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CARDINALITY OF SET

集合の濃度

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等しい濃度を持つ集合

集合\(A,B\)が与えられたとき、\(A\)から\(B\)への全単射が存在する場合には、\(A\)と\(B\)は等しい濃度(same cardinality)を持つと言い、このことを、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =\left\vert B\right\vert
\end{equation*}で表記します。つまり、任意の集合\(A,B\)について、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =\left\vert B\right\vert \Leftrightarrow \text{全単射}f:A\rightarrow B\text{が存在する}
\end{equation*}という関係を満たすものとして集合の濃度の相等関係\(=\)は定義されるということです。

集合\(A,B\)が与えられたとき、\(A\)から\(B\)への全単射が存在する場合、それは1つだけであるとは限りません。ただ、\(A\)から\(B\)への全単射が存在する場合には、その個数に関わらず、\(\left\vert A\right\vert =\left\vert B\right\vert \)が成り立つものとみなします。言い換えると、\(A\)から\(B\)への全単射がいくつ存在するか分からない場合でも、少なくとも1つ存在することが明らかであれば、\(\left\vert A\right\vert=\left\vert B\right\vert \)が成り立つものとみなすということです。

例(等しい濃度を持つ集合)
集合\(A,B\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ a_{1},a_{2},a_{3}\right\} \\
B &=&\left\{ b_{1},b_{2},b_{3}\right\}
\end{eqnarray*}で与えられているものとします。写像\(f:A\rightarrow B\)が、\begin{eqnarray*}f\left( a_{1}\right) &=&b_{1} \\
f\left( a_{2}\right) &=&b_{2} \\
f\left( a_{2}\right) &=&b_{3}
\end{eqnarray*}を満たす場合、この写像\(f\)は全単射です。実際、始集合の要素\(a_{i},a_{j}\in A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}a_{i}\not=a_{j}\Rightarrow f\left( a_{i}\right) \not=f\left( a_{j}\right)
\end{equation*}が成り立つため\(f\)は単射であり、終集合の要素\(b_{i}\in B\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}f\left( a_{i}\right) =b_{i}
\end{equation*}を満たす\(a_{i}\in A\)が存在するため\(f\)は全射です。したがって\(f\)は全単射であるため、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =\left\vert B\right\vert
\end{equation*}であることが示されました。
例(等しい濃度を持つ集合)
すべての自然数からなる集合\begin{equation*}\mathbb{N} =\left\{ 1,2,\cdots \right\}
\end{equation*}とすべての正の偶数からなる集合\begin{equation*}
E=\left\{ 2,4,\cdots \right\}
\end{equation*}が与えられているものとします。写像\(f:\mathbb{N} \rightarrow E\)はそれぞれの\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}f\left( n\right) =2n\in E
\end{equation*}を定めるものとします。この\(f\)は全単射です。実際、異なる自然数\(n,n^{\prime }\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f\left( n\right) &=&2n\quad \because f\text{の定義} \\
&\not=&2n^{\prime }\quad \because n\not=n^{\prime } \\
&=&f\left( n^{\prime }\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため\(f\)は単射です。また、正の偶数\(e\in E\)を任意に選ぶと、正の偶数の定義より\(\frac{e}{2}\in \mathbb{N} \)であるとともに、\begin{eqnarray*}f\left( \frac{e}{2}\right) &=&2\cdot \frac{e}{2}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&e \\
&\in &E
\end{eqnarray*}となるため\(f\)は全射です。したがって\(f\)は全単射であるため、\begin{equation*}\left\vert \mathbb{N} \right\vert =\left\vert E\right\vert
\end{equation*}であることが示されました。

 

等しくない濃度を持つ集合

集合\(A,B\)が与えられたとき、\(A\)から\(B\)への全単射が存在しない場合には、\(A\)と\(B\)は等しくない濃度(unequal cardinalities)を持つと言い、このことを、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert \not=\left\vert B\right\vert
\end{equation*}で表記します。つまり、任意の集合\(A,B\)について、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert \not=\left\vert B\right\vert \Leftrightarrow \text{全単射}f:A\rightarrow B\text{が存在しない}
\end{equation*}という関係を満たすものとして集合の濃度の非相等関係\(\not=\)は定義されるということです。

例(等しくない濃度を持つ集合)
集合\(A,B\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ a_{1},a_{2},a_{3}\right\} \\
B &=&\left\{ b_{1},b_{2}\right\}
\end{eqnarray*}で与えられているものとします。\(A\)の要素の個数は\(B\)の要素の個数よりも多いため、写像\(f:A\rightarrow B\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}f\left( a_{i}\right) =f\left( a_{j}\right) \in B
\end{equation*}を満たす\(A\)の異なる要素\(a_{i},a_{j}\)が存在するため\(f\)は単射ではなく、したがって全単射でもありません。\(A\)から\(B\)への任意の写像について同様の議論が成立するため、\(A\)から\(B\)への全単射は存在せず、したがって、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert \not=\left\vert B\right\vert
\end{equation*}であることが示されました。

 

濃度の相等関係は同値関係

すべての集合を要素として持つ集合族を\(\mathfrak{A}\)で表記します。集合\(A,B\in \mathfrak{A}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =\left\vert B\right\vert \Leftrightarrow \text{全単射}f:A\rightarrow B\text{が存在する}
\end{equation*}という関係を満たすものとして集合の濃度の相等関係\(=\)を定義しました。集合\(A,B\)について、\(A\)から\(B\)への全単射は存在するか否かのどちらか一方であるため、\(=\)を\(\mathfrak{A}\)上の二項関係とみなすことができます。では、\(=\)はどのような性質を満たす二項関係でしょうか。

集合\(A\in \mathfrak{A}\)を任意に選んだとき、そこから恒等写像\(I_{A}:A\rightarrow A\)を常に作ることができます。ただし、\(I_{A}\)が恒等写像であることとは、それぞれの\(a\in A\)に対して、\begin{equation*}I_{A}\left( a\right) =a
\end{equation*}が成り立つことを意味します。恒等写像は全単射であるため、これは\(A\)から\(A\)への全単射が存在することを意味します。つまり、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =\left\vert A\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。以上の事実は、集合の濃度の相等関係\(=\)を\(\mathfrak{A}\)上の二項関係とみなしたとき、これが反射律を満たすことを意味します。

命題(濃度の相等関係は反射律を満たす)
濃度の相等関係\(=\)は反射律を満たす。つまり、\begin{equation*}\forall A\in \mathfrak{A}:\left\vert A\right\vert =\left\vert A\right\vert
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(\mathfrak{A}\)はすべての集合を要素として持つ集合族である。

\(\left\vert A\right\vert =\left\vert B\right\vert \)を満たす集合\(A,B\in \mathfrak{A}\)を任意に選びます。濃度の相等関係\(=\)の定義より、これは全単射\(f:A\rightarrow B\)が存在することを意味します。一般に、全単射は逆写像\(f^{-1}:B\rightarrow A\)を持ち、なおかつ逆写像もまた全単射となるため、\(B\)から\(A\)への全単射が存在することが明らかになりました。濃度の相等関係\(=\)の定義より、これは\(\left\vert B\right\vert =\left\vert A\right\vert \)が成り立つことを意味します。以上の事実は、集合の濃度の相等関係\(=\)を\(\mathfrak{A}\)上の二項関係とみなしたとき、これが対称律を満たすことを意味します。

命題(濃度の相等関係は対称律を満たす)
濃度の相等関係\(=\)は対称律を満たす。つまり、\begin{equation*}\forall A,B\in \mathfrak{A}:\left( \left\vert A\right\vert =\left\vert
B\right\vert \Rightarrow \left\vert B\right\vert =\left\vert A\right\vert
\right)
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(\mathfrak{A}\)はすべての集合を要素として持つ集合族である。

\(\left\vert A\right\vert =\left\vert B\right\vert \)かつ\(\left\vert B\right\vert =\left\vert C\right\vert \)を満たす集合\(A,B,C\in \mathfrak{A}\)を任意に選びます。濃度の相等関係\(=\)の定義より、これは全単射である\(f:A\rightarrow B\)と\(g:B\rightarrow C\)が存在することを意味します。\(f\)の終集合と\(g\)の定義域はともに\(B\)で一致するため合成写像\(g\circ f:A\rightarrow C\)が常に定義可能ですが、一般に、全単射どうしの合成写像もまた全単射であるため\(g\circ f\)は全単射です。したがって\(A\)から\(C\)への全単射が存在することが明らかになりました。濃度の相等関係\(=\)の定義より、これは\(\left\vert A\right\vert =\left(\vert C\right\vert \)が成り立つことを意味します。以上の事実は、集合の濃度の相等関係\(=\)を\(\mathfrak{A}\)上の二項関係とみなしたとき、これが推移律を満たすことを意味します。

命題(濃度の相等関係は推移律を満たす)
濃度の相等関係\(=\)は推移律を満たす。つまり、\begin{equation*}\forall A,B,C\in \mathfrak{A}:\left[ \left( \left\vert A\right\vert
=\left\vert B\right\vert \wedge \left\vert B\right\vert =\left\vert
C\right\vert \right) \Rightarrow \left\vert A\right\vert =\left\vert
C\right\vert \right] \end{equation*}が成り立つ。ただし、\(\mathfrak{A}\)はすべての集合を要素として持つ集合族である。

集合の濃度の相等関係\(=\)を\(\mathfrak{A}\)上の二項関係とみなしたとき、これは反射律と対称律と推移律を満たすことが明らかになりました。つまり、\(=\)は同値関係であるということです。

命題(濃度の相等関係は同値関係)
濃度の相等関係\(=\)は\(\mathfrak{A}\)上の同値関係である。ただし、\(\mathfrak{A}\)はすべての集合を要素として持つ集合族である。

濃度の相等関係\(=\)は同値関係であるため、集合\(A\in \mathfrak{A}\)を任意に選んだとき、それを代表元とする同値類が、\begin{equation*}\left[ A\right] =\left\{ B\in \mathfrak{A}\ |\ \left\vert A\right\vert
=\left\vert B\right\vert \right\}
\end{equation*}と定義されます。これは集合\(A\)と等しい濃度を持つ集合を要素とする集合族です。さらに、\(\mathfrak{A}\)の\(=\)による商集合が、\begin{equation*}\mathfrak{A}\backslash ==\left\{ \left[ A\right] \ |\ A\in \mathfrak{A}\right\}
\end{equation*}と定義されますが、商集合の性質より、これは\(\mathfrak{A}\)の分割です。つまり、「等しい濃度を持つ」という基準からすべての集合を複数のグループに分類したとき、それぞれの集合は何らかのグループに属するとともに、異なる複数のグループに属する集合が存在しないことが保証されます。

 

演習問題

問題(等しい濃度を持つ集合)
集合\(A,B\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ 0\leq x\leq 5\right\} \\
B &=&\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ -5\leq x\leq 0\right\}
\end{eqnarray*}と定義されています。ただし、\(\mathbb{Z} \)はすべての整数からなる集合です。このとき、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =\left\vert B\right\vert
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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問題(等しい濃度を持つ集合)
すべての自然数からなる集合\(\mathbb{N} \)とすべての整数からなる集合\(\mathbb{Z} \)の間には、\begin{equation*}\left\vert \mathbb{N} \right\vert =\left\vert \mathbb{Z} \right\vert
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。
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問題(等しい濃度を持つ集合)
すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)とすべての正の実数からなる集合\(\mathbb{R} _{++}\)の間には、\begin{equation*}\left\vert \mathbb{R} \right\vert =\left\vert \mathbb{R} _{++}\right\vert
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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次回は有限集合について学びます。

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無限集合

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有限集合ではない集合、つまり無限個の要素を持つ集合を無限集合と呼びます。無限集合のすべての要素を数え上げることはできないため、無限集合の濃度を 1 つの自然数として表すことはできません。ただ、2 つの無限集合が与えられたとき、それらが等しい濃度を持つかどうかを調べることはできます。

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