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二項関係の完備律・完全律・三分律

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完備律を満たす二項関係

集合\(A\)上の二項関係\(R\)が以下の条件\begin{equation*}\forall x,y\in A:\left[ R\left( x,y\right) \vee R\left( y,x\right) \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x,y\in A:\left[ \left( x,y\right) \in R\vee \left( y,x\right) \in R\right] \end{equation*}を満たす場合には、つまり、\(A\)の要素\(x,y\)を任意に選んだとき、\(R\)のもとで\(x\)と\(y\)が関係を持つか、\(y\)と\(x\)が関係を持つか、その少なくとも一方が成り立つ場合には、\(R\)は完備律(complete law)や狭義の連結律(strictly connected law)を満たすと言います。

以下は完備律を満たす二項関係の例です。

例(実数の大小関係)
すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\leq y
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。実数\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}x\leq y\vee y\leq x
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は完備律を満たします。
例(集合の包含関係)
すべての集合を要素として持つ集合族\(\mathfrak{A}\)が与えられたとき、それぞれの\(\left( A,B\right) \in \mathfrak{A}\times \mathfrak{A}\)について、\begin{equation*}R\left( A,B\right) \Leftrightarrow A\subset B
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。集合\(A,B\in \mathfrak{A}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\subset B\vee B\subset A
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は完備律を満たします。
例(全体関係)
関係\(R\)が集合\(A\)上の全体関係であるものとします。つまり、\begin{equation*}R=A\times A
\end{equation*}です。\(x,y\in A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( x,y\right) \in A\times A\vee \left( y,x\right) \in A\times A
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は完備律を満たします。
例(完備律を満たす二項関係)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)上に定義された二項関係\(R\)が、\begin{equation*}R=\left\{ \left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left( 1,3\right) ,\left(
2,2\right) ,\left( 2,3\right) ,\left( 3,3\right) \right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。\(i,j\in A\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}\left( i,j\right) \in R\vee \left( j,i\right) \in R
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は完備律を満たします。

復習になりますが、集合\(A\)上の二項関係\(R\)が反射律を満たすことは、\begin{equation*}\forall x\in A:R\left( x,x\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。完備律を満たす二項関係は反射律を満たします。

命題(完備律と反射律の関係)
集合\(A\)上の二項関係\(R\)が完備律を満たすならば、\(R\)は反射律を満たす。
証明

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上の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、反射律を満たす二項関係は完備律を満たすとは限りません。以下の例より明らかです。

例(集団への所属関係)
ある学校の生徒からなる集合\(A\)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{は}y\text{と同じ学年}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。学生\(x\in A\)を任意に選んだとき、\(x\)は\(x\)自身と同学年であるため\(R\)は反射律を満たします。その一方で、異なる学年に属する学生\(x,y\in A\)について、\(x\)は\(y\)と同じ学年ではなく、\(y\)は\(x\)と同じ学年ではないため、\(R\)は完備律を満たしません。

 

完全律を満たす二項関係

集合\(A\)上の二項関係\(R\)が以下の条件\begin{equation*}\forall x,y\in A:\left[ R\left( x,y\right) \vee R\left( y,x\right) \vee x=y\right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x,y\in A:\left[ \left( x,y\right) \in R\vee \left( y,x\right) \in
R\vee x=y\right] \end{equation*}を満たす場合には、つまり、\(A\)の要素\(x,y\)を任意に選んだとき、\(R\)のもとで\(x\)と\(y\)が関係を持つか、\(y\)と\(x\)が関係を持つか、もしくは\(x\)と\(y\)が一致するか、その中の少なくとも1つが成立する場合、\(R\)は完全律(total law)や広義の連結律(weakly connected law)を満たすなどと言います。

完備律という用語が完全律の意味で使われたり、逆に、完全律という用語が完備律の意味で使われる場合があります。また、連結律という用語は広義の意味と狭義の意味のどちらの場合でも使われます。いずれにせよ、文脈から判断する必要があります。

集合\(A\)の要素\(x,y\)を任意に選んだとき、完備律は\(R\left( x,y\right) \)と\(R\left( y,x\right) \)の少なくとも一方が成立することを要求するのに対し、完全律は\(R\left( x,y\right) \)と\(R\left( y,x\right) \)に加えて\(x=y\)が成り立つ場合も可能性として認めています。したがって、完備律は完全律よりも厳しい条件であり、完備律を満たす二項関係は完全律を満たします。

命題(完全律と完備律の関係)
集合\(A\)上の二項関係\(R\)が完備律を満たすならば、\(R\)は完全律を満たす。

上の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、完全律を満たす二項関係は完備律を満たすとは限りません。以下の例より明らかです。

例(実数の狭義大小関係)
すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x<y
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。実数\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(x\not=y\)の場合には\(x<y\)と\(y<x\)のどちらか一方が成り立ちます。その一方で、\(x=y\)の場合には\(x<y\)と\(y<x\)はともに成り立ちません。したがって\(R\)は完備律を満たさない一方で完全律を満たします。

 

三分律を満たす二項関係

集合\(A\)上の二項関係\(R\)が完全律を満たすためには、集合\(A\)の2つの要素\(x,y\)を任意に選んだときに、\(R\left( x,y\right) \)と\(R\left(y,x\right) \)と\(x=y\)の中の少なくとも1つが成立すればよく、この中の複数の条件が同時に成立する可能性も許容されています。その一方で、\(A\)の2つの要素\(x,y\)を任意に選んだときに、\(R\left( x,y\right) \)と\(R\left( y,x\right) \)と\(x=y\)の中のどれか1つだけが常に成立することを条件として要求する場合、そのような二項関係\(R\)は三分律(law of trichotomy)を満たすと言います。

三分律という用語は完全律の意味で使われる場合もあるため、文脈から判断する必要があります。

例(実数の狭義大小関係)
すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x<y
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。実数\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(x<y\)と\(y<x\)と\(x=y\)の中のどれか1つだけが常に成り立つため、\(R\)は三分律を満たします。

三分律は明らかに完備律や完全律を満たします。

命題(三分律と完全律の関係)
集合\(A\)上の二項関係\(R\)が三分律を満たすならば、\(R\)は完備律と完全律を満たす。

上の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、完備律や完全律を満たす二項関係は三分律を満たすとは限りません。以下の例より明らかです。

例(実数の大小関係)
すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\leq y
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。実数\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}x\leq y\vee y\leq x
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は完備律を満たします。完備律を満たす二項関係は完全律を満たすため\(R\)は完全律も満たします。その一方で、実数\(x\in \mathbb{R} \)に注目したとき、\(x\leq x\)と\(x=x\)がともに成立するため\(R\)は三分律を満たしません。

 

完備律・完全律・三分律を満たさない二項関係

以下は完備律、完全律、三分律をすべて見たさない二項関係の例です。

例(実数の相等関係)
すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x=y
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。異なる実数\(x,y\in \mathbb{R} \)に注目したとき、\(x=y\)と\(y=x\)はともに成り立たないため、\(R\)は完備律、完全律、三分律をいずれも満たしません。
例(三角形の相似関係)
平面上のすべての三角形からなる集合\(A\)が与えられたとき、それぞれの\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{と}y\text{は相似}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。相似ではない2つの三角形\(x,y\in A\)に注目したとき、\(x\)は\(y\)と相似ではなく、\(y\)と\(x\)は相似ではなく、なおかつ\(x\not=y\)であるため、\(R\)は完備律、完全律、三分律をいずれも満たしません。
例(恒等関係)
集合\(A\)上の恒等関係\(\Delta_{A}\)が与えられたとき、異なる要素\(x,y\in A\)に注目したとき、\(x\not=y\)と\(y\not=x\)すなわち\(\left( x,y\right) \not\in \Delta _{A}\)と\(\left( y,x\right) \not\in \Delta _{A}\)がともに成り立つとともに\(x\not=y\)であるため、\(R\)は完備律、完全律、三分律をいずれも満たしません。
例(空関係)
関係\(R\)が集合\(A\)上の空関係であるものとします。つまり、\begin{equation*}R=\phi
\end{equation*}です。異なる要素\(x,y\in A\)に注目したとき、\(\left(x,y\right) \in \phi \)と\(\left( y,x\right) \in \phi \)はともに偽であるとともに\(x\not=y\)であるため、\(R\)は完備律、完全律、三分律をいずれも満たしません。
例(完備律・完全律・三分律を満たさない二項関係)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)上に定義された二項関係\(R\)が、\begin{equation*}R=\left\{ \left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left( 1,3\right) ,\left(
2,2\right) ,\left( 3,3\right) \right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。\(2,3\in A\)について\(\left( 2,3\right) \in R\)と\(\left( 3,2\right) \in R\)はともに成り立たず、なおかつ\(2\not=3\)であるため、\(R\)は完備律、完全律、三分律をいずれも満たしません。

 

演習問題

問題(標準的順序)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\}
:x_{i}\leq y_{i}
\end{equation*}を満たすものとして定義します。ただし、\(x_{i}\)は\(x\)の第\(i\)成分、\(y_{i}\)は\(y\)の第\(i\)成分です。\(R\)は完備律、完全律、三分律を満たすでしょうか。議論してください。
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問題(完備律の含意)
集合\(A\)上の二項関係\(R\)が完備律を満たすものとします。その上で、任意の\(x,y\in A\)について、\begin{equation*}I\left( x,y\right) \Leftrightarrow R\left( x,y\right) \wedge R\left(
y,x\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(A\)上の二項関係\(I\)を定義します。\(I\)が反射律を満たすことを証明してください。
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問題(完備律の含意)
集合\(A\)上の二項関係\(R\)が完備律を満たすものとします。その上で、任意の\(x,y\in A\)について、\begin{equation*}P\left( x,y\right) \Leftrightarrow R\left( x,y\right) \wedge \lnot R\left(
y,x\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(A\)上の二項関係\(P\)を定義します。以上を踏まえたとき、任意の\(x,y\in A\)について、\begin{equation*}P\left( x,y\right) \Leftrightarrow \lnot R\left( y,x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことを示してください。

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DISCUSSION

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