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集合の濃度

有限集合の部分集合の濃度

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有限集合の部分集合の濃度

有限集合の濃度は要素の個数と等しいため、有限集合\(A\)が\(1\)以上\(n\)以下のすべての自然数からなる集合\begin{equation*}\mathbb{N} _{n}=\left\{ 1,\cdots ,n\right\} \end{equation*}の部分集合であるならば、この集合\(A\)の濃度は\(n\)以下であるはずです。実際、これは正しい主張です。

命題(有限集合の部分集合の濃度)
集合\(A\)に対してある\(n\in \mathbb{N} \)が存在して\(A\subset \mathbb{N} _{n}\)が成り立つ場合には、\(A\)は有限集合であるとともに、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert \leq n
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\begin{equation*}\mathbb{N} _{n}=\left\{ 1,\cdots ,n\right\}
\end{equation*}である。

証明

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有限集合の濃度は要素の個数と等しいため、有限集合\(A\)の部分集合\(B\)もまた有限集合であるとともに、\(A\)の濃度は\(B\)の濃度以下であるはずです。これは正しい主張です。証明では先の命題を利用します。

命題(有限集合の部分集合の濃度)
有限集合\(A\)の部分集合\(B\)を任意に選んだとき、\(B\)もまた有限集合であるととともに、\begin{equation*}\left\vert B\right\vert \leq \left\vert A\right\vert
\end{equation*}が成り立つ。

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上の命題の逆は成り立つとは限りません。つまり、有限集合\(A,B\)について\(\left\vert B\right\vert \leq \left\vert A\right\vert \)が成り立つとき、\(B\)は\(A\)の部分集合であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(有限集合の部分集合の濃度)
以下の2つの集合\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ a,b,c\right\} \\
B &=&\left\{ 1,2\right\}
\end{eqnarray*}はともに有限集合であるとともに\(\left\vert B\right\vert\leq \left\vert A\right\vert \)が成り立つ一方で\(B\subset A\)は成り立ちません。

 

有限集合の真部分集合の濃度

有限集合の濃度は要素の個数と等しいため、有限集合に要素を1つ加えれば濃度は\(1\)だけ大きくなるはずです。実際、これは正しい主張です。

命題(有限濃度の基数性)
有限集合\(A\)と要素\(x\not\in A\)がそれぞれ任意に与えられたとき、\begin{equation*}\left\vert A\cup \left\{ x\right\} \right\vert =\left\vert A\right\vert +1
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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有限集合の濃度は要素の個数と等しいため、有限集合から要素を1つ除けば濃度は\(1\)だけ小さくなるはずです。証明では直前に示した命題を利用します。

命題(有限濃度の基数性)
有限集合\(A\)と要素\(x\in A\)がそれぞれ任意に与えられたとき、\begin{equation*}\left\vert A\backslash \left\{ x\right\} \right\vert =\left\vert
A\right\vert -1
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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有限集合の濃度は要素の個数と等しいため、有限集合の濃度はその任意の真部分集合の濃度よりも大きいはずです。証明では直前に示した命題を利用します。

命題(有限集合の真部分集合の濃度)
有限集合\(A\)の真部分集合\(B\)を任意に選んだとき、\(B\)もまた有限集合であるととともに、\begin{equation*}\left\vert B\right\vert <\left\vert A\right\vert
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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