逆関係もまた関係ですから、その定義域と値域をそれぞれ定義できます。なお、関係の定義域と逆関係の値域は一致し、関係の値域と逆関係の定義域は一致します。

逆関係 定義域 値域

2019年3月21日:公開

逆関係の定義域

\(X\)から\(Y\)への関係\(R\)の逆関係\(R^{-1}\)は\(Y\)から\(X\)への関係であることから、その定義域を定義できます。具体的には、逆関係\(R^{-1}\)の定義域とは、\(\left( y,x\right) \in R^{-1}\)を満たすような要素\(x\in X\)が少なくとも1つ存在するような\(Y\)の要素からなる集合\begin{equation*}
D\left( R^{-1}\right) =\{y\in Y\ |\ \exists x\in X:\left( y,x\right) \in R^{-1}\}
\end{equation*}として定義されます。

例(逆関係の定義域)
\(X=\{1,3,5\}\)から\(Y=\{2,4,6\}\)への大小関係\(<\)は、\begin{equation*}
<=\{\left( 1,2\right) ,\left( 1,4\right) ,\left( 1,6\right) ,\left( 3,4\right) ,\left( 3,6\right) ,\left( 5,6\right) \}
\end{equation*}であり、その値域は\(R\left( <\right) =\{2,4,6\}\)です。一方、\(<\)の逆関係\(>\)は、\begin{equation*}
>=\{\left( 2,1\right) ,\left( 4,1\right) ,\left( 6,1\right) ,\left( 4,3\right) ,\left( 6,3\right) ,\left( 6,5\right) \}
\end{equation*}であり、その定義域は\(D\left( >\right) =\{2,4,6\}\)です。ここでは\(D\left( >\right) =R\left( <\right) \)という関係が成立していますが、以下で示すようにこのような関係は一般に成り立ちます。

 

逆関係の定義域は関係の値域と一致する

逆関係の定義域は関係の値域と一致します。

命題(逆関係の定義域は関係の値域と一致する)
\(X\)から\(Y\)への関係\(R\)とその逆関係\(R^{-1}\)の間には、\begin{equation*}
D\left( R^{-1}\right) =R\left( R\right)
\end{equation*}という関係が成立する。
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逆関係の値域

\(X\)から\(Y\)への関係\(R\)の逆関係\(R^{-1}\)は\(Y\)から\(X\)への関係であることから、その値域を定義できます。具体的には、逆関係\(R^{-1}\)の値域とは、\(\left( y,x\right) \in R^{-1}\)を満たすような要素\(y\in Y\)が少なくとも1つ存在するような\(X\)の要素からなる集合\begin{equation*}
R\left( R^{-1}\right) =\{x\in X\ |\ \exists y\in Y:\left( y,x\right) \in R^{-1}\}
\end{equation*}として定義されます。

例(逆関係の値域)
\(X=\{1,3,5\}\)から\(Y=\{2,4,6\}\)への大小関係\(<\)は、\begin{equation*}
<=\{\left( 1,2\right) ,\left( 1,4\right) ,\left( 1,6\right) ,\left( 3,4\right) ,\left( 3,6\right) ,\left( 5,6\right) \}
\end{equation*}であり、その定義域は\(D\left( <\right) =\{1,3,5\}\)です。一方、\(<\)の逆関係\(>\)は、\begin{equation*}
>=\{\left( 2,1\right) ,\left( 4,1\right) ,\left( 6,1\right) ,\left( 4,3\right) ,\left( 6,3\right) ,\left( 6,5\right) \}
\end{equation*}であり、その地域は\(R\left( >\right) =\{1,3,5\}\)です。ここでは\(D\left( <\right) =R\left( >\right) \)という関係が成立していますが、以下で示すようにこのような関係は一般に成り立ちます。

 

逆関係の値域は逆関係の定義域と一致する

逆関係の値域は関係の定義域と一致します。

命題(逆関係の値域は関係の定義域と一致する)
\(X\)から\(Y\)への関係\(R\)とその逆関係\(R^{-1}\)の間には、\begin{equation*}
R\left( R^{-1}\right) =D\left( R\right)
\end{equation*}という関係が成立する。
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次回は合成関係について解説します。
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