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同値類

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同値類

集合\(A\)上の同値関係\(\sim \)が与えられているものとします。つまり、\(\leq \)は反射律対称律に加えて推移律を満たすということ、具体的には、\begin{eqnarray*}&&\left( E_{1}\right) \ \forall x\in A:x\sim x \\
&&\left( E_{2}\right) \ \forall x,y\in A:\left( x\sim y\Rightarrow y\sim
x\right) \\
&&\left( E_{3}\right) \ \forall x,y,z\in X:\left[ \left( x\sim y\wedge y\sim
z\right) \Rightarrow x\sim z\right] \end{eqnarray*}が成り立つということです。要素\(x\in A\)を任意に選んだ上で、同値関係\(\sim \)のもとで\(x\)と同値であるような\(A\)のすべての要素からなる集合を、\begin{equation*}\left[ x\right] =\left\{ y\in A\ |\ x\sim y\right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(x\)を代表元(representative)とする同値類(equivalence class)と呼びます。定義より明らかに、任意の\(x\in A\)について、\begin{equation*}\left[ x\right] \subset A
\end{equation*}が成り立ちます。

同値関係\(\sim \)は対称律を満たすため、\(x,y\in A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}x\sim y\Leftrightarrow y\sim x
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、要素\(x\in A\)を代表元とする同値類を、\begin{equation*}\left[ x\right] =\left\{ y\in A\ |\ y\sim x\right\}
\end{equation*}と表現することもできます。

例(集団への所属関係)
ある学校の生徒からなる集合\(A\)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{は}y\text{と同じ学年}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は同値関係です。学生\(x\in A\)を任意に選んだとき、この学生\(x\)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ x\right] &=&\left\{ y\in A\ |\ R\left( x,y\right) \right\} \quad
\because \text{同値類の定義} \\
&=&\left\{ y\in A\ |\ x\text{は}y\text{と同じ学年}\right\} \quad \because R\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\left[ x\right] \)は学生\(x\)と同じ学年に属するすべての学生からなる集合です。例えば、学生\(x\)が1年生であれば、\(\left[ x\right] \)はすべての1年生からなる集合です。他についても同様です。
例(実数の相等関係)
すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x=y
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は同値関係です。実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(x\)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ x\right] &=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ R\left( x,y\right) \right\} \quad \because \text{同値類の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ x=y\right\} \quad \because R\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\left[ x\right] \)は\(x\)と等しいすべての実数からなる集合です。例えば、\begin{equation*}\left[ 0\right] =\left\{ 0,\frac{0}{1},\frac{0}{2},\cdots \right\}
\end{equation*}となります。他についても同様です。

例(偶奇の一致判定)
すべての整数からなる集合\(\mathbb{Z} \)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left(x,y\right) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{と}y\text{の偶奇が一致する}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は同値関係です。整数\(x\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだとき、\(x\)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ x\right] &=&\left\{ y\in \mathbb{Z} \ |\ R\left( x,y\right) \right\} \quad \because \text{同値類の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{Z} \ |\ x\text{と}y\text{の偶奇が一致する}\right\} \quad \because R\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\left[ x\right] \)は\(x\)と偶奇が一致するすべての整数からなる集合です。例えば、\(2\)は偶数であるため、\(\left[ 2\right] \)は偶数の整数をすべて集めてできる集合であり、\begin{equation*}\left[ 2\right] =\left\{ \cdots ,-4,-2,0,2,4,\cdots \right\}
\end{equation*}です。他についても同様です。

例(相似関係)
平面上のすべての三角形からなる集合\(A\)が与えられたとき、それぞれの\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{と}y\text{は相似}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は同値関係です。三角形\(x\in A\)を任意に選んだとき、\(x\)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ x\right] &=&\left\{ y\in \mathbb{Z} \ |\ R\left( x,y\right) \right\} \quad \because \text{同値類の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{Z} \ |\ x\text{と}y\text{は相似}\right\} \quad \because
R\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\left[ x\right] \)は\(x\)と相似なすべての三角形からなる集合です。
例(整数の合同関係)
すべての整数からなる集合\(\mathbb{Z} \)が与えられたとき、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\equiv y\ \left( \mathrm{mod}\ 2\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。ただし、\(x\equiv y\ \left( \mathrm{mod}\ n\right) \)は\(x-y\)が\(n\)の整数倍であること(\(x\)が\(n\)を法として\(y\)と合同である)ことを表します。\(R\)は同値関係です。整数\(x\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだとき、\(x\)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ x\right] &=&\left\{ y\in \mathbb{Z} \ |\ R\left( x,y\right) \right\} \quad \because \text{同値類の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{Z} \ |\ x\equiv y\ \left( \mathrm{mod}\ 2\right) \right\} \quad \because R\text{の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{Z} \ |\ \exists k\in \mathbb{Z} :x-y=2k\right\} \quad \because \equiv \text{の定義} \\
&=&\left\{ x-2k\in \mathbb{Z} \ |\ k\in \mathbb{Z} \right\}
\end{eqnarray*}となります。具体例を挙げると、整数\(1\in \mathbb{Z} \)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ 1\right] &=&\left\{ 1-2k\ |\ k\in \mathbb{Z} \right\} \\
&=&\left\{ \pm 1,\pm 3,\pm 5,\cdots \right\}
\end{eqnarray*}であり、整数\(2\in \mathbb{Z} \)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ 2\right] &=&\left\{ 2-2k\ |\ k\in \mathbb{Z} \right\} \\
&=&\left\{ 0,\pm 2,\pm 4,\cdots \right\}
\end{eqnarray*}です。他についても同様です。

例(有理数の相等関係)
分母が自然数で分子が整数であるようなすべての商からなる集合\begin{equation*}\mathbb{Q} =\left\{ \frac{z}{n}\ |\ z\in \mathbb{Z} \wedge n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}について考えます。このとき、それぞれの順序対\(\left( \frac{z_{1}}{n_{1}},\frac{z_{2}}{n_{2}}\right) \in \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \)に対して、\begin{equation*}R\left( \frac{z_{1}}{n_{1}},\frac{z_{1}}{n_{2}}\right) \Leftrightarrow
z_{1}n_{2}=z_{2}n_{1}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は同値関係です。商\(\frac{z}{n}\in \mathbb{Q} \)を任意に選んだとき、\(\frac{z}{n}\)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ \frac{z}{n}\right] &=&\left\{ \frac{z^{\prime }}{n^{\prime }}\in \mathbb{Q} \ |\ R\left( \frac{z}{n},\frac{z^{\prime }}{n^{\prime }}\right) \right\}
\quad \because \text{同値類の定義} \\
&=&\left\{ \frac{z^{\prime }}{n^{\prime }}\in \mathbb{Q} \ |\ zn^{\prime }=z^{\prime }n\right\} \quad \because R\text{の定義}
\end{eqnarray*}となりますが、これを有理数(rational number)と呼びます。例えば、商\(\frac{1}{2}\in \mathbb{Q} \)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ \frac{1}{2}\right] &=&\left\{ \frac{z}{n}\in \mathbb{Q} \ |\ 2z=n\right\} \\
&=&\left\{ \frac{n}{2n}\in \mathbb{Q} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \\
&=&\left\{ \frac{1}{2},\frac{2}{4},\frac{3}{6},\frac{4}{8},\cdots \right\}
\end{eqnarray*}となります。つまり、有理数\(\left[ \frac{1}{2}\right] \)とは約分したときに\(\frac{1}{2}\)になる商からなる集合です。また、商\(-\frac{4}{5}\in A\)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ -\frac{4}{5}\right] &=&\left\{ \frac{z}{n}\in \mathbb{Q} \ |\ -4n=5z\right\} \\
&=&\left\{ -\frac{4n}{5n}\in \mathbb{Q} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \\
&=&\left\{ -\frac{4}{5},-\frac{8}{10},-\frac{12}{15},-\frac{16}{20},\cdots
\right\}
\end{eqnarray*}となります。つまり、有理数\(\left[ -\frac{4}{5}\right] \)とは約分したときに\(-\frac{4}{5}\)になる商からなる集合です。有理数\(\left[ \frac{z}{n}\right] \)とは約分したときに\(\frac{z}{n}\)になる商からなる集合であり、\(\left[ \frac{z}{n}\right] \)に属するすべての商を区別せず、それらをすべて\(\frac{z}{n}\)と同一視するということです。
例(有向線分の相等関係)
平面上の点\(A\)を始点とし、点\(B\)を終点とする有向線分を\(\overrightarrow{AB}\)で表します。平面上のすべての有向線分からなる集合\(X\)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right) \in X\times X\)に対して、\begin{equation*}R\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right) \Leftrightarrow
\overrightarrow{AB}\text{を平行移動すると}\overrightarrow{CD}\text{に重なる}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は同値関係です。有向線分\(\overrightarrow{AB}\in X\)を任意に選ぶと、これを代表元とする同値類は、\begin{equation*}\left[ \overrightarrow{AB}\right] =\left\{ \overrightarrow{CD}\in X\ |\
\overrightarrow{AB}\text{を平行移動すると}\overrightarrow{CD}\text{に重なる}\right\}
\end{equation*}となりますが、これをベクトル(vector)と呼びます。有向線分は位置・向き・大きさという3つの情報からなる概念ですが、そこから位置情報を除いた概念がベクトルです。平行移動すると重なるような有向線分どうしを区別せず1つのベクトルとみなすということです。ベクトルは向きと大きさという2つの情報から構成される概念です。

例(同値類)
集合\(A=\left\{ 1,2,3,4\right\} \)上の二項関係\(R\)が、\begin{equation*}R=\left\{ \left( 1,1\right) ,\left( 2,2\right) ,\left( 3,3\right) ,\left(
4,4\right) \right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。\(R\)は\(A\)上の同値関係です。\(1\in A\)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ 1\right] &=&\left\{ x\in A\ |\ \left( x,1\right) \in R\right\} \quad
\because \text{同値類の定義} \\
&=&\left\{ 1\right\}
\end{eqnarray*}となります。同様に、\begin{eqnarray*}
\left[ 2\right] &=&\left\{ 2\right\} \\
\left[ 3\right] &=&\left\{ 3\right\} \\
\left[ 4\right] &=&\left\{ 4\right\}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

同値類の代表元は交換可能

集合\(A\)上の同値関係\(\sim \)が与えられたとき、適当な要素\(x\in A\)を選べば、\(x\)を代表元とする同値類\(\left[ x\right] \)を生成できます。さらに、\(\left[ x\right] \)の要素を任意に選んだ上で、その新たな要素を代表元とする同値類を構成すると、それは\(\left[ x\right] \)と一致することが保証されます。つまり、同値類は代表元を交換しても集合として区別されません。

命題(同値類の代表元は交換可能)
集合\(A\)上の同値関係\(\sim \)が与えられたとき、\begin{equation*}\forall x\in A,\ \forall y\in \left[ x\right] :\left[ y\right] =\left[ x\right] \end{equation*}が成り立つ。

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例(偶奇の一致判定)
すべての整数からなる集合\(\mathbb{Z} \)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left(x,y\right) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{と}y\text{の偶奇が一致する}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は同値関係です。先に示したように、整数\(2\in \mathbb{Z} \)を代表元とする同値類\(\left[ 2\right] \)は偶数の整数をすべて集めてできる集合\begin{equation*}\left[ 2\right] =\left\{ \cdots ,-4,-2,0,2,4,\cdots \right\}
\end{equation*}であるため、先の命題より、\begin{equation*}
\cdots =\left[ -4\right] =\left[ -2\right] =\left[ 0\right] =\left[ 2\right] =\left[ 4\right] =\cdots
\end{equation*}が成り立ちます。実際、例えば、\begin{eqnarray*}
\left[ -2\right] &=&\left\{ y\in \mathbb{Z} \ |\ R\left( x,y\right) \right\} \quad \because \text{同値類の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{Z} \ |\ -2\text{と}y\text{の偶奇が一致する}\right\} \quad \because R\text{の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{Z} \ |\ y\text{は偶数}\right\} \quad \because -2\text{は偶数} \\
&=&\left\{ \cdots ,-4,-2,0,2,4,\cdots \right\}
\end{eqnarray*}となり、これは\(\left[ 2\right] \)と一致します。他についても同様です。
例(有理数の相等関係)
分母が自然数で分子が整数であるようなすべての商からなる集合\begin{equation*}\mathbb{Q} =\left\{ \frac{z}{n}\ |\ z\in \mathbb{Z} \wedge n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}について考えます。このとき、それぞれの順序対\(\left( \frac{z_{1}}{n_{1}},\frac{z_{2}}{n_{2}}\right) \in \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \)に対して、\begin{equation*}R\left( \frac{z_{1}}{n_{1}},\frac{z_{1}}{n_{2}}\right) \Leftrightarrow
z_{1}n_{2}=z_{2}n_{1}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は同値関係です。先に示したように、商\(\frac{1}{2}\in \mathbb{Q} \)を代表元とする同値類は、\begin{equation*}\left[ \frac{1}{2}\right] =\left\{ \frac{1}{2},\frac{2}{4},\frac{3}{6},\frac{4}{8},\cdots \right\}
\end{equation*}であるため、先の命題より、\begin{equation*}
\left[ \frac{1}{2}\right] =\left[ \frac{2}{4}\right] =\left[ \frac{3}{6}\right] =\left[ \frac{4}{8}\right] =\cdots
\end{equation*}が成り立ちます。実際、例えば、\begin{eqnarray*}
\left[ \frac{2}{4}\right] &=&\left\{ \frac{z}{n}\in \mathbb{Q} \ |\ 4z=2n\right\} \\
&=&\left\{ \frac{n}{2n}\in \mathbb{Q} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \\
&=&\left\{ \frac{1}{2},\frac{2}{4},\frac{3}{6},\frac{4}{8},\cdots \right\}
\end{eqnarray*}となり、これは\(\left[ \frac{1}{2}\right] \)と一致します。他についても同様です。

 

演習問題

問題(同値類)
集合\(A=\left\{ -1,1,2,3,4\right\} \)上の二項関係\(R\)が、\begin{eqnarray*}R &=&\{\left( -1,-1\right) ,\left( 1,1\right) ,\left( 2,2\right) ,\left(
3,3\right) ,\left( 4,4\right) ,\left( -1,1\right) ,\left( 1,-1\right) , \\
&&\left( -1,3\right) ,\left( 3,-1\right) ,\left( 1,3\right) ,\left(
3,1\right) ,\left( 2,4\right) ,\left( 4,2\right) \}
\end{eqnarray*}と定義されているものとします。\(R\)が\(A\)上の同値関係であることを示すとともに、\(A\)のそれぞれの要素を代表元とする同値類を明らかにしてください。
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