反対称律を満たす二項関係
集合\(A\)上の二項関係\(R\)が与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}R\subset A\times A
\end{equation*}です。これが以下の性質\begin{equation*}
\forall x,y\in A:\left[ \left( x,y\right) \in R\wedge \left( y,x\right) \in
R\Rightarrow x=y\right]
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x,y\in A:\left[ R\left( x,y\right) \wedge R\left( y,x\right)
\Rightarrow x=y\right]
\end{equation*}を満たす場合には、つまり、\(A\)の要素\(x,y\)を任意に選んだとき、\(R\)のもとで\(x\)と\(y\)が関係を持つとともに\(y\)と\(x\)が関係を持つ場合に\(x\)と\(y\)が一致する場合には、\(R\)は反対称律（antisymmetric law）を満たすといいます。
先の定義の対偶をとると、\begin{equation*}
\forall x,y\in A:\left[ x\not=y\Rightarrow \lnot R\left( x,y\right) \vee
\lnot R\left( y,x\right) \right]
\end{equation*}を得ます。つまり、対偶律を満たす二項関係\(R\)のもとでは、異なる要素\(x,y\)に対して\(R\left( x,y\right) \)または\(R\left( y,x\right) \)の少なくとも一方が成り立ちません。さらにこれは、\begin{equation*}\forall x,y\in A:\left[ x\not=y\wedge R\left( x,y\right) \Rightarrow \lnot
R\left( y,x\right) \right]
\end{equation*}とも必要十分です。つまり、対偶律を満たす二項関係\(R\)のもとでは、\(R\left( x,y\right) \)を満たす任意の異なる要素\(x,y\)について\(R\left( y,x\right) \)は成り立ちません。
以下は反対称律を満たす二項関係の例です。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。実数\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( x=y\wedge y=x\right) \Rightarrow x=y
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は反対称律を満たします。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。実数\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( x\leq y\wedge y\leq x\right) \Rightarrow x=y
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は反対称律を満たします。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。実数\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(x<y\)と\(y<x\)は同時に成り立たないため、\begin{equation*}\left( x<y\wedge y<x\right) \Rightarrow x=y
\end{equation*}の前提は偽であり、ゆえにこの命題全体は真です。したがって\(R\)は反対称律を満たします。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。ただし、\(x|y\)は\(y\)が\(x\)で割り切れることを表します。その上で、\(x|y\)と\(y|x\)をともに満たす\(x,y\in \mathbb{N} \)を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}y &=&mx \\
x &=&ny
\end{eqnarray*}を満たす自然数\(m,n\in \mathbb{N} \)が存在するということです。このとき、\begin{equation*}x=nmx
\end{equation*}が成り立ちますが、両辺を\(x>0\)で割ることにより、\begin{equation*}nm=1
\end{equation*}を得ます。\(m,n\in \mathbb{N} \)であるため、このとき、\begin{equation*}m=n=1
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
y=x
\end{equation*}を得ます。したがって\(R\)は反対称律を満たします。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。集合\(A,B\in 2^{X}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( A\subset B\wedge B\subset A\right) \Rightarrow A=B
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は反対称律を満たします。
&\Leftrightarrow &x=y\wedge y=x\quad \because \text{恒等関係の定義} \\
&\Rightarrow &x=y
\end{eqnarray*}が成り立つからです。
\end{equation*}です。\(x,y\in A\)を任意に選んだとき、\(\left( x,y\right) \in \phi \)と\(\left( y,x\right) \in \phi \)はともに成り立たないため、\begin{equation*}\left[ \left( x,y\right) \in \phi \wedge \left( y,x\right) \in \phi \right] \Rightarrow x=y
\end{equation*}は真です。したがって\(R\)は反対称律を満たします。
3,1\right) ,\left( 3,3\right) \right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、\(i,j\in A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left[ \left( i,j\right) \in R\wedge \left( j,i\right) \in R\right] \Rightarrow i=j
\end{equation*}が成り立つため、\(R\)は反対称律を満たします。
反対称律を満たさない二項関係
集合\(A\)上の二項関係\(R\)が反対称律を満たすことは、\begin{equation*}\forall x,y\in A:\left[ \left( x,y\right) \in R\wedge \left( y,x\right) \in
R\Rightarrow x=y\right]
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。したがって、集合\(A\)上の二項関係\(R\)が反対称律を満たさないこととは、\begin{equation*}\exists x,y\in A:\left[ \left( x,y\right) \in R\wedge \left( y,x\right) \in
R\wedge x\not=y\right]
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists x,y\in A:\left[ R\left( x,y\right) \wedge R\left( y,x\right) \wedge
x\not=y\right]
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(A\)の要素\(x,y\)の中に、\(R\)のもとで\(x\)と\(y\)が関係を持つとともに\(y\)と\(x\)が関係を持つ一方で\(x\)と\(y\)が異なるようなものが存在するということです。
以下は反対称律を満たさない二項関係の例です。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。同じ学年に属する異なる2人の学生\(x,y\in A\)に注目したとき、\(x\)と\(y\)が同じ学年で、\(y\)と\(x\)が同じ学年である一方で\(x\)と\(y\)は異なる学生であるため\(R\)は反対称律を満たしません。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。相似だが辺の長さが異なる2つの三角形\(x,y\in A\)に注目したとき、\(x\)と\(y\)が相似で、\(y\)と\(x\)が相似である一方で、\(x\)と\(y\)は異なる三角形であるため\(R\)は反対称律を満たしません。
\end{equation*}です。異なる2つの要素\(x,y\in A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left[ \left( x,y\right) \in A\times A\wedge \left( y,x\right) \in A\times A\right] \Rightarrow x=y
\end{equation*}は偽であるため\(R\)は反対称律を満たしません。
3,1\right) ,\left( 3,3\right) \right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、\(1,2\in A\)について、\begin{equation*}\left( 1,2\right) \in R\wedge \left( 2,1\right) \in R\wedge 2\not=1
\end{equation*}が成り立つため、\(R\)は反対称律を満たしません。
反対称律と逆関係の関係
集合\(A\)上の二項関係\(R\)が与えられたとき、\begin{equation*}R\cap R^{-1}\subset \Delta _{A}
\end{equation*}が成り立つことは、\(R\)が反対称律を満たすための必要十分条件です。
\end{equation*}が成り立つことは、\(R\)が反対称律を満たすための必要十分条件である。ただし、\(\Delta _{A}\)は\(A\)上の恒等関係である。
反対称律と関係の演算
反対称律を満たす二項関係の部分集合として定義される二項関係もまた反対称律を満たします。
\end{equation*}を満たす\(A\)上の二項関係\(S\)を任意に選んだとき、\(S\)もまた反対称律を満たす。
2つの二項関係の少なくとも一方が反対称律を満たす場合、それらの共通関係もまた反対称律を満たすことが保証されます。
反対称律を満たす二項関係との差関係は反対称律を満たすことが保証されます。
反対称律を満たす二項関係の補関係は反対称律を満たすとは限りません。以下の例より明らかです。
3,3\right) \right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。\(R\)は反対称律を満たします。\(R\)の補関係は、\begin{equation*}R^{c}=\left\{ \left( 1,2\right) ,\left( 1,3\right) ,\left( 2,1\right)
,\left( 2,2\right) ,\left( 3,2\right) \right\}
\end{equation*}ですが、\(1,2\in A\)について、\begin{equation*}\left( 1,2\right) \in R^{c}\wedge \left( 2,1\right) \in R^{c}\wedge 1\not=2
\end{equation*}が成り立つため\(R^{c}\)は反対称律を満たしません。
反対称律を満たす二項関係どうしの和関係は反対称律を満たすとは限りません。以下の例より明らかです。
S &=&\left\{ \left( 1,1\right) ,\left( 2,1\right) \right\}
\end{eqnarray*}で与えられているものとします。\(R\)と\(S\)はともに反対称律を満たします。\(R\)と\(S\)の和関係は、\begin{equation*}R\cup S=\left\{ \left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left( 2,1\right)
\right\}
\end{equation*}ですが、\(1,2\in A\)について、\begin{equation*}\left( 1,2\right) \in R\cup S\wedge \left( 2,1\right) \in R\cup S\wedge
1\not=2
\end{equation*}が成り立つため\(R\cup S\)は反対称律を満たしません。
反対称律と対称律の関係
集合\(A\)上の二項関係\(R\)が対称律を満たすことは、\begin{equation*}\forall x,y\in A:\left[ R\left( x,y\right) \Rightarrow R\left( y,x\right) \right]
\end{equation*}が成り立つことを意味する一方で、\(R\)が反対称律を満たすことは、\begin{equation*}\forall x,y\in A:\left[ R\left( x,y\right) \wedge R\left( y,x\right)
\Rightarrow x=y\right]
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、対称と反対称は反対語ではありません。つまり、対称律を満たさないことと反対称律を満たすことは必要十分ではありません。実際、対称的かつ反対称的な二項関係は存在します。
演習問題
\end{equation*}で与えられているものとします。この\(R\)は反対称律を満たすでしょうか。議論してください。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。ただし、\(x\equiv y\ \left( \mathrm{mod}\ 2\right) \)は\(x-y\)が\(2\)の整数倍であること（\(x\)が\(2\)を法として\(y\)と合同である）ことを表します。\(R\)は反対称律を満たすでしょうか。議論してください。
\overrightarrow{AB}\text{を平行移動すると}\overrightarrow{CD}\text{に重なる}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は反対称律を満たすでしょうか。議論してください。
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}が成り立つことは、\(R\)が対称律と反対称律をともに満たすための必要十分条件であることを証明してください。
