完備律を満たす二項関係
集合\(A\)上の二項関係\(R\)が与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}R\subset A\times A
\end{equation*}です。これが以下の性質\begin{equation*}
\forall x,y\in A:\left[ \left( x,y\right) \in R\vee \left( y,x\right) \in R\right]
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x,y\in A:\left[ R\left( x,y\right) \vee R\left( y,x\right) \right]
\end{equation*}を満たす場合には、つまり、\(A\)の要素\(x,y\)を任意に選んだとき、\(R\)のもとで\(x\)と\(y\)が関係を持つか、\(y\)と\(x\)が関係を持つか、その少なくとも一方が成り立つ場合には、\(R\)は完備律（complete law）や狭義の連結律（strictly connected law）を満たすと言います。
以下は完備律を満たす二項関係の例です。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。実数\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}x\leq y\vee y\leq x
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は完備律を満たします。
\end{equation*}です。\(x,y\in A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( x,y\right) \in A\times A\vee \left( y,x\right) \in A\times A
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は完備律を満たします。
2,2\right) ,\left( 2,3\right) ,\left( 3,3\right) \right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。\(i,j\in A\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}\left( i,j\right) \in R\vee \left( j,i\right) \in R
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は完備律を満たします。
集合\(A\)上の二項関係\(R\)が反射律を満たすことは、\begin{equation*}\forall x\in A:R\left( x,x\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。完備律を満たす二項関係は反射律を満たします。
先の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、反射律を満たす二項関係は完備律を満たすとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。学生\(x\in A\)を任意に選んだとき、\(x\)は\(x\)自身と同学年であるため\(R\)は反射律を満たします。その一方で、異なる学年に属する学生\(x,y\in A\)に注目したとき、\(x\)は\(y\)と同じ学年ではなく、\(y\)は\(x\)と同じ学年ではないため、\(R\)は完備律を満たしません。
完全律を満たす二項関係
集合\(A\)上の二項関係\(R\)が与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}R\subset A\times A
\end{equation*}です。これが以下の性質\begin{equation*}
\forall x,y\in A:\left[ \left( x,y\right) \in R\vee \left( y,x\right) \in
R\vee x=y\right]
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x,y\in A:\left[ R\left( x,y\right) \vee R\left( y,x\right) \vee x=y\right]
\end{equation*}を満たす場合には、つまり、\(A\)の要素\(x,y\)を任意に選んだとき、\(R\)のもとで\(x\)と\(y\)が関係を持つか、\(y\)と\(x\)が関係を持つか、もしくは\(x\)と\(y\)が一致するか、その中の少なくとも1つが成立する場合、\(R\)は完全律（total law）や広義の連結律（weakly connected law）を満たすなどと言います。
完備律という用語が完全律の意味で使われたり、逆に、完全律という用語が完備律の意味で使われる場合があります。文脈から判断する必要があります。
集合\(A\)の要素\(x,y\)を任意に選んだとき、完備律は\(R\left( x,y\right) \)と\(R\left( y,x\right) \)の少なくとも一方が成立することを要求するのに対し、完全律は\(R\left( x,y\right) \)と\(R\left( y,x\right) \)に加えて\(x=y\)が成り立つ場合も可能性として認めています。したがって、完備律は完全律よりも厳しい条件であり、完備律を満たす二項関係は完全律を満たします。
先の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、完全律を満たす二項関係は完備律を満たすとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。実数\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(x\not=y\)の場合には\(x<y\)と\(y<x\)のどちらか一方が成り立ちます。その一方で、\(x=y\)の場合には\(x<y\)と\(y<x\)はともに成り立ちません。したがって\(R\)は完備律を満たさない一方で完全律を満たします。
完全律は以下のように表現可能です。
y,x\right) \right] \end{equation*}が成り立つことは、\(R\)が完全律を満たすための必要十分条件である。
三分律を満たす二項関係
集合\(A\)上の二項関係\(R\)が完全律を満たすためには、集合\(A\)の2つの要素\(x,y\)を任意に選んだときに、\(R\left( x,y\right) \)また\(R\left( y,x\right) \)または\(x=y\)の中の少なくとも1つが成立すればよく、この中の複数の条件が同時に成立する可能性も許容されています。その一方で、\(A\)の2つの要素\(x,y\)を任意に選んだときに、\(R\left( x,y\right) \)と\(R\left(y,x\right) \)と\(x=y\)の中のどれか1つだけが常に成り立つ場合、そのような二項関係\(R\)は三分律（law of trichotomy）を満たすと言います。
三分律という用語は完全律の意味で使われる場合もあるため、文脈から判断する必要があります。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。実数\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(x<y\)と\(y<x\)と\(x=y\)の中のどれか1つだけが常に成り立つため、\(R\)は三分律を満たします。
三分律を満たす二項関係は完全律を満たします。
先の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、完全律を満たす二項関係は三分律を満たすとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。実数\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}x\leq y\vee y\leq x
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は完備律を満たします。完備律を満たす二項関係は完全律を満たすため\(R\)は完全律も満たします。その一方で、実数\(x\in \mathbb{R} \)に注目したとき、\(x\leq x\)と\(x=x\)がともに成立するため\(R\)は三分律を満たしません。
三分律を満たす二項関係は完備律を満たすとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。実数\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(x<y\)と\(y<x\)と\(x=y\)の中のどれか1つだけが常に成り立つため、\(R\)は三分律を満たします。その一方で、\(x=y\)の場合には\(x<y\)と\(y<x\)はともに成り立たないため、\(<\)は完備律を満たしません。
完備律を満たす二項関係は三分律を満たすとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。実数\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(x\leq y\)と\(y\leq x\)の少なくとも一方が成り立つため、\(R\)は完備律を満たします。その一方で、実数\(x,y\in \mathbb{R} \)が等しい場合には\(x\leq y\)と\(y\leq x\)と\(x=y\)がすべて成り立つため、\(\leq \)は三分律を満たしません。
完備律・完全律・三分律を満たさない二項関係
以下は完備律、完全律、三分律をすべて満たさない二項関係の例です。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。異なる実数\(x,y\in \mathbb{R} \)に注目したとき、\(x=y\)と\(y=x\)はともに成り立たないため、\(R\)は完備律、完全律、三分律をいずれも満たしません。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。すべての奇数からなる集合\(O\)とすべての偶数からなる集合\(E\)に注目したとき、\(E\subset O\)と\(E\subset O\)はともに成り立たず、なおかつ\(E\not=O\)であるため、\(R\)は完備律、完全律、三分律をいずれも満たしません。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。相似ではない2つの三角形\(x,y\in A\)に注目したとき、\(x\)は\(y\)と相似ではなく、\(y \)と\(x\)は相似ではなく、なおかつ\(x\not=y\)であるため、\(R\)は完備律、完全律、三分律をいずれも満たしません。
\end{equation*}です。異なる要素\(x,y\in A\)に注目したとき、\(\left(x,y\right) \in \phi \)と\(\left( y,x\right) \in \phi \)はともに偽であるとともに\(x\not=y\)であるため、\(R\)は完備律、完全律、三分律をいずれも満たしません。
2,2\right) ,\left( 3,3\right) \right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。\(2,3\in A\)について\(\left( 2,3\right) \in R\)と\(\left( 3,2\right) \in R\)はともに成り立たず、なおかつ\(2\not=3\)であるため、\(R\)は完備律、完全律、三分律をいずれも満たしません。
完備律の特徴づけ
二項関係が完備律を満たすことと、反射律と完全律をともに満たすことは必要十分です。
完全律の特徴づけ
完全律は以下のように表現可能です。
\end{equation*}が完備律を満たすことは、\(R\)が完全律を満たすための必要十分条件である。ただし、\(\Delta _{A}\)は\(A\)上の恒等関係である。
三分律の特徴づけ
二項関係が三分律を満たすことと、完全律と非対称律をともに満たすことは必要十分です。
演習問題
:x_{i}\leq y_{i}
\end{equation*}を満たすものとして定義します。ただし、\(x_{i}\)は\(x\)の第\(i\)成分、\(y_{i}\)は\(y\)の第\(i\)成分です。\(R\)は完備律、完全律、三分律を満たすでしょうか。議論してください。
y,x\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(A\)上の二項関係\(I\)を定義します。\(I\)が反射律を満たすことを証明してください。
y,x\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(A\)上の二項関係\(P\)を定義します。以上を踏まえたとき、任意の\(x,y\in A\)について、\begin{equation*}P\left( x,y\right) \Leftrightarrow \lnot R\left( y,x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことを示してください。
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