差集合の有限性と濃度の上限
前節までに、有限集合の部分集合や和集合、共通部分の濃度について解説しました。本節では、有限集合の差集合の濃度について考えます。
集合\(A,B\)の差集合\(A\backslash B\)とは、\(A\)に属する一方で\(B\)には属さない要素からなる集合です。差集合については、\begin{equation*}A\backslash B\subset A
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\(A\)が有限集合である場合、\(B\)が有限集合であるかどうかに関わらず、有限集合の部分集合の濃度に関する性質を利用することにより、差集合\(A\backslash B\)の有限性と濃度の上限を明らかにできます。
\end{equation*}が成り立つ。
先の命題では\(B\)が有限集合であることを仮定する必要はありません。\(A\)が有限集合であれば\(A\backslash B\)もまた有限集合です。
A &=&\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\} \\
B &=&\left\{ 2,4,6,8,10\right\}
\end{eqnarray*}について考えます。ともに有限集合であり、\begin{equation*}
\left\vert A\right\vert =6
\end{equation*}です。また、\begin{equation*}
A\backslash B=\left\{ 1,3,5\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left\vert A\backslash B\right\vert =3
\end{equation*}です。したがって、\begin{equation*}
\left\vert A\backslash B\right\vert =3\leq 6=\left\vert A\right\vert
\end{equation*}が成り立ちますが、この結果は先の命題の主張と整合的です。
A &=&\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\} \\
B &=&\left\{ 2,4,6,8,10,\cdots \right\}
\end{eqnarray*}について考えます。\(A\)は有限ですが、先の例とは異なり\(B\)は有限ではありません。また、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =6
\end{equation*}であり、\begin{equation*}
A\backslash B=\left\{ 1,3,5\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left\vert A\backslash B\right\vert =3
\end{equation*}です。したがって、\begin{equation*}
\left\vert A\backslash B\right\vert =3\leq 6=\left\vert A\right\vert
\end{equation*}が成り立ちますが、この結果は先の命題の主張と整合的です。
有限集合の差集合の濃度
先の命題は差集合の濃度の有限性と濃度の上限を与えるものでしたが、差集合の濃度を以下のように特定することもできます。
A\cap B\right\vert
\end{equation*}が成り立つ。特に、\(B\subset A\)である場合には\(A\backslash B\)と\(B\)はともに有限集合であり、\begin{equation*}\left\vert A\backslash B\right\vert =\left\vert A\right\vert -\left\vert
B\right\vert
\end{equation*}が成り立つ。
\left\vert A\cap B\right\vert &=&12
\end{eqnarray*}が成り立つものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\left\vert A\backslash B\right\vert &=&\left\vert A\right\vert -\left\vert
A\cap B\right\vert \\
&=&30-12 \\
&=&18
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
A=\left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8\right\}
\end{equation*}から、その部分集合\begin{equation*}
B=\left\{ 2,4,6\right\}
\end{equation*}を除くと、\begin{equation*}
A\backslash B=\left\{ 1,3,5,7,8\right\}
\end{equation*}です。したがって、\begin{eqnarray*}
\left\vert A\backslash B\right\vert &=&5 \\
\left\vert A\right\vert &=&8 \\
\left\vert B\right\vert &=&3
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\left\vert A\backslash B\right\vert =\left\vert A\right\vert -\left\vert
B\right\vert
\end{equation*}が成立しています。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
差集合の濃度の上限に関する命題\begin{equation*}
\left\vert A\backslash B\right\vert \leq \left\vert A\right\vert
\end{equation*}では\(A\)が有限であれば\(B\)は必ずしも有限である必要はありません。また、\(A\backslash B\)の濃度の上限を知る上で\(A\)の濃度さえあれば十分です。差集合の濃度を特定する命題\begin{equation*}\left\vert A\backslash B\right\vert =\left\vert A\right\vert -\left\vert
A\cap B\right\vert
\end{equation*}でも\(A\)が有限であれば十分ですが、こちらの命題では\(A\)の濃度に加えて\(A\cap B\)の濃度が必要です。言い換えると、\(A\cap B\)の濃度がわからない場合でも\(A\backslash B\)の上限を評価することはできます。
\end{equation*}が成り立つものとします。また、その講演会の開催時間に別の予定が入っている人からなる集合を\(B\)とします。実際に講演へ参加する可能性がある人の人数は、\begin{equation*}\left\vert A\backslash B\right\vert
\end{equation*}です。ただし、参加登録者のうち、実際に別の予定が入っている人数を調査していないため、\begin{equation*}
\left\vert A\cap B\right\vert
\end{equation*}は分からないものとします。この場合、公式\begin{equation*}
\left\vert A\backslash B\right\vert =\left\vert A\right\vert -\left\vert
A\cap B\right\vert
\end{equation*}を使って\(\left\vert A\backslash B\right\vert \)を具体的に求めることはできません。しかし、\begin{equation*}\left\vert A\backslash B\right\vert \leq \left\vert A\right\vert
\end{equation*}より、\begin{equation*}
\left\vert A\backslash B\right\vert \leq 120
\end{equation*}であることは分かります。したがって、別の予定が入っている参加登録者の人数が分からなくても、会場に\(120\)席を用意すれば、実際に参加する可能性のある人全員の座席を確保できることが保証されます。
差集合の濃度が上限に達するための条件
集合\(A,B\)について\(A\)が有限集合である場合には、\begin{equation*}\left\vert A\backslash B\right\vert \leq \left\vert A\right\vert
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。さらに、差集合の濃度\(\left\vert A\backslash B\right\vert \)がその上限\(\left\vert A\right\vert \)と一致するための必要十分条件、および\(\left\vert A\backslash B\right\vert \)が\(\left\vert A\right\vert \)より小さくなるための必要十分条件は以下の通りです。
A\right\vert \Leftrightarrow A\cap B=\phi \\
&&\left( b\right) \ \left\vert A\backslash B\right\vert <\left\vert
A\right\vert \Leftrightarrow A\cap B\not=\phi
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。
演習問題
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}が成り立つならば、\begin{equation*}
\left\vert A\backslash C\right\vert =\left\vert A\backslash B\right\vert
+\left\vert B\backslash C\right\vert
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}が成り立つものとします。ただし、\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)です。その上で、\begin{equation*}k\leq n
\end{equation*}を満たす\(k\in \mathbb{Z} _{+}\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}\left\vert A\backslash B\right\vert =k
\end{equation*}を満たす部分集合\(B\subset A\)が存在することを証明してください。
=\left\vert A\right\vert -\left\vert B\right\vert
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
A\backslash B\right\vert =\left\vert B\backslash A\right\vert
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
