可算集合の無限部分集合は可算集合
有限集合\(A\)の部分集合\(B\)を任意に選んだとき、\(B\)もまた有限集合であるとともに、\begin{equation*}\left\vert B\right\vert \leq \left\vert A\right\vert
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。また、有限集合\(A\)の真部分集合\(B\)を任意に選んだとき、\(B\)もまた有限集合であるとともに、\begin{equation*}\left\vert B\right\vert <\left\vert A\right\vert
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。では、可算集合とその部分集合ないし真部分集合の濃度についても同様の主張が成り立つのでしょうか。
可算集合\(A\)の部分集合\(B\)を任意に選びます。つまり、\(B\subset A\)です。まずは、\(B=A\)の場合について考えます。このとき、\begin{eqnarray*}B=A &\Leftrightarrow &B\subset A\wedge A\subset B \\
&\Rightarrow &\left\vert B\right\vert \leq \left\vert A\right\vert \wedge
\left\vert A\right\vert \leq \left\vert B\right\vert \quad \because \text{濃度の大小関係}\leq \text{の性質} \\
&\Rightarrow &\left\vert A\right\vert =\left\vert B\right\vert \quad
\because \text{濃度の大小関係}\leq
\text{の性質}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left\vert A\right\vert =\left\vert B\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。
続いて、\(B\subset A\)かつ\(B\not=A\)である場合、すなわち\(B\)が\(A\)の真部分集合である場合について考えます。\(B\)は有限集合または無限集合のどちらか一方です。\(B\)が有限集合である場合、\(A\)が無限集合であることから、\begin{equation*}\left\vert B\right\vert <\left\vert A\right\vert
\end{equation*}が明らかに成り立ちます。一方、\(B\)が無限集合である場合には、\begin{equation*}\left\vert B\right\vert =\left\vert A\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます（演習問題）。つまり、可算集合\(A\)の真部分集合\(B\)が無限集合である場合には両者の濃度が等しくなること、すなわち\(B\)もまた可算集合になることが保証されます。有限集合においては起こり得ない不思議な現象です。
\end{equation*}が成り立つ。
可算集合は自身と等しい濃度を持つことと先の命題を踏まえると以下を得ます。
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}や、すべての非負の奇数からなる集合\begin{equation*}
O=\left\{ 2n-1\ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}はいずれも\(\mathbb{N} \)の部分集合であるような無限集合であるため、これらは可算集合です。つまり、\begin{equation*}\left\vert E\right\vert =\left\vert O\right\vert =\left\vert \mathbb{N} \right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}や、すべての負の整数からなる集合\begin{equation*}\mathbb{Z} _{− −}=\left\{ z\in \mathbb{Z} \ |\ z<0\right\}
\end{equation*}や、すべての非正の整数からなる集合\begin{equation*}\mathbb{Z} _{-}=\left\{ z\in \mathbb{Z} \ |\ z\leq 0\right\}
\end{equation*}はいずれも\(\mathbb{Z} \)の部分集合であるような無限集合であるため、これらは可算集合です。つまり、\begin{equation*}\left\vert \mathbb{Z} _{++}\right\vert =\left\vert \mathbb{Z} _{+}\right\vert =\left\vert \mathbb{Z} _{− −}\right\vert =\left\vert \mathbb{Z} _{-}\right\vert =\left\vert \mathbb{Z} \right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。
可算集合の部分集合は高々可算集合
高々可算集合とは有限集合と可算集合の総称です。可算集合の部分集合は有限集合または無限集合のどちらか一方であることと先の命題を踏まえると以下を得ます。
高々可算集合の部分集合は高々可算集合
先の命題を踏まえると以下を得ます。
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