\right) \cup \mathbb{Z} \right\vert =\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。区間\(\left( 0,1\right) \)にすべての整数を加えても連続体のままであるということです。
連続体どうしの和集合は連続体
連続体どうしの和集合もまた連続体です。
命題（連続体どうしの和集合は連続体）
集合\(A,B\)がともに連続体であるならば、和集合\begin{equation*}A\cup B
\end{equation*}もまた連続体である。
\end{equation*}もまた連続体である。
例（区間どうしの和集合）
以下の集合\begin{eqnarray*}
&&\left( 0,1\right) \\
&&\left( 2,3\right)
\end{eqnarray*}に注目します。これらはともに連続体であるため、先の命題より、\begin{equation*}
\left\vert \left( 0,1\right) \cup \left( 2,3\right) \right\vert =\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。互いに素な2つの開区間の和集合は連続体であるということです。
&&\left( 0,1\right) \\
&&\left( 2,3\right)
\end{eqnarray*}に注目します。これらはともに連続体であるため、先の命題より、\begin{equation*}
\left\vert \left( 0,1\right) \cup \left( 2,3\right) \right\vert =\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。互いに素な2つの開区間の和集合は連続体であるということです。
例（座標軸どうしの和集合）
以下の集合\begin{eqnarray*}
A &=&\mathbb{R} \times \left\{ 0\right\} \\
B &=&\left\{ 0\right\} \times \mathbb{R} \end{eqnarray*}に注目します。\(A\)は\(xy\)平面における\(x\)軸であり、\(B\)は\(y\)軸です。それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x,0\right)
\end{equation*}を定める写像\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \rightarrow A
\end{equation*}は全単射であるため、\begin{equation*}
\left\vert A\right\vert =\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}です。また、それぞれの\(y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( y\right) =\left( 0,y\right)
\end{equation*}を定める写像\begin{equation*}
g:\mathbb{R} \rightarrow B
\end{equation*}は全単射であるため、\begin{equation*}
\left\vert B\right\vert =\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}です。したがって先の命題より、\begin{equation*}
\left\vert A\cup B\right\vert =\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。\(xy\)平面における2つの座標軸の和集合は連続体であるということです。
A &=&\mathbb{R} \times \left\{ 0\right\} \\
B &=&\left\{ 0\right\} \times \mathbb{R} \end{eqnarray*}に注目します。\(A\)は\(xy\)平面における\(x\)軸であり、\(B\)は\(y\)軸です。それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x,0\right)
\end{equation*}を定める写像\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \rightarrow A
\end{equation*}は全単射であるため、\begin{equation*}
\left\vert A\right\vert =\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}です。また、それぞれの\(y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( y\right) =\left( 0,y\right)
\end{equation*}を定める写像\begin{equation*}
g:\mathbb{R} \rightarrow B
\end{equation*}は全単射であるため、\begin{equation*}
\left\vert B\right\vert =\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}です。したがって先の命題より、\begin{equation*}
\left\vert A\cup B\right\vert =\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。\(xy\)平面における2つの座標軸の和集合は連続体であるということです。
有限個の連続体の和集合は連続体
先の命題は3個以上の連続体に関しても拡張可能です。
命題（有限個の連続体の和集合は連続体）
自然数\(n\in \mathbb{N} \)について、\(n\)個の集合\(A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}\)がいずれも連続体であるならば、和集合\begin{equation*}A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \cup A_{n}
\end{equation*}もまた連続体である。
\end{equation*}もまた連続体である。
有限連続体集合族の和集合は連続体
集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の添字集合\(\Lambda \)が有限集合であるとともに、この集合族の任意の要素\(A_{\lambda }\)が連続体である場合、この集合族の和集合もまた連続体になります。
命題（有限連続体集合族の和集合は連続体）
集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の任意の要素\(A_{\lambda }\ \left(\lambda \in \Lambda \right) \)は連続体であり、なおかつ添字集合\(\Lambda \)が非空の有限集合であるならば、和集合\begin{equation*}\bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}もまた連続体である。
\end{equation*}もまた連続体である。
先の命題では添字集合\(\Lambda \)が非空である状況を想定していますが、\(\Lambda \)が空集合である場合には、\begin{equation*}\bigcup_{\lambda \in \phi }A_{\lambda }=\phi
\end{equation*}となり、空集合は有限集合であり連続体ではないため、主張は成り立ちません。
可算個の連続体の和集合は連続体
先の命題は可算個の連続体に関しても拡張可能です。まずは補題として以下を示します。
命題（自然数集合と実数集合の直積は連続体）
自然数集合\(\mathbb{N} \)と実数集合\(\mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\left\vert \mathbb{N} \times \mathbb{R} \right\vert =\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}が成り立つ。
以上の命題を踏まえた上で以下を示します。
命題（可算個の連続体の和集合は連続体）
可算集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)の任意の要素\(A_{i}\ \left( i\in \mathbb{N} \right) \)が連続体であるならば、和集合\begin{equation*}\bigcup_{i\in \mathbb{N} }A_{i}
\end{equation*}もまた連続体である。ただし、選択公理を認めるものとする。
\end{equation*}もまた連続体である。ただし、選択公理を認めるものとする。
可算連続体集合族の和集合は連続体
添字集合が\(\mathbb{N} \)とは限らない一般の可算集合である場合にも同様の主張が成り立ちます。
命題（可算連続体集合族の和集合は連続体）
集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の任意の要素\(A_{\lambda }\ \left(\lambda \in \Lambda \right) \)は連続体であり、なおかつ添字集合\(\Lambda \)が可算集合であるならば、和集合\begin{equation*}\bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}もまた連続体である。ただし、選択公理を認めるものとする。
\end{equation*}もまた連続体である。ただし、選択公理を認めるものとする。
例（整数で添字づけられた区間）
以下の集合族\begin{equation*}
\left\{ \left( n,n+1\right) \right\} _{n\in \mathbb{Z} }
\end{equation*}に注目します。\(\left( n,n+1\right) \)は非空な開区間であるため連続体です。また、添字集合\(\mathbb{Z} \)は可算集合であるため、先の命題より、\begin{equation*}\left\vert \bigcup_{n\in \mathbb{Z} }\left( n,n+1\right) \right\vert =\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。実際に確認すると、\begin{eqnarray*}
\bigcup_{n\in \mathbb{Z} }\left( n,n+1\right) &=&\cdots \cup \left( -2,-1\right) \cup \left(
-1,0\right) \cup \left( 0,1\right) \cup \left( 1,2\right) \cup \cdots \\
&=&\mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} \end{eqnarray*}ですが、\begin{equation*}
\left\vert \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} \right\vert =\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left\vert \bigcup_{n\in \mathbb{Z} }\left( n,n+1\right) \right\vert =\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}です。
\left\{ \left( n,n+1\right) \right\} _{n\in \mathbb{Z} }
\end{equation*}に注目します。\(\left( n,n+1\right) \)は非空な開区間であるため連続体です。また、添字集合\(\mathbb{Z} \)は可算集合であるため、先の命題より、\begin{equation*}\left\vert \bigcup_{n\in \mathbb{Z} }\left( n,n+1\right) \right\vert =\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。実際に確認すると、\begin{eqnarray*}
\bigcup_{n\in \mathbb{Z} }\left( n,n+1\right) &=&\cdots \cup \left( -2,-1\right) \cup \left(
-1,0\right) \cup \left( 0,1\right) \cup \left( 1,2\right) \cup \cdots \\
&=&\mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} \end{eqnarray*}ですが、\begin{equation*}
\left\vert \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} \right\vert =\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left\vert \bigcup_{n\in \mathbb{Z} }\left( n,n+1\right) \right\vert =\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}です。
任意個の連続体の和集合の濃度
可算個の連続体の和集合は連続体であることが明らかになりました。では、可算個であるとは限らない任意個の連続体の和集合も連続体なのでしょうか。
まずは以下を示します。
命題（共通の連続体に含まれる連続体の和集合）
集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の少なくとも1つの要素\(A_{\lambda _{0}}\)は連続体であり、なおかつ添字集合\(\Lambda \)が非空であるものとする。さらに、ある連続体\(C\)が存在して、\begin{equation*}\forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\subset C
\end{equation*}が成り立つ場合には、和集合\begin{equation*}
\bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}もまた連続体である。
\end{equation*}が成り立つ場合には、和集合\begin{equation*}
\bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}もまた連続体である。
先の命題から以下が導かれます。
命題（共通の連続体に含まれる連続体の和集合）
集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の任意の要素\(A_{\lambda }\ \left(\lambda \in \Lambda \right) \)は連続体であり、なおかつ添字集合\(\Lambda \)が非空であるものとする。さらに、ある連続体\(C\)が存在して、\begin{equation*}\forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\subset C
\end{equation*}が成り立つ場合には、和集合\begin{equation*}
\bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}もまた連続体である。
\end{equation*}が成り立つ場合には、和集合\begin{equation*}
\bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}もまた連続体である。
例（実数集合の区間からなる集合族）
以下の集合族\begin{equation*}
\left\{ \left( x,x+1\right) \right\} _{x\in \mathbb{R} }
\end{equation*}に注目します。\(\left( x,x+1\right) \)は非空の開区間であるため連続体です。また、連続体\(\mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\forall \lambda \in \mathbb{R} :\left( x,x+1\right) \subset \mathbb{R} \end{equation*}が成り立ちます。したがって先の命題より、\begin{equation*}
\left\vert \bigcup_{\lambda \in \mathbb{R} }\left( x,x+1\right) \right\vert =\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。実際に確認すると、\begin{equation*}
\bigcup_{\lambda \in \mathbb{R} }\left( x,x+1\right) =\mathbb{R} \end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left\vert \bigcup_{\lambda \in \mathbb{R} }\left( x,x+1\right) \right\vert =\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。
\left\{ \left( x,x+1\right) \right\} _{x\in \mathbb{R} }
\end{equation*}に注目します。\(\left( x,x+1\right) \)は非空の開区間であるため連続体です。また、連続体\(\mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\forall \lambda \in \mathbb{R} :\left( x,x+1\right) \subset \mathbb{R} \end{equation*}が成り立ちます。したがって先の命題より、\begin{equation*}
\left\vert \bigcup_{\lambda \in \mathbb{R} }\left( x,x+1\right) \right\vert =\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。実際に確認すると、\begin{equation*}
\bigcup_{\lambda \in \mathbb{R} }\left( x,x+1\right) =\mathbb{R} \end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left\vert \bigcup_{\lambda \in \mathbb{R} }\left( x,x+1\right) \right\vert =\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。
集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)のすべての要素が共通の連続体\(C\)に含まれるという条件が満たされず、なおかつ集合族の要素の個数にも制限がない場合、その集合族の和集合が連続体濃度より大きな濃度を持つ状況が起こり得ます。以下の例より明らかです。
例（任意個の連続体の和集合が連続体ではないケース）
添字集合として、\begin{equation*}
\Lambda =2^{\mathbb{R} }
\end{equation*}を採用します。カントールの定理より、\begin{equation*}
\left\vert \mathbb{R} \right\vert <\left\vert 2^{\mathbb{R} }\right\vert
\end{equation*}が成り立つため、この添字集合\(\Lambda \)は連続体濃度よりも大きい濃度を持ちます。その上で、それぞれの\(S\in \Lambda \)すなわち\(S\subset \mathbb{R} \)に対して、以下の集合\begin{equation*}A_{S}=\mathbb{R} \times \left\{ S\right\}
\end{equation*}を定義します。つまり、以下の集合族\begin{equation*}
\left\{ A_{S}\right\} _{S\in 2^{\mathbb{R} }}=\left\{ \mathbb{R} \times \left\{ S\right\} \right\} _{S\in 2^{\mathbb{R} }}
\end{equation*}について考えます。任意の\(S\in 2^{\mathbb{R} }\)について\(A_{S}\)は連続体である一方で、この集合族の和集合の濃度は、\begin{equation*}\left\vert \bigcup_{S\in 2^{\mathbb{R} }}A_{S}\right\vert >\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}を満たします（演習問題）。
\Lambda =2^{\mathbb{R} }
\end{equation*}を採用します。カントールの定理より、\begin{equation*}
\left\vert \mathbb{R} \right\vert <\left\vert 2^{\mathbb{R} }\right\vert
\end{equation*}が成り立つため、この添字集合\(\Lambda \)は連続体濃度よりも大きい濃度を持ちます。その上で、それぞれの\(S\in \Lambda \)すなわち\(S\subset \mathbb{R} \)に対して、以下の集合\begin{equation*}A_{S}=\mathbb{R} \times \left\{ S\right\}
\end{equation*}を定義します。つまり、以下の集合族\begin{equation*}
\left\{ A_{S}\right\} _{S\in 2^{\mathbb{R} }}=\left\{ \mathbb{R} \times \left\{ S\right\} \right\} _{S\in 2^{\mathbb{R} }}
\end{equation*}について考えます。任意の\(S\in 2^{\mathbb{R} }\)について\(A_{S}\)は連続体である一方で、この集合族の和集合の濃度は、\begin{equation*}\left\vert \bigcup_{S\in 2^{\mathbb{R} }}A_{S}\right\vert >\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}を満たします（演習問題）。
演習問題
問題（可算個の相異なる連続体の和集合）
以下の集合族\begin{equation*}
\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }=\left\{ \mathbb{R} \times \left\{ n\right\} \right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}について、すべての集合\(A_{n}\)が連続体であることを示した上で、さらに、和集合の濃度が、\begin{equation*}\left\vert \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\right\vert =\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}を満たすことを示してください。
\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }=\left\{ \mathbb{R} \times \left\{ n\right\} \right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}について、すべての集合\(A_{n}\)が連続体であることを示した上で、さらに、和集合の濃度が、\begin{equation*}\left\vert \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\right\vert =\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}を満たすことを示してください。
問題（任意個の連続体の和集合が連続体ではないケース）
以下の集合族\begin{equation*}
\left\{ A_{S}\right\} _{S\in 2^{\mathbb{R} }}=\left\{ \mathbb{R} \times \left\{ S\right\} \right\} _{S\in 2^{\mathbb{R} }}
\end{equation*}について、すべての集合\(A_{S}\)が連続体であることを示した上で、さらに、和集合の濃度が、\begin{equation*}\left\vert \bigcup_{S\in 2^{\mathbb{R} }}A_{S}\right\vert >\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}を満たすことを示してください。
\left\{ A_{S}\right\} _{S\in 2^{\mathbb{R} }}=\left\{ \mathbb{R} \times \left\{ S\right\} \right\} _{S\in 2^{\mathbb{R} }}
\end{equation*}について、すべての集合\(A_{S}\)が連続体であることを示した上で、さらに、和集合の濃度が、\begin{equation*}\left\vert \bigcup_{S\in 2^{\mathbb{R} }}A_{S}\right\vert >\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}を満たすことを示してください。
問題（同じ添字集合でも異なる結果）
以下の2つの集合族\begin{eqnarray*}
\left\{ A_{S}\right\} _{S\in 2^{\mathbb{R} }} &=&\left\{ \mathbb{R} \times \left\{ S\right\} \right\} _{S\in 2^{\mathbb{R} }} \\
\left\{ B_{S}\right\} _{S\in 2^{\mathbb{R} }} &=&\left\{ \mathbb{R} \right\} _{S\in 2^{\mathbb{R} }}
\end{eqnarray*}の和集合の濃度を比較してください。
\left\{ A_{S}\right\} _{S\in 2^{\mathbb{R} }} &=&\left\{ \mathbb{R} \times \left\{ S\right\} \right\} _{S\in 2^{\mathbb{R} }} \\
\left\{ B_{S}\right\} _{S\in 2^{\mathbb{R} }} &=&\left\{ \mathbb{R} \right\} _{S\in 2^{\mathbb{R} }}
\end{eqnarray*}の和集合の濃度を比較してください。
