可算集合の和集合

有限集合と可算集合の和集合は可算集合です。また、有限個の可算集合の和集合や、可算個の可算集合の和集合なども可算集合になります。
可算集合 和集合
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可算集合と有限集合の和集合

有限集合\(X=\{x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\}\)と可算集合\(Y=\{y_{1},y_{2},\cdots \}\)が与えられたとき、それらの和集合は、\begin{equation*}
X\cup Y=\{x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n},y_{1},y_{2},\cdots \}
\end{equation*}となります。\(X\)と\(Y\)が共通の要素を持たない場合には、\(X\cup Y\)のそれぞれの要素に対して、\begin{eqnarray*}
f\left( x_{1}\right) &=&1 \\
f\left( x_{2}\right) &=&2 \\
&&\vdots \\
f\left( x_{n}\right) &=&n \\
f\left( y_{1}\right) &=&n+1 \\
f\left( y_{2}\right) &=&n+2 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}という形で付番する写像\(f:X\cup Y\rightarrow \mathbb{N}\)を構成すれば、これは全単射になります(演習問題にします)。したがって\(X\cup Y\)は可算集合です。\(X\)と\(Y\)が共通の要素を持つ場合、\(X\subset Y\)ならば\(X\cup Y=Y\)となるため、\(X\cup Y\)は明らかに可算集合です。一方、\(X\subset Y\)が成り立たない場合には\(X\cup Y=\left( X\backslash Y\right) \cup Y\)という形で、有限集合\(X\backslash Y\)と可算集合\(Y\)の和集合として表現できるため、先ほどと同様に考えれば\(X\cup Y\)が可算集合であることが示されます。

命題(有限集合と可算集合の和集合)
有限集合\(X\)と可算集合\(Y\)をそれぞれ任意に選ぶ。このとき、\(X\cup Y\)は可算集合である。
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例(非負の有理数集合)
すべての正の有理数からなる集合\begin{equation*}
\mathbb{Q} _{++}=\left\{ \frac{m}{n}\ |\ n,m\in \mathbb{N}\right\}
\end{equation*}が可算集合であることはすでに示した通りです。これと有限集合\(\{0\}\)の和集合である、\begin{equation*}
\mathbb{Q} _{+}=\mathbb{Q} _{++}\cup \{0\}
\end{equation*}はすべての非負の有理数からなる集合ですが、上の命題より、これは可算集合です。

 

可算集合どうしの和集合

可算集合どうしの和集合もまた可算集合です。

命題(可算集合どうしの和集合)
可算集合\(X,Y\)をそれぞれ任意に選ぶ。このとき、\(X\cup Y\)は可算集合である。
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有限個の可算集合\(X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n}\)が与えられたとき、上の命題を繰り返し適用すると、それらの和集合\(\bigcup_{i=1}^{n}X_{i}\)が可算個であることが示されます。

命題(有限個の可算集合どうしの和集合)
自然数\(n\)個の集合からなる集合族\(\{X_{i}\}_{i=1}^{n}\)が与えられたとき、任意の\(i\)について\(X_{i}\)が可算集合であるならば、和集合\begin{equation*}
\bigcup_{i=1}^{n}X_{i}
\end{equation*}もまた可算集合である。
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一般の集合族\(\{X_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\)について考えます。ただし、添字集合\(\Lambda \)は有限集合であり、なおかつ、それぞれの添字\(\lambda \in \Lambda \)について\(X_{\lambda }\)が可算集合であるものとします。\(\Lambda \)は有限集合であるならば\(\Lambda =\{\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n}\}\)と付番できるため、先の集合族の和集合を、\begin{equation*}
\bigcup_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }=\bigcup_{i=1}^{n}X_{\lambda _{i}}
\end{equation*}と表現できます。したがって、上の命題より、これは可算集合です。

系(有限個の可算集合の和集合)
集合族\(\{X_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\)が与えられたとき、\(\Lambda \)が有限集合であり、なおかつ任意の\(\lambda \in \Lambda\)について\(X_{\lambda }\)が可算集合であるならば、和集合\begin{equation*}
\bigcup_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }
\end{equation*}もまた可算集合である。

 

可算個の可算集合の和集合

有限個の可算集合の和集合が可算集合になることが明らかになりましたが、こうした性質は、可算個の可算集合の和集合についても成り立ちます。

命題(可算個の可算集合の和集合)
可算個の集合からなる集合族\(\{X_{i}\}_{i=1}^{\infty }\)が与えられたとき、任意の\(i\)について\(X_{i}\)が可算集合であるならば、和集合\begin{equation*}
\bigcup_{i=1}^{\infty }X_{i}
\end{equation*}もまた可算集合である。
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一般の集合族\(\{X_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\)について考えます。ただし、添字集合\(\Lambda \)は可算集合であり、なおかつ、それぞれの添字\(\lambda \in \Lambda \)について\(X_{\lambda }\)が可算集合であるものとします。\(\Lambda \)は可算集合であるならば\(\Lambda =\{\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots \}\)と付番できるため、先の集合族の和集合を、\begin{equation*}
\bigcup_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }=\bigcup_{i=1}^{\infty }X_{\lambda
_{i}}
\end{equation*}と表現できます。したがって、上の命題より、これは可算集合です。

系(可算個の可算集合の和集合)
集合族\(\{X_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\)が与えられたとき、\(\Lambda \)が可算集合であり、なおかつ任意の\(\lambda \in \Lambda \)について\(X_{\lambda }\)が可算集合であるならば、和集合\begin{equation*}
\bigcup_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }
\end{equation*}もまた可算集合である。

この命題において\(\Lambda = \mathbb{N}\)とすれば一個前の命題が得られます。ただ、可算集合として\( \mathbb{N}\)の他にも様々なものがあります。例えば、偶数集合\(E\)、奇数集合\(O\)、整数集合\(\mathbb{Z}\)、有理数集合\(\mathbb{Q} \)などはいずれも可算集合ですので、上の命題において\(\Lambda \)をこれらの可算集合に置き換えても、同様の結論が得られます。そのような意味で、この命題は一個前の命題の一般化になっています。

 

高々可算個の高々可算集合の和集合

集合族\(\{X_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\)において、添字集合\(\Lambda \)が高々可算集合であり、なおかつ任意の\(\lambda \in \Lambda \)について\(X_{\lambda }\)が高々可算集合であるものとします。ただし、ある集合が高々可算集合とは、その集合が有限集合もしくは可算集合であることを意味します。したがって、以下の 4 通りのケースが起こり得ます。

  1. \(\Lambda \)が可算集合であり、なおかつ任意の\(\lambda \)について\(X_{\lambda }\)が可算集合である場合。
  2. \(\Lambda \)が可算集合であり、なおかつ少なくとも 1 つの\(\lambda \)について\(X_{\lambda }\)が有限集合である場合。
  3. \(\Lambda \)が有限集合であり、なおかつ任意の\(\lambda \)について\(X_{\lambda }\)が可算集合である場合。
  4. \(\Lambda \)が有限集合であり、なおかつ少なくとも 1 つの\(\lambda \)について\(X_{\lambda }\)が有限集合である場合。

これまで明らかになった事実を利用すると、上のいずれの場合においても、和集合\(\bigcup_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\)が高々可算集合になることが示されます。

系(高々可算個の高々可算集合の和集合)
集合族\(\{X_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\)が与えられたとき、\(\Lambda \)が高々可算集合であり、なおかつ任意の\(\lambda \in \Lambda \)について\(X_{\lambda }\)が高々可算集合であるならば、和集合\begin{equation*}
\bigcup_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }
\end{equation*}もまた高々可算集合である。
例(有理数集合)
すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \)は、\begin{equation*}
\mathbb{Q} =\mathbb{Q} _{++}\cup \{0\}\cup
\mathbb{Q} _{–}
\end{equation*}と表すことができます。ただし、\(\mathbb{Q} _{++}\)はすべての正の有理数からなる集合、\(\mathbb{Q} _{–}\)はすべての負の有理数からなる集合であり、これらはともに可算集合であることはすでに示した通りです。また、\(\{0\}\)は有限集合です。つまり、\(\mathbb{Q} \)は高々可算個の高々可算集合の和集合として表されるため、上の命題より、これは高々可算集合です。ただ、\(\mathbb{Q} \)は無限集合であるため、これは\(\mathbb{Q} \)が可算集合であることを意味します。

次回は可算集合の直積集合について学びます。

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