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同値類

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同値類

集合\(A\)上の同値関係\(\sim \)と要素\(x\in A\)が与えられたとき、\(\sim \)のもとで\(x\)と同値であるような\(A\)の要素からなる集合を、\begin{equation*}\left[ x\right] =\left\{ y\in A\ |\ x\sim y\right\}
\end{equation*}と表記し、これを\(x\)を代表元(representative)とする同値類(equivalence class)と呼びます。定義より明らかに\(\left[ x\right] \subset A\)が成り立ちます。

同値関係\(\sim \)は対称律を満たすため、\(x,y\in A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}x\sim y\Leftrightarrow y\sim x
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、\(x\in X\)を代表元とする同値類を、\begin{equation*}\left[ x\right] =\left\{ y\in A\ |\ y\sim x\right\}
\end{equation*}と表現することもできます。

例(同値類)
集合\(A=\left\{ 1,2,3,4\right\} \)上の二項関係\(R\)が、\begin{equation*}R=\left\{ \left( 1,1\right) ,\left( 2,2\right) ,\left( 3,3\right) ,\left(
4,4\right) \right\}
\end{equation*}と定義されているものとします。\(R\)は\(A\)上の同値関係です。例えば、\(1\in A\)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ 1\right] &=&\left\{ x\in A\ |\ xR1\right\} \quad \because \text{同値類の定義} \\
&=&\left\{ x\in A\ |\ \left( x,1\right) \in R\right\} \\
&=&\left\{ 1\right\}
\end{eqnarray*}となります。同様に、\begin{eqnarray*}
\left[ 2\right] &=&\left\{ 2\right\} \\
\left[ 3\right] &=&\left\{ 3\right\} \\
\left[ 4\right] &=&\left\{ 4\right\}
\end{eqnarray*}などとなります。
例(学年)
ある学校の生徒からなる集合\(A\)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}xRy\Leftrightarrow x\text{は}y\text{と同じ学年}
\end{equation*}を満たすものとして定義される\(R\)は\(A\)上の同値関係です。例えば、1年生の学生\(x\in X\)を任意に選んだとき、この学生\(x\)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ x\right] &=&\left\{ y\in X\ |\ xRy\right\} \quad \because \text{同値類の定義} \\
&=&\left\{ y\in X\ |\ x\text{は}y\text{と同じ学年}\right\} \quad \because R\text{の定義} \\
&=&\left\{ y\in X\ |\ y\text{は}1\text{年生}\right\} \quad
\because x\text{は1年生}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\left[ x\right] \)はすべての1年生からなる集合です。また、2年生の学生\(x\in X\)を任意に選んだとき、同様の理由により、\(\left[ x\right] \)はすべての2年生からなる集合です。
例(合同な整数)
すべての整数からなる集合\(\mathbb{Z} \)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left(x,y\right) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \)に対して、\begin{equation*}xRy\Leftrightarrow x\equiv y\ (\mathrm{mod}\ 2)
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。つまり、\(x-y\)が\(2\)の倍数である場合、そしてその場合にのみ\(R\)のもとで\(x\)は\(y\)と関係を持つものとして定義するということです。この\(R\)は\(A\)上の同値関係です。例えば、整数\(1\in \mathbb{Z} \)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ 1\right] &=&\left\{ y\in \mathbb{Z} \ |\ xRy\right\} \quad \because \text{同値類の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{Z} \ |\ 1\equiv y\ (\mathrm{mod}\ 2)\right\} \quad \because R\text{の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{Z} \ |\ \exists k\in \mathbb{Z} :1-y=2k\right\} \quad \because \equiv \text{の定義} \\
&=&\{1-2k\ |\ k\in \mathbb{Z} \} \\
&=&\{\pm 1,\pm 3,\pm 5,\cdots \}
\end{eqnarray*}となります。また、整数\(2\in \mathbb{Z} \)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ 2\right] &=&\left\{ y\in \mathbb{Z} \ |\ xRy\right\} \quad \because \text{同値類の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{Z} \ |\ 2\equiv y\ (\mathrm{mod}\ 2)\right\} \quad \because R\text{の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{Z} \ |\ \exists k\in \mathbb{Z} :2-y=2k\right\} \quad \because \equiv \text{の定義} \\
&=&\{2-2k\ |\ k\in \mathbb{Z} \} \\
&=&\{0,\pm 2,\pm 4,\cdots \}
\end{eqnarray*}となります。
例(有理数)
分母が自然数で分子が整数であるようなすべての商からなる集合\begin{equation*}
A=\left\{ \frac{z}{n}\ |\ z\in \mathbb{Z} \wedge n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}について考えます。その上で、それぞれの順序対\(\left( \frac{z_{1}}{n_{1}},\frac{z_{2}}{n_{2}}\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}\frac{z_{1}}{n_{1}}R\frac{z_{2}}{n_{2}}\Leftrightarrow z_{1}n_{2}=z_{2}n_{1}
\end{equation*}を満たすものとして定義される\(R\)は\(A\)上の同値関係です。商\(\frac{z}{n}\in A\)を任意に選ぶと、これを代表元とする同値類は、\begin{equation*}\left[ \frac{z}{n}\right] =\left\{ \frac{z^{\prime }}{n^{\prime }}\in X\ |\
zn^{\prime }=z^{\prime }n\right\}
\end{equation*}となりますが、これを有理数(rational number)と呼びます。例えば、商\(\frac{1}{2}\in A\)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ \frac{1}{2}\right] &=&\left\{ \frac{z}{n}\ |\ z\in \mathbb{Z} \wedge n\in \mathbb{N} \wedge \frac{1}{2}R\frac{z}{n}\right\} \quad \because \text{同値類の定義} \\
&=&\left\{ \frac{z}{n}\ |\ z\in \mathbb{Z} \wedge n\in \mathbb{N} \wedge n=2z\right\} \quad \because R\text{の定義} \\
&=&\left\{ \frac{z}{2z}\ |\ z\in \mathbb{Z} \wedge 2z\in \mathbb{N} \right\} \\
&=&\left\{ \frac{1}{2},\frac{2}{4},\frac{3}{6},\frac{4}{8},\cdots \right\}
\end{eqnarray*}となります。つまり、有理数\(\left[ \frac{1}{2}\right] \)とは約分したときに\(\frac{1}{2}\)になる商からなる集合です。また、商\(-\frac{4}{5}\in A\)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ -\frac{4}{5}\right] &=&\left\{ \frac{z}{n}\ |\ z\in \mathbb{Z} \wedge n\in \mathbb{N} \wedge -\frac{4}{5}R\frac{z}{n}\right\} \quad \because \text{同値類の定義} \\
&=&\left\{ \frac{z}{n}\ |\ z\in \mathbb{Z} \wedge n\in \mathbb{N} \wedge -4n=5z\right\} \quad \because R\text{の定義} \\
&=&\left\{ -\frac{4n}{5n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \\
&=&\left\{ -\frac{4}{5},-\frac{8}{10},-\frac{12}{15},-\frac{16}{20},\cdots
\right\}
\end{eqnarray*}となります。つまり、有理数\(\left[ -\frac{4}{5}\right] \)は約分したときに\(-\frac{4}{5}\)になる商からなる集合です。つまり、有理数\(\left[ \frac{z}{n}\right] \)とは約分したときに\(\frac{z}{n}\)になる商からなる集合です。\(\left[ \frac{z}{n}\right] \)に属するすべての商を区別せず、それらをすべて\(\frac{z}{n}\)と同一視するということです。
例(平面上のベクトル)
平面上の点\(A\)を始点とし、点\(B\)を終点とする有向線分を\(\overrightarrow{AB}\)で表します。平面上のすべての有向線分からなる集合を\(X\)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right) \in X\times X\)に対して、\begin{equation*}\overrightarrow{AB}\ R\ \overrightarrow{CD}\ \overset{def}{\Leftrightarrow }\ \overrightarrow{AB}\text{を平行移動すると}\overrightarrow{CD}\text{に重なる}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。このように定義された\(R\)は\(X\)上の同値関係です。有向線分\(\overrightarrow{AB}\in X\)を任意に選ぶと、これを代表元とする同値類は、\begin{equation*}\left[ \overrightarrow{AB}\right] =\left\{ \overrightarrow{CD}\in X\ |\
\overrightarrow{AB}\text{を平行移動すると}\overrightarrow{CD}\text{に重なる}\right\}
\end{equation*}となりますが、これをベクトル(vector)と呼びます。有向線分は位置・向き・大きさという3つの情報からなる概念ですが、そこから位置情報を除いた概念がベクトルです。つまり、平行移動すると重なるような有向線分どうしを区別せず1つのベクトルとみなすということです。ベクトルは向きと大きさという2つの情報から構成される概念です。

 

同値類の代表元は交換可能

集合\(A\)上の同値関係\(\sim \)が与えられたとき、適当な要素\(x\in A\)を選べば、\(x\)を代表元とする同値類\(\left[ x\right] \)を生成できます。さらに、\(\left[ x\right] \)の要素を任意に選んだ上で、その新たな要素を代表元とする同値類を構成すると、それは\(\left[ x\right] \)と一致することが保証されます。つまり、同値類は代表元を交換しても集合として区別されません。

命題(同値類の代表元は交換可能)
集合\(A\)上の同値関係\(\sim \)が与えられたとき、\begin{equation*}\forall x\in A,\ \forall y\in \left[ x\right] :\left[ y\right] =\left[ x\right] \end{equation*}が成り立つ。
証明

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例(合同な整数)
すべての整数からなる集合\(\mathbb{Z} \)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left(x,y\right) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \)に対して、\begin{equation*}xRy\Leftrightarrow x\equiv y\ (\mathrm{mod}\ 2)
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。先に示したように、整数\(1\in \mathbb{Z} \)を代表元とする同値類は、\begin{equation*}\left[ 1\right] =\{\pm 1,\pm 3,\pm 5,\cdots \}
\end{equation*}となります。したがって、先の命題より、\begin{equation*}
\cdots =\left[ -5\right] =\left[ -3\right] =\left[ -1\right] =\left[ 1\right] =\left[ 3\right] =\left[ 5\right] =\cdots
\end{equation*}が成り立ちます。実際、例えば、\begin{eqnarray*}
\left[ -1\right] &=&\left\{ y\in \mathbb{Z} \ |\ xRy\right\} \quad \because \text{同値類の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{Z} \ |\ -1\equiv y\ (\mathrm{mod}\ 2)\right\} \quad \because R\text{の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{Z} \ |\ \exists k\in \mathbb{Z} :-1-y=2k\right\} \quad \because \equiv \text{の定義} \\
&=&\{-1-2k\ |\ k\in \mathbb{Z} \} \\
&=&\{\pm 1,\pm 3,\pm 5,\cdots \}
\end{eqnarray*}となり、これは\(\left[ 1\right] \)と一致します。他についても同様です。
例(有理数)
分母が自然数で分子が整数であるようなすべての商からなる集合\begin{equation*}
A=\left\{ \frac{z}{n}\ |\ z\in \mathbb{Z} \wedge n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}について考えます。先に示したように、商\(\frac{1}{2}\in A\)を代表元とする同値類は、\begin{equation*}\left[ \frac{1}{2}\right] =\left\{ \frac{1}{2},\frac{2}{4},\frac{3}{6},\frac{4}{8},\cdots \right\}
\end{equation*}となります。したがって、先の命題より、\begin{equation*}
\left[ \frac{1}{2}\right] =\left[ \frac{2}{4}\right] =\left[ \frac{3}{6}\right] =\left[ \frac{4}{8}\right] =\cdots
\end{equation*}が成り立ちます。実際、例えば、\begin{eqnarray*}
\left[ \frac{2}{4}\right] &=&\left\{ \frac{z}{n}\ |\ z\in \mathbb{Z} \wedge n\in \mathbb{N} \wedge \frac{2}{4}R\frac{z}{n}\right\} \quad \because \text{同値類の定義} \\
&=&\left\{ \frac{z}{n}\ |\ z\in \mathbb{Z} \wedge n\in \mathbb{N} \wedge 2n=4z\right\} \quad \because R\text{の定義} \\
&=&\left\{ \frac{z}{n}\ |\ z\in \mathbb{Z} \wedge n\in \mathbb{N} \wedge n=2z\right\} \\
&=&\left\{ \frac{z}{2z}\ |\ z\in \mathbb{Z} \wedge 2z\in \mathbb{N} \right\} \\
&=&\left\{ \frac{1}{2},\frac{2}{4},\frac{3}{6},\frac{4}{8},\cdots \right\}
\end{eqnarray*}となり、これは\(\left[ \frac{1}{2}\right] \)と一致します。他についても同様です。

 

演習問題

問題(同値類)
集合\(A=\left\{ -1,1,2,3,4\right\} \)上の二項関係\(R\)が、\begin{eqnarray*}R &=&\{\left( -1,-1\right) ,\left( 1,1\right) ,\left( 2,2\right) ,\left(
3,3\right) ,\left( 4,4\right) ,\left( -1,1\right) ,\left( 1,-1\right) , \\
&&\left( -1,3\right) ,\left( 3,-1\right) ,\left( 1,3\right) ,\left(
3,1\right) ,\left( 2,4\right) ,\left( 4,2\right) \}
\end{eqnarray*}と定義されているものとします。\(R\)が\(A\)上の同値関係であることを示すとともに、\(A\)のそれぞれの要素を代表元とする同値類を明らかにしてください。
証明

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次回は商集合と呼ばれる概念について学びます。

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