同値類
前節では、集合\(A\)上の二項関係が反射律・対称律・推移律をすべて満たす場合、その関係を同値関係と呼ぶことを学びました。同値関係は、集合の異なる要素を、ある基準のもとで同じものとみなすための仕組みです。同値関係が与えられると、それぞれの要素\(x\in A\)について、\(x\)と同値であるすべての要素を集めた集合を考えることができます。この集合を\(x\)の同値類と呼びます。同値関係は集合の要素を互いに重ならない同値類へ分類します。そこで、ある同値関係から得られる相異なる同値類をすべて集めた集合を商集合と呼びます。本節では、同値類の基本的な性質を明らかにした上で、商集合がもとの集合の分割を与えることを示します。さらに逆に、集合の分割から同値関係を構成できることを示し、同値関係と集合の分割の対応について考えます。
集合\(A\)上の同値関係\(\sim \)が与えられているものとします。つまり、\(\sim \)は反射律と対称律に加えて推移律を満たすということ、つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( E_{1}\right) \ \forall x\in A:x\sim x \\
&&\left( E_{2}\right) \ \forall x,y\in A:\left( x\sim y\Rightarrow y\sim
x\right) \\
&&\left( E_{3}\right) \ \forall x,y,z\in A:\left[ \left( x\sim y\wedge y\sim
z\right) \Rightarrow x\sim z\right]
\end{eqnarray*}が成り立つということです。
要素\(x\in A\)が与えられたとき、同値関係\(\sim \)のもとで\(x\)と同値であるような\(A\)のすべての要素からなる集合を、\begin{equation*}\left[ x\right] =\left\{ y\in A\ |\ x\sim y\right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(x\)を代表元（representative）とする同値類（equivalence class）と呼びます。定義より明らかに、任意の\(x\in A\)について、\begin{equation*}\left[ x\right] \subset A
\end{equation*}が成り立ちます。
同値関係\(\sim \)は対称律を満たすため、\(x,y\in A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}x\sim y\Leftrightarrow y\sim x
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、要素\(x\in A\)を代表元とする同値類を、\begin{equation*}\left[ x\right] =\left\{ y\in A\ |\ y\sim x\right\}
\end{equation*}と表現することもできます。
要素\(x\in A\)を任意に選んだとき、同値関係\(\sim \)の反射律より、\begin{equation*}x\sim x
\end{equation*}が成り立つため、同値類の定義より、\begin{equation*}
x\in \left[ x\right]
\end{equation*}を得ます。したがって、\begin{equation*}
\left[ x\right] \not=\phi
\end{equation*}が必ず成立します。同値類は非空であるということです。
例（集団への所属関係）
ある学校の生徒からなる集合\(A\)が与えられたとき、任意の学生\(x,y\in A\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{は}y\text{と同じ学年}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は同値関係です。学生\(x\in A\)を任意に選んだとき、この学生\(x\)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ x\right] &=&\left\{ y\in A\ |\ R\left( x,y\right) \right\} \quad
\because \text{同値類の定義} \\
&=&\left\{ y\in A\ |\ x\text{は}y\text{と同じ学年}\right\} \quad \because R\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\left[ x\right] \)は学生\(x\)と同じ学年に属するすべての学生からなる集合です。例えば、学生\(x\)が1年生であれば、\(\left[ x\right] \)はすべての1年生からなる集合です。他についても同様です。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は同値関係です。学生\(x\in A\)を任意に選んだとき、この学生\(x\)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ x\right] &=&\left\{ y\in A\ |\ R\left( x,y\right) \right\} \quad
\because \text{同値類の定義} \\
&=&\left\{ y\in A\ |\ x\text{は}y\text{と同じ学年}\right\} \quad \because R\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\left[ x\right] \)は学生\(x\)と同じ学年に属するすべての学生からなる集合です。例えば、学生\(x\)が1年生であれば、\(\left[ x\right] \)はすべての1年生からなる集合です。他についても同様です。
例（実数の相等関係）
実数集合\(\mathbb{R} \)が与えられたとき、任意の実数\(x,y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x=y
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は同値関係です。実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(x\)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ x\right] &=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ R\left( x,y\right) \right\} \quad \because \text{同値類の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ x=y\right\} \quad \because R\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\left[ x\right] \)は\(x\)と等しいすべての実数からなる集合です。例えば、\begin{equation*}\left[ 0\right] =\left\{ 0,\frac{0}{1},\frac{0}{2},\cdots \right\} =\left\{
0\right\}
\end{equation*}となります。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は同値関係です。実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(x\)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ x\right] &=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ R\left( x,y\right) \right\} \quad \because \text{同値類の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ x=y\right\} \quad \because R\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\left[ x\right] \)は\(x\)と等しいすべての実数からなる集合です。例えば、\begin{equation*}\left[ 0\right] =\left\{ 0,\frac{0}{1},\frac{0}{2},\cdots \right\} =\left\{
0\right\}
\end{equation*}となります。
例（偶奇の一致判定）
整数集合\(\mathbb{Z} \)が与えられたとき、任意の整数\(x,y\in \mathbb{Z} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{と}y\text{の偶奇が一致する}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は同値関係です。整数\(x\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだとき、\(x\)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ x\right] &=&\left\{ y\in \mathbb{Z} \ |\ R\left( x,y\right) \right\} \quad \because \text{同値類の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{Z} \ |\ x\text{と}y\text{の偶奇が一致する}\right\} \quad \because R\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\left[ x\right] \)は\(x\)と偶奇が一致するすべての整数からなる集合です。例えば、\(2\)は偶数であるため、\(\left[ 2\right] \)は偶数をすべて集めてできる集合であり、\begin{equation*}\left[ 2\right] =\left\{ \cdots ,-4,-2,0,2,4,\cdots \right\}
\end{equation*}です。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は同値関係です。整数\(x\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだとき、\(x\)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ x\right] &=&\left\{ y\in \mathbb{Z} \ |\ R\left( x,y\right) \right\} \quad \because \text{同値類の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{Z} \ |\ x\text{と}y\text{の偶奇が一致する}\right\} \quad \because R\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\left[ x\right] \)は\(x\)と偶奇が一致するすべての整数からなる集合です。例えば、\(2\)は偶数であるため、\(\left[ 2\right] \)は偶数をすべて集めてできる集合であり、\begin{equation*}\left[ 2\right] =\left\{ \cdots ,-4,-2,0,2,4,\cdots \right\}
\end{equation*}です。
例（相似関係）
平面上のすべての三角形からなる集合\(A\)が与えられたとき、任意の三角形\(x,y\in A\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{と}y\text{は相似}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は同値関係です。三角形\(x\in A\)を任意に選んだとき、\(x\)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ x\right] &=&\left\{ y\in A\ |\ R\left( x,y\right) \right\} \quad
\because \text{同値類の定義} \\
&=&\left\{ y\in A\ |\ x\text{と}y\text{は相似}\right\} \quad \because R\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\left[ x\right] \)は\(x\)と相似なすべての三角形からなる集合です。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は同値関係です。三角形\(x\in A\)を任意に選んだとき、\(x\)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ x\right] &=&\left\{ y\in A\ |\ R\left( x,y\right) \right\} \quad
\because \text{同値類の定義} \\
&=&\left\{ y\in A\ |\ x\text{と}y\text{は相似}\right\} \quad \because R\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\left[ x\right] \)は\(x\)と相似なすべての三角形からなる集合です。
例（整数の合同関係）
整数集合\(\mathbb{Z} \)が与えられたとき、任意の整数\(x,y\in \mathbb{Z} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\equiv y\ \left( \mathrm{mod}\ 2\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。ただし、\(x\equiv y\ \left( \mathrm{mod}\ 2\right) \)は\(x-y\)が\(2\)の整数倍であること（\(x\)が\(2\)を法として\(y\)と合同である）ことを表します。\(R\)は同値関係です。整数\(x\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだとき、\(x\)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ x\right] &=&\left\{ y\in \mathbb{Z} \ |\ R\left( x,y\right) \right\} \quad \because \text{同値類の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{Z} \ |\ x\equiv y\ \left( \mathrm{mod}\ 2\right) \right\} \quad \because R\text{の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{Z} \ |\ \exists k\in \mathbb{Z} :x-y=2k\right\} \quad \because \equiv \text{の定義} \\
&=&\left\{ x-2k\in \mathbb{Z} \ |\ k\in \mathbb{Z} \right\}
\end{eqnarray*}となります。具体例を挙げると、整数\(1\in \mathbb{Z} \)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ 1\right] &=&\left\{ 1+2k\ |\ k\in \mathbb{Z} \right\} \\
&=&\left\{ \pm 1,\pm 3,\pm 5,\cdots \right\}
\end{eqnarray*}であり、整数\(2\in \mathbb{Z} \)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ 2\right] &=&\left\{ 2+2k\ |\ k\in \mathbb{Z} \right\} \\
&=&\left\{ 0,\pm 2,\pm 4,\cdots \right\}
\end{eqnarray*}です。他についても同様です。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。ただし、\(x\equiv y\ \left( \mathrm{mod}\ 2\right) \)は\(x-y\)が\(2\)の整数倍であること（\(x\)が\(2\)を法として\(y\)と合同である）ことを表します。\(R\)は同値関係です。整数\(x\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだとき、\(x\)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ x\right] &=&\left\{ y\in \mathbb{Z} \ |\ R\left( x,y\right) \right\} \quad \because \text{同値類の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{Z} \ |\ x\equiv y\ \left( \mathrm{mod}\ 2\right) \right\} \quad \because R\text{の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{Z} \ |\ \exists k\in \mathbb{Z} :x-y=2k\right\} \quad \because \equiv \text{の定義} \\
&=&\left\{ x-2k\in \mathbb{Z} \ |\ k\in \mathbb{Z} \right\}
\end{eqnarray*}となります。具体例を挙げると、整数\(1\in \mathbb{Z} \)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ 1\right] &=&\left\{ 1+2k\ |\ k\in \mathbb{Z} \right\} \\
&=&\left\{ \pm 1,\pm 3,\pm 5,\cdots \right\}
\end{eqnarray*}であり、整数\(2\in \mathbb{Z} \)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ 2\right] &=&\left\{ 2+2k\ |\ k\in \mathbb{Z} \right\} \\
&=&\left\{ 0,\pm 2,\pm 4,\cdots \right\}
\end{eqnarray*}です。他についても同様です。
例（有理数の相等関係）
分母が自然数であり分子が整数であるような商からなる集合\begin{equation*}\mathbb{Q} =\left\{ \frac{z}{n}\ |\ z\in \mathbb{Z} \wedge n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}について考えます。その上で、任意の商\(\frac{z_{1}}{n_{1}},\frac{z_{2}}{n_{2}}\in \mathbb{Q} \)に対して、\begin{equation*}R\left( \frac{z_{1}}{n_{1}},\frac{z_{2}}{n_{2}}\right) \Leftrightarrow
z_{1}n_{2}=z_{2}n_{1}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は同値関係です。商\(\frac{z}{n}\in \mathbb{Q} \)を任意に選んだとき、\(\frac{z}{n}\)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ \frac{z}{n}\right] &=&\left\{ \frac{z^{\prime }}{n^{\prime }}\in \mathbb{Q} \ |\ R\left( \frac{z}{n},\frac{z^{\prime }}{n^{\prime }}\right) \right\}
\quad \because \text{同値類の定義} \\
&=&\left\{ \frac{z^{\prime }}{n^{\prime }}\in \mathbb{Q} \ |\ zn^{\prime }=z^{\prime }n\right\} \quad \because R\text{の定義}
\end{eqnarray*}となりますが、これを有理数（rational number）と呼びます。例えば、商\(\frac{1}{2}\in \mathbb{Q} \)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ \frac{1}{2}\right] &=&\left\{ \frac{z}{n}\in \mathbb{Q} \ |\ 2z=n\right\} \\
&=&\left\{ \frac{n}{2n}\in \mathbb{Q} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \\
&=&\left\{ \frac{1}{2},\frac{2}{4},\frac{3}{6},\frac{4}{8},\cdots \right\}
\end{eqnarray*}となります。つまり、有理数\(\left[ \frac{1}{2}\right] \)とは約分したときに\(\frac{1}{2}\)になる商からなる集合です。また、商\(-\frac{4}{5}\in \mathbb{Q} \)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ -\frac{4}{5}\right] &=&\left\{ \frac{z}{n}\in \mathbb{Q} \ |\ -4n=5z\right\} \\
&=&\left\{ -\frac{4n}{5n}\in \mathbb{Q} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \\
&=&\left\{ -\frac{4}{5},-\frac{8}{10},-\frac{12}{15},-\frac{16}{20},\cdots
\right\}
\end{eqnarray*}となります。つまり、有理数\(\left[ -\frac{4}{5}\right] \)とは約分したときに\(-\frac{4}{5}\)になる商からなる集合です。有理数\(\left[ \frac{z}{n}\right] \)とは約分したときに\(\frac{z}{n}\)になる商からなる集合であり、\(\left[ \frac{z}{n}\right] \)に属するすべての商を区別せず、それらをすべて\(\frac{z}{n}\)と同一視するということです。
\end{equation*}について考えます。その上で、任意の商\(\frac{z_{1}}{n_{1}},\frac{z_{2}}{n_{2}}\in \mathbb{Q} \)に対して、\begin{equation*}R\left( \frac{z_{1}}{n_{1}},\frac{z_{2}}{n_{2}}\right) \Leftrightarrow
z_{1}n_{2}=z_{2}n_{1}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は同値関係です。商\(\frac{z}{n}\in \mathbb{Q} \)を任意に選んだとき、\(\frac{z}{n}\)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ \frac{z}{n}\right] &=&\left\{ \frac{z^{\prime }}{n^{\prime }}\in \mathbb{Q} \ |\ R\left( \frac{z}{n},\frac{z^{\prime }}{n^{\prime }}\right) \right\}
\quad \because \text{同値類の定義} \\
&=&\left\{ \frac{z^{\prime }}{n^{\prime }}\in \mathbb{Q} \ |\ zn^{\prime }=z^{\prime }n\right\} \quad \because R\text{の定義}
\end{eqnarray*}となりますが、これを有理数（rational number）と呼びます。例えば、商\(\frac{1}{2}\in \mathbb{Q} \)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ \frac{1}{2}\right] &=&\left\{ \frac{z}{n}\in \mathbb{Q} \ |\ 2z=n\right\} \\
&=&\left\{ \frac{n}{2n}\in \mathbb{Q} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \\
&=&\left\{ \frac{1}{2},\frac{2}{4},\frac{3}{6},\frac{4}{8},\cdots \right\}
\end{eqnarray*}となります。つまり、有理数\(\left[ \frac{1}{2}\right] \)とは約分したときに\(\frac{1}{2}\)になる商からなる集合です。また、商\(-\frac{4}{5}\in \mathbb{Q} \)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ -\frac{4}{5}\right] &=&\left\{ \frac{z}{n}\in \mathbb{Q} \ |\ -4n=5z\right\} \\
&=&\left\{ -\frac{4n}{5n}\in \mathbb{Q} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \\
&=&\left\{ -\frac{4}{5},-\frac{8}{10},-\frac{12}{15},-\frac{16}{20},\cdots
\right\}
\end{eqnarray*}となります。つまり、有理数\(\left[ -\frac{4}{5}\right] \)とは約分したときに\(-\frac{4}{5}\)になる商からなる集合です。有理数\(\left[ \frac{z}{n}\right] \)とは約分したときに\(\frac{z}{n}\)になる商からなる集合であり、\(\left[ \frac{z}{n}\right] \)に属するすべての商を区別せず、それらをすべて\(\frac{z}{n}\)と同一視するということです。
例（有向線分の相等関係）
平面上の点\(A\)を始点とし、点\(B\)を終点とする有向線分を\(\overrightarrow{AB}\)で表します。平面上のすべての有向線分からなる集合\(X\)が与えられたとき、それぞれの有向線分\(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\in X \)に対して、\begin{equation*}R\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right) \Leftrightarrow
\overrightarrow{AB}\text{を平行移動すると}\overrightarrow{CD}\text{に重なる}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は同値関係です。有向線分\(\overrightarrow{AB}\in X\)を任意に選ぶと、これを代表元とする同値類は、\begin{equation*}\left[ \overrightarrow{AB}\right] =\left\{ \overrightarrow{CD}\in X\ |\
\overrightarrow{AB}\text{を平行移動すると}\overrightarrow{CD}\text{に重なる}\right\}
\end{equation*}となりますが、これをベクトル（vector）と呼びます。有向線分は位置・向き・大きさという3つの情報からなる概念ですが、そこから位置情報を除いた概念がベクトルです。平行移動すると重なるような有向線分どうしを区別せず1つのベクトルとみなすということです。ベクトルは向きと大きさという2つの情報から構成される概念です。
\overrightarrow{AB}\text{を平行移動すると}\overrightarrow{CD}\text{に重なる}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は同値関係です。有向線分\(\overrightarrow{AB}\in X\)を任意に選ぶと、これを代表元とする同値類は、\begin{equation*}\left[ \overrightarrow{AB}\right] =\left\{ \overrightarrow{CD}\in X\ |\
\overrightarrow{AB}\text{を平行移動すると}\overrightarrow{CD}\text{に重なる}\right\}
\end{equation*}となりますが、これをベクトル（vector）と呼びます。有向線分は位置・向き・大きさという3つの情報からなる概念ですが、そこから位置情報を除いた概念がベクトルです。平行移動すると重なるような有向線分どうしを区別せず1つのベクトルとみなすということです。ベクトルは向きと大きさという2つの情報から構成される概念です。
例（同値類）
以下の集合\begin{equation*}
A=\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}上の二項関係\(R\)が、\begin{equation*}R=\left\{ \left( 1,1\right) ,\left( 2,2\right) ,\left( 3,3\right) ,\left(
4,4\right) \right\}
\end{equation*}と与えられているものとします。\(R\)は\(A\)上の同値関係です。\(1\in A\)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ 1\right] &=&\left\{ x\in A\ |\ \left( 1,x\right) \in R\right\} \quad
\because \text{同値類の定義} \\
&=&\left\{ 1\right\}
\end{eqnarray*}となります。同様に、\begin{eqnarray*}
\left[ 2\right] &=&\left\{ 2\right\} \\
\left[ 3\right] &=&\left\{ 3\right\} \\
\left[ 4\right] &=&\left\{ 4\right\}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
A=\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}上の二項関係\(R\)が、\begin{equation*}R=\left\{ \left( 1,1\right) ,\left( 2,2\right) ,\left( 3,3\right) ,\left(
4,4\right) \right\}
\end{equation*}と与えられているものとします。\(R\)は\(A\)上の同値関係です。\(1\in A\)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ 1\right] &=&\left\{ x\in A\ |\ \left( 1,x\right) \in R\right\} \quad
\because \text{同値類の定義} \\
&=&\left\{ 1\right\}
\end{eqnarray*}となります。同様に、\begin{eqnarray*}
\left[ 2\right] &=&\left\{ 2\right\} \\
\left[ 3\right] &=&\left\{ 3\right\} \\
\left[ 4\right] &=&\left\{ 4\right\}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
同値類の代表元は交換可能
集合\(A\)上の同値関係\(\sim \)が与えられたとき、適当な要素\(x\in A\)を選べば、\(x\)を代表元とする同値類\(\left[ x\right] \)を生成できます。さらに、\(\left[ x\right] \)の要素を任意に選んだ上で、その新たな要素を代表元とする同値類を構成すると、それは\(\left[ x\right] \)と一致することが保証されます。つまり、同値類は代表元を交換しても集合として区別されません。
命題（同値類の代表元は交換可能）
集合\(A\)上の同値関係\(\sim \)が与えられたとき、\begin{equation*}\forall x\in A,\ \forall y\in \left[ x\right] :\left[ y\right] =\left[ x\right]
\end{equation*}が成り立つ。
例（偶奇の一致判定）
整数集合\(\mathbb{Z} \)が与えられたとき、任意の整数\(x,y\in \mathbb{Z} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{と}y\text{の偶奇が一致する}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は同値関係です。先に示したように、整数\(2\in \mathbb{Z} \)を代表元とする同値類\(\left[ 2\right] \)は偶数の整数をすべて集めた集合\begin{equation*}\left[ 2\right] =\left\{ \cdots ,-4,-2,0,2,4,\cdots \right\}
\end{equation*}であるため、先の命題より、\begin{equation*}
\cdots =\left[ -4\right] =\left[ -2\right] =\left[ 0\right] =\left[ 2\right] =\left[ 4\right] =\cdots
\end{equation*}が成り立ちます。実際、例えば、\begin{eqnarray*}
\left[ -2\right] &=&\left\{ y\in \mathbb{Z} \ |\ R\left( x,y\right) \right\} \quad \because \text{同値類の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{Z} \ |\ -2\text{と}y\text{の偶奇が一致する}\right\} \quad \because R\text{の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{Z} \ |\ y\text{は偶数}\right\} \quad \because -2\text{は偶数} \\
&=&\left\{ \cdots ,-4,-2,0,2,4,\cdots \right\}
\end{eqnarray*}となり、これは\(\left[ 2\right] \)と一致します。他についても同様です。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は同値関係です。先に示したように、整数\(2\in \mathbb{Z} \)を代表元とする同値類\(\left[ 2\right] \)は偶数の整数をすべて集めた集合\begin{equation*}\left[ 2\right] =\left\{ \cdots ,-4,-2,0,2,4,\cdots \right\}
\end{equation*}であるため、先の命題より、\begin{equation*}
\cdots =\left[ -4\right] =\left[ -2\right] =\left[ 0\right] =\left[ 2\right] =\left[ 4\right] =\cdots
\end{equation*}が成り立ちます。実際、例えば、\begin{eqnarray*}
\left[ -2\right] &=&\left\{ y\in \mathbb{Z} \ |\ R\left( x,y\right) \right\} \quad \because \text{同値類の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{Z} \ |\ -2\text{と}y\text{の偶奇が一致する}\right\} \quad \because R\text{の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{Z} \ |\ y\text{は偶数}\right\} \quad \because -2\text{は偶数} \\
&=&\left\{ \cdots ,-4,-2,0,2,4,\cdots \right\}
\end{eqnarray*}となり、これは\(\left[ 2\right] \)と一致します。他についても同様です。
例（有理数の相等関係）
分母が自然数で分子が整数であるようなすべての商からなる集合\begin{equation*}\mathbb{Q} =\left\{ \frac{z}{n}\ |\ z\in \mathbb{Z} \wedge n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}について考えます。このとき、それぞれの商\(\frac{z_{1}}{n_{1}},\frac{z_{2}}{n_{2}}\in \mathbb{Q} \)に対して、\begin{equation*}R\left( \frac{z_{1}}{n_{1}},\frac{z_{2}}{n_{2}}\right) \Leftrightarrow
z_{1}n_{2}=z_{2}n_{1}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は同値関係です。先に示したように、商\(\frac{1}{2}\in \mathbb{Q} \)を代表元とする同値類は、\begin{equation*}\left[ \frac{1}{2}\right] =\left\{ \frac{1}{2},\frac{2}{4},\frac{3}{6},\frac{4}{8},\cdots \right\}
\end{equation*}であるため、先の命題より、\begin{equation*}
\left[ \frac{1}{2}\right] =\left[ \frac{2}{4}\right] =\left[ \frac{3}{6}\right] =\left[ \frac{4}{8}\right] =\cdots
\end{equation*}が成り立ちます。実際、例えば、\begin{eqnarray*}
\left[ \frac{2}{4}\right] &=&\left\{ \frac{z}{n}\in \mathbb{Q} \ |\ 4z=2n\right\} \\
&=&\left\{ \frac{n}{2n}\in \mathbb{Q} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \\
&=&\left\{ \frac{1}{2},\frac{2}{4},\frac{3}{6},\frac{4}{8},\cdots \right\}
\end{eqnarray*}となり、これは\(\left[ \frac{1}{2}\right] \)と一致します。他についても同様です。
\end{equation*}について考えます。このとき、それぞれの商\(\frac{z_{1}}{n_{1}},\frac{z_{2}}{n_{2}}\in \mathbb{Q} \)に対して、\begin{equation*}R\left( \frac{z_{1}}{n_{1}},\frac{z_{2}}{n_{2}}\right) \Leftrightarrow
z_{1}n_{2}=z_{2}n_{1}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は同値関係です。先に示したように、商\(\frac{1}{2}\in \mathbb{Q} \)を代表元とする同値類は、\begin{equation*}\left[ \frac{1}{2}\right] =\left\{ \frac{1}{2},\frac{2}{4},\frac{3}{6},\frac{4}{8},\cdots \right\}
\end{equation*}であるため、先の命題より、\begin{equation*}
\left[ \frac{1}{2}\right] =\left[ \frac{2}{4}\right] =\left[ \frac{3}{6}\right] =\left[ \frac{4}{8}\right] =\cdots
\end{equation*}が成り立ちます。実際、例えば、\begin{eqnarray*}
\left[ \frac{2}{4}\right] &=&\left\{ \frac{z}{n}\in \mathbb{Q} \ |\ 4z=2n\right\} \\
&=&\left\{ \frac{n}{2n}\in \mathbb{Q} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \\
&=&\left\{ \frac{1}{2},\frac{2}{4},\frac{3}{6},\frac{4}{8},\cdots \right\}
\end{eqnarray*}となり、これは\(\left[ \frac{1}{2}\right] \)と一致します。他についても同様です。
同値であることと等しい同値類であることは必要十分
集合\(A\)上の同値関係\(\sim \)が与えられているものとします。要素\(x,y\in A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left[ x\right] =\left[ y\right] \Leftrightarrow x\sim y
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、2つの同値類\(\left[ x\right] ,\left[ y\right] \)が等しいことと、それらの代表元\(x,y\)が同値であることは必要十分です。
命題（同値であることと等しい同値類であることは必要十分）
集合\(A\)上の同値関係\(\sim \)が与えられたとき、任意の\(x,y\in A\)に対して、\begin{equation*}\left[ x\right] =\left[ y\right] \Leftrightarrow x\sim y
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}が成り立つ。
同値関係\(R\)のもとでの同値類\(\left[ x\right] ,\left[ y\right] \)が等しい場合、先の命題より、それらの代表元である\(x\)と\(y\)が同値であることが保証されます。逆に、\(x\)と\(y\)が同値である場合、やはり先の命題より、それらを代表元とする同値類\(\left[ x\right] ,\left[ y\right] \)が等しいことが保証されます。したがって、「同値類として等しい」という事実と「同値である」という事実を必要に応じて言い換えながら議論を行うことができます。これは非常に便利な手法であり多用することになります。
例（集団への所属関係）
ある学校の生徒からなる集合\(A\)が与えられたとき、任意の学生\(x,y\in A\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{は}y\text{と同じ学年}
\end{equation*}を満たすものとして定義される\(R\)は同値関係です。学生\(x\in A\)を任意に選んだとき、この学生\(x\)を代表元とする同値類は、\begin{equation*}\left[ x\right] =\left\{ y\in A\ |\ x\text{は}y\text{と同じ学年}\right\}
\end{equation*}であり、これは学生\(x\)と同じ学年に属するすべての学生からなる集合です。2人の学生\(x,y\in A\)を任意に選んだとき、先の命題より、\begin{equation*}\left[ x\right] =\left[ y\right] \Leftrightarrow x\text{は}y\text{と同じ学年}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(x\)と同学年の学生からなる集合と\(y\)と同学年の学生からなる集合が等しいことと、\(x\)と\(y\)が同学年であることは必要十分です。
\end{equation*}を満たすものとして定義される\(R\)は同値関係です。学生\(x\in A\)を任意に選んだとき、この学生\(x\)を代表元とする同値類は、\begin{equation*}\left[ x\right] =\left\{ y\in A\ |\ x\text{は}y\text{と同じ学年}\right\}
\end{equation*}であり、これは学生\(x\)と同じ学年に属するすべての学生からなる集合です。2人の学生\(x,y\in A\)を任意に選んだとき、先の命題より、\begin{equation*}\left[ x\right] =\left[ y\right] \Leftrightarrow x\text{は}y\text{と同じ学年}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(x\)と同学年の学生からなる集合と\(y\)と同学年の学生からなる集合が等しいことと、\(x\)と\(y\)が同学年であることは必要十分です。
例（偶奇の一致判定）
整数集合\(\mathbb{Z} \)が与えられたとき、任意の整数\(x,y\in \mathbb{Z} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{と}y\text{の偶奇が一致する}
\end{equation*}を満たすものとして定義される\(R\)は同値関係です。整数\(x\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだとき、この整数を\(x\)を代表元とする同値類は、\begin{equation*}\left[ x\right] =\left\{ y\in \mathbb{Z} \ |\ x\text{と}y\text{の偶奇が一致する}\right\}
\end{equation*}であり、これは\(x\)と偶奇が一致するすべての整数からなる集合です。2つの整数\(x,y\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだとき、先の命題より、\begin{equation*}\left[ x\right] =\left[ y\right] \Leftrightarrow x\text{と}y\text{の偶奇が一致する}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(x\)と偶奇が一致する整数の集合と\(y\)と偶奇が一致する整数の集合が等しいことと、\(x\)と\(y\)の偶奇が一致することは必要十分です。
\end{equation*}を満たすものとして定義される\(R\)は同値関係です。整数\(x\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだとき、この整数を\(x\)を代表元とする同値類は、\begin{equation*}\left[ x\right] =\left\{ y\in \mathbb{Z} \ |\ x\text{と}y\text{の偶奇が一致する}\right\}
\end{equation*}であり、これは\(x\)と偶奇が一致するすべての整数からなる集合です。2つの整数\(x,y\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだとき、先の命題より、\begin{equation*}\left[ x\right] =\left[ y\right] \Leftrightarrow x\text{と}y\text{の偶奇が一致する}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(x\)と偶奇が一致する整数の集合と\(y\)と偶奇が一致する整数の集合が等しいことと、\(x\)と\(y\)の偶奇が一致することは必要十分です。
例（整数の合同関係）
整数集合\(\mathbb{Z} \)が与えられたとき、任意の整数\(x,y\in \mathbb{Z} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\equiv y\ \left( \mathrm{mod}\ 3\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義される\(R\)は同値関係です。ただし、\(x\equiv y\ \left( \mathrm{mod}\ n\right) \)は\(x-y\)が\(3\)の整数倍であること（\(x\)が\(3\)を法として\(y\)と合同である）ことを表します。整数\(x\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだとき、この整数\(x\)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ x\right] &=&\left\{ y\in \mathbb{Z} \ |\ x\equiv y\ \left( \mathrm{mod}\ 3\right) \right\} \\
&=&\left\{ x+3k\in \mathbb{Z} \ |\ k\in \mathbb{Z} \right\}
\end{eqnarray*}です。2つの数\(x,y\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだとき、先の命題より、\begin{equation*}\left[ x\right] =\left[ y\right] \Leftrightarrow x\equiv y\ \left( \mathrm{mod}\ 3\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}を満たすものとして定義される\(R\)は同値関係です。ただし、\(x\equiv y\ \left( \mathrm{mod}\ n\right) \)は\(x-y\)が\(3\)の整数倍であること（\(x\)が\(3\)を法として\(y\)と合同である）ことを表します。整数\(x\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだとき、この整数\(x\)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ x\right] &=&\left\{ y\in \mathbb{Z} \ |\ x\equiv y\ \left( \mathrm{mod}\ 3\right) \right\} \\
&=&\left\{ x+3k\in \mathbb{Z} \ |\ k\in \mathbb{Z} \right\}
\end{eqnarray*}です。2つの数\(x,y\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだとき、先の命題より、\begin{equation*}\left[ x\right] =\left[ y\right] \Leftrightarrow x\equiv y\ \left( \mathrm{mod}\ 3\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
例（有理数の相等関係）
分母が自然数で分子が整数であるようなすべての商からなる集合\begin{equation*}\mathbb{Q} =\left\{ \frac{z}{n}\ |\ z\in \mathbb{Z} \wedge n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}について考えます。このとき、それぞれの商\(\frac{z_{1}}{n_{1}},\frac{z_{2}}{n_{2}}\in \mathbb{Q} \)に対して、\begin{equation*}R\left( \frac{z_{1}}{n_{1}},\frac{z_{2}}{n_{2}}\right) \Leftrightarrow
z_{1}n_{2}=z_{2}n_{1}
\end{equation*}を満たすものとして定義される\(R\)は同値関係です。商\(\frac{z}{n}\in \mathbb{Q} \)を任意に選んだとき、\(\frac{z}{n}\)を代表元とする同値類は、\begin{equation*}\left[ \frac{z}{n}\right] =\left\{ \frac{z^{\prime }}{n^{\prime }}\in \mathbb{Q} \ |\ zn^{\prime }=z^{\prime }n\right\} \quad \because R\text{の定義}
\end{equation*}であり、これは約分すると\(\frac{z}{n}\)と一致するすべての商からなる集合です。これを有理数と呼びます。2つの商\(\frac{z_{1}}{n_{1}},\frac{z_{2}}{n_{2}}\in \mathbb{Q} \)を任意に選んだとき、先の命題より、\begin{equation*}\left[ \frac{z_{1}}{n_{1}}\right] =\left[ \frac{z_{2}}{n_{2}}\right] \Leftrightarrow z_{1}n_{2}=z_{2}n_{1}
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}について考えます。このとき、それぞれの商\(\frac{z_{1}}{n_{1}},\frac{z_{2}}{n_{2}}\in \mathbb{Q} \)に対して、\begin{equation*}R\left( \frac{z_{1}}{n_{1}},\frac{z_{2}}{n_{2}}\right) \Leftrightarrow
z_{1}n_{2}=z_{2}n_{1}
\end{equation*}を満たすものとして定義される\(R\)は同値関係です。商\(\frac{z}{n}\in \mathbb{Q} \)を任意に選んだとき、\(\frac{z}{n}\)を代表元とする同値類は、\begin{equation*}\left[ \frac{z}{n}\right] =\left\{ \frac{z^{\prime }}{n^{\prime }}\in \mathbb{Q} \ |\ zn^{\prime }=z^{\prime }n\right\} \quad \because R\text{の定義}
\end{equation*}であり、これは約分すると\(\frac{z}{n}\)と一致するすべての商からなる集合です。これを有理数と呼びます。2つの商\(\frac{z_{1}}{n_{1}},\frac{z_{2}}{n_{2}}\in \mathbb{Q} \)を任意に選んだとき、先の命題より、\begin{equation*}\left[ \frac{z_{1}}{n_{1}}\right] =\left[ \frac{z_{2}}{n_{2}}\right] \Leftrightarrow z_{1}n_{2}=z_{2}n_{1}
\end{equation*}が成り立ちます。
商集合
集合\(A\)上の同値関係\(\sim \)が与えられたとき、要素\(x\in A\)を任意に選べば、\(x\)を代表元とする同値類\(\left[ x\right] \)を生成できます。そこで、\(A\)の要素を代表元とする同値類からなる集合族を、\begin{equation*}A/\sim =\left\{ \left[ x\right] \ |\ x\in A\right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(A\)の\(\sim \)による商集合（quotient set）と呼びます。
任意の\(x\in A\)について\(\left[ x\right] \subset A\)であるため、商集合\(A/\sim \)は\(A\)の部分集合族です。つまり、\begin{equation*}A/\sim \subset 2^{A}
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(2^{A}\)は\(A\)のべき集合です。
例（集団への所属関係にもとづく商集合）
ある学校の生徒からなる集合\(A\)が与えられたとき、任意の学生\(x,y\in A\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{は}y\text{と同じ学年}
\end{equation*}を満たすものとして定義される\(R\)は同値関係です。この\(R\)のもとでは以下の6つの同値類\begin{eqnarray*}A_{1} &=&\{x\in A\ |\ x\text{は1年生}\} \\
A_{2} &=&\{x\in A\ |\ x\text{は2年生}\} \\
A_{3} &=&\{x\in A\ |\ x\text{は3年生}\} \\
A_{4} &=&\{x\in A\ |\ x\text{は4年生}\} \\
A_{5} &=&\{x\in A\ |\ x\text{は5年生}\} \\
A_{6} &=&\{x\in A\ |\ x\text{は6年生}\}
\end{eqnarray*}が存在するため、\(A\)の\(R\)による商集合は、\begin{equation*}A\backslash R=\{A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{5},A_{6}\}
\end{equation*}となります。
\end{equation*}を満たすものとして定義される\(R\)は同値関係です。この\(R\)のもとでは以下の6つの同値類\begin{eqnarray*}A_{1} &=&\{x\in A\ |\ x\text{は1年生}\} \\
A_{2} &=&\{x\in A\ |\ x\text{は2年生}\} \\
A_{3} &=&\{x\in A\ |\ x\text{は3年生}\} \\
A_{4} &=&\{x\in A\ |\ x\text{は4年生}\} \\
A_{5} &=&\{x\in A\ |\ x\text{は5年生}\} \\
A_{6} &=&\{x\in A\ |\ x\text{は6年生}\}
\end{eqnarray*}が存在するため、\(A\)の\(R\)による商集合は、\begin{equation*}A\backslash R=\{A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{5},A_{6}\}
\end{equation*}となります。
例（偶奇の違いにもとづく商集合）
整数集合\(\mathbb{Z} \)が与えられたとき、任意の整数\(x,y\in \mathbb{Z} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{と}y\text{の偶奇が一致する}
\end{equation*}を満たすものとして定義される\(R\)は同値関係です。この\(R\)のもとでは以下の2つの同値類\begin{eqnarray*}\left[ 0\right] &=&\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ x\text{は偶数}\right\} \\
\left[ 1\right] &=&\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ x\text{は奇数}\right\}
\end{eqnarray*}が存在するため、\(\mathbb{Z} \)の\(R\)による商集合は、\begin{equation*}\mathbb{Z} /R=\left\{ \left[ 0\right] ,\left[ 1\right] \right\} \end{equation*}となります。
\end{equation*}を満たすものとして定義される\(R\)は同値関係です。この\(R\)のもとでは以下の2つの同値類\begin{eqnarray*}\left[ 0\right] &=&\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ x\text{は偶数}\right\} \\
\left[ 1\right] &=&\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ x\text{は奇数}\right\}
\end{eqnarray*}が存在するため、\(\mathbb{Z} \)の\(R\)による商集合は、\begin{equation*}\mathbb{Z} /R=\left\{ \left[ 0\right] ,\left[ 1\right] \right\} \end{equation*}となります。
例（合同関係にもとづく商集合）
整数集合\(\mathbb{Z} \)が与えられたとき、任意の整数\(x,y\in \mathbb{Z} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\equiv y\ \left( \mathrm{mod}\ 3\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義される\(R\)は同値関係です。この\(R\)のもとでは以下の3つの同値類\begin{eqnarray*}\left[ 0\right] &=&\{x\in \mathbb{Z} \ |\ x\equiv 0\ (\mathrm{mod}\ 3)\} \\
\left[ 1\right] &=&\{x\in \mathbb{Z} \ |\ x\equiv 1\ (\mathrm{mod}\ 3)\} \\
\left[ 2\right] &=&\{x\in \mathbb{Z} \ |\ x\equiv 2\ (\mathrm{mod}\ 3)\}
\end{eqnarray*}が存在するため、\(\mathbb{Z} \)の\(R\)による商集合は、\begin{equation*}\mathbb{Z} /R=\left\{ \left[ 0\right] ,\left[ 1\right] ,\left[ 2\right] \right\} \end{equation*}となります。
\end{equation*}を満たすものとして定義される\(R\)は同値関係です。この\(R\)のもとでは以下の3つの同値類\begin{eqnarray*}\left[ 0\right] &=&\{x\in \mathbb{Z} \ |\ x\equiv 0\ (\mathrm{mod}\ 3)\} \\
\left[ 1\right] &=&\{x\in \mathbb{Z} \ |\ x\equiv 1\ (\mathrm{mod}\ 3)\} \\
\left[ 2\right] &=&\{x\in \mathbb{Z} \ |\ x\equiv 2\ (\mathrm{mod}\ 3)\}
\end{eqnarray*}が存在するため、\(\mathbb{Z} \)の\(R\)による商集合は、\begin{equation*}\mathbb{Z} /R=\left\{ \left[ 0\right] ,\left[ 1\right] ,\left[ 2\right] \right\} \end{equation*}となります。
商集合は分割（同値関係による集合の類別）
集合\(A\)の部分集合族\(\mathfrak{A}\)について、\(\mathfrak{A}\)の要素がいずれも空集合ではなく、\(\mathfrak{A}\)の和集合が\(A\)と一致し、なおかつ\(\mathfrak{A}\)の任意の2つの要素が互いに素であるならば、すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall X\in \mathfrak{A}:X\not=\phi \\
&&\left( b\right) \ \bigcup \mathfrak{A}=A \\
&&\left( c\right) \ \forall X,Y\in \mathfrak{A}:\left( X\not=Y\Rightarrow
X\cap Y=\phi \right)
\end{eqnarray*}がいずれも成り立つ場合には\(\mathfrak{A}\)を\(A\)の分割（partition）と呼びます。
例（集合の分割）
集合\(A\)が、\begin{equation*}A=\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}と与えられています。以下の集合族\begin{equation*}
\mathfrak{A}=\left\{ \left\{ 1,2\right\} ,\left\{ 3\right\} ,\left\{
4\right\} \right\}
\end{equation*}は\(A\)の分割です。なぜなら、\(\mathfrak{A}\)の任意の要素は\(A\)の部分集合であり、\(\mathfrak{A}\)の任意の要素は空集合ではなく、\(\mathfrak{A}\)の要素の和集合は\(A\)と一致し、なおかつ\(\mathfrak{A}\)の任意の2つの要素は互いに素だからです。また、以下の集合族\begin{eqnarray*}&&\left\{ \left\{ 1\right\} ,\left\{ 2,3\right\} ,\left\{ 4\right\} \right\}
\\
&&\left\{ \left\{ 1\right\} ,\left\{ 2\right\} ,\left\{ 3,4\right\} \right\}
\\
&&\left\{ \left\{ 1\right\} ,\left\{ 2\right\} ,\left\{ 3\right\} ,\left\{
4\right\} \right\} \\
&&\left\{ \left\{ 1,2,3,4\right\} \right\}
\end{eqnarray*}もまたいずれも\(A\)の分割です。
\end{equation*}と与えられています。以下の集合族\begin{equation*}
\mathfrak{A}=\left\{ \left\{ 1,2\right\} ,\left\{ 3\right\} ,\left\{
4\right\} \right\}
\end{equation*}は\(A\)の分割です。なぜなら、\(\mathfrak{A}\)の任意の要素は\(A\)の部分集合であり、\(\mathfrak{A}\)の任意の要素は空集合ではなく、\(\mathfrak{A}\)の要素の和集合は\(A\)と一致し、なおかつ\(\mathfrak{A}\)の任意の2つの要素は互いに素だからです。また、以下の集合族\begin{eqnarray*}&&\left\{ \left\{ 1\right\} ,\left\{ 2,3\right\} ,\left\{ 4\right\} \right\}
\\
&&\left\{ \left\{ 1\right\} ,\left\{ 2\right\} ,\left\{ 3,4\right\} \right\}
\\
&&\left\{ \left\{ 1\right\} ,\left\{ 2\right\} ,\left\{ 3\right\} ,\left\{
4\right\} \right\} \\
&&\left\{ \left\{ 1,2,3,4\right\} \right\}
\end{eqnarray*}もまたいずれも\(A\)の分割です。
集合\(A\)上の同値関係\(\sim \)が与えられたとき、\(A\)の\(\sim \)による商集合は、\begin{equation*}A/\sim =\left\{ \left[ x\right] \ |\ x\in A\right\}
\end{equation*}と定義されますが、任意の\(x\in A\)について\(\left[ x\right] \subset A\)であるため、商集合\(A/\sim \)は\(A\)の部分集合族です。しかも、これは\(A\)の分割です。
以上の事実を踏まえた上で、集合\(A\)上の同値関係\(\sim \)から\(A\)の分割である商集合\(A/\sim \)を生成することを、\(A\)の\(\sim \)による類別（classification）と呼びます。
命題（商集合は分割）
集合\(A\)上の同値関係\(\sim \)が与えられたとき、商集合\(A/\sim \)は\(A\)の分割である。
例（集団への所属関係による集団の類別）
ある学校の生徒からなる集合\(A\)が与えられたとき、任意の学生\(x,y\in A\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{は}y\text{と同じ学年}
\end{equation*}を満たすものとして定義される\(R\)は同値関係です。この\(R\)のもとでは以下の6つの同値類\begin{eqnarray*}A_{1} &=&\{x\in A\ |\ x\text{は1年生}\} \\
A_{2} &=&\{x\in A\ |\ x\text{は2年生}\} \\
A_{3} &=&\{x\in A\ |\ x\text{は3年生}\} \\
A_{4} &=&\{x\in A\ |\ x\text{は4年生}\} \\
A_{5} &=&\{x\in A\ |\ x\text{は5年生}\} \\
A_{6} &=&\{x\in A\ |\ x\text{は6年生}\}
\end{eqnarray*}が存在するため、\(A\)の\(R\)による商集合は、\begin{equation*}A/R=\{A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{5},A_{6}\}
\end{equation*}となります。\(A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{5},A_{6}\)はいずれも\(A\)の非空な部分集合です。また、その和集合は、\begin{eqnarray*}\bigcup A/R &=&A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4}\cup A_{5}\cup A_{6} \\
&=&A
\end{eqnarray*}を満たします。また、\(A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{5},A_{6}\)の中の任意の2つは互いに素です。したがって\(A/R\)は\(A\)の分割です。つまり、それぞれの学生は何らかの学年に属するとともに、異なる複数の学年に属することはありません。以上の事実は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}を満たすものとして定義される\(R\)は同値関係です。この\(R\)のもとでは以下の6つの同値類\begin{eqnarray*}A_{1} &=&\{x\in A\ |\ x\text{は1年生}\} \\
A_{2} &=&\{x\in A\ |\ x\text{は2年生}\} \\
A_{3} &=&\{x\in A\ |\ x\text{は3年生}\} \\
A_{4} &=&\{x\in A\ |\ x\text{は4年生}\} \\
A_{5} &=&\{x\in A\ |\ x\text{は5年生}\} \\
A_{6} &=&\{x\in A\ |\ x\text{は6年生}\}
\end{eqnarray*}が存在するため、\(A\)の\(R\)による商集合は、\begin{equation*}A/R=\{A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{5},A_{6}\}
\end{equation*}となります。\(A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{5},A_{6}\)はいずれも\(A\)の非空な部分集合です。また、その和集合は、\begin{eqnarray*}\bigcup A/R &=&A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4}\cup A_{5}\cup A_{6} \\
&=&A
\end{eqnarray*}を満たします。また、\(A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{5},A_{6}\)の中の任意の2つは互いに素です。したがって\(A/R\)は\(A\)の分割です。つまり、それぞれの学生は何らかの学年に属するとともに、異なる複数の学年に属することはありません。以上の事実は先の命題の主張と整合的です。
例（偶奇の違いによる整数集合の類別）
整数集合\(\mathbb{Z} \)が与えられたとき、任意の整数\(x,y\in \mathbb{Z} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{と}y\text{の偶奇が一致する}
\end{equation*}を満たすものとして定義される\(R\)は同値関係です。この\(R\)のもとでは以下の2つの同値類\begin{eqnarray*}\left[ 0\right] &=&\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ x\text{は偶数}\right\} \\
\left[ 1\right] &=&\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ x\text{は奇数}\right\}
\end{eqnarray*}が存在するため、\(\mathbb{Z} \)の\(R\)による商集合は、\begin{equation*}\mathbb{Z} /R=\left\{ \left[ 0\right] ,\left[ 1\right] \right\} \end{equation*}となります。\(\left[ 0\right] \)と\(\left[ 1\right] \)は\(\mathbb{Z} \)の非空な部分集合です。また、その和集合は、\begin{eqnarray*}\bigcup \mathbb{Z} /R &=&\left[ 0\right] \cup \left[ 1\right] \\
&=&\mathbb{Z} \end{eqnarray*}を満たします。さらに\(\left[ 0\right] \)と\(\left[ 1\right] \)は互いに素です。したがって\(\mathbb{Z} /R\)は\(\mathbb{Z} \)の分割です。つまり、それぞれの整数は\(\left[ 0\right] ,\left[ 1\right] \)のどちらか一方に必ず属するとともに、\(\left[ 0\right] ,\left[ 1\right] \)の両方に属することはありません。以上の事実は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}を満たすものとして定義される\(R\)は同値関係です。この\(R\)のもとでは以下の2つの同値類\begin{eqnarray*}\left[ 0\right] &=&\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ x\text{は偶数}\right\} \\
\left[ 1\right] &=&\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ x\text{は奇数}\right\}
\end{eqnarray*}が存在するため、\(\mathbb{Z} \)の\(R\)による商集合は、\begin{equation*}\mathbb{Z} /R=\left\{ \left[ 0\right] ,\left[ 1\right] \right\} \end{equation*}となります。\(\left[ 0\right] \)と\(\left[ 1\right] \)は\(\mathbb{Z} \)の非空な部分集合です。また、その和集合は、\begin{eqnarray*}\bigcup \mathbb{Z} /R &=&\left[ 0\right] \cup \left[ 1\right] \\
&=&\mathbb{Z} \end{eqnarray*}を満たします。さらに\(\left[ 0\right] \)と\(\left[ 1\right] \)は互いに素です。したがって\(\mathbb{Z} /R\)は\(\mathbb{Z} \)の分割です。つまり、それぞれの整数は\(\left[ 0\right] ,\left[ 1\right] \)のどちらか一方に必ず属するとともに、\(\left[ 0\right] ,\left[ 1\right] \)の両方に属することはありません。以上の事実は先の命題の主張と整合的です。
例（合同関係による整数集合の類別）
整数集合\(\mathbb{Z} \)が与えられたとき、任意の整数\(x,y\in \mathbb{Z} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\equiv y\ \left( \mathrm{mod}\ 3\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義される\(R\)は同値関係です。この\(R\)のもとでは以下の3つの同値類\begin{eqnarray*}\left[ 0\right] &=&\{x\in \mathbb{Z} \ |\ x\equiv 0\ (\mathrm{mod}\ 3)\} \\
\left[ 1\right] &=&\{x\in \mathbb{Z} \ |\ x\equiv 1\ (\mathrm{mod}\ 3)\} \\
\left[ 2\right] &=&\{x\in \mathbb{Z} \ |\ x\equiv 2\ (\mathrm{mod}\ 3)\}
\end{eqnarray*}が存在するため、\(\mathbb{Z} \)の\(R\)による商集合は、\begin{equation*}\mathbb{Z} /R=\left\{ \left[ 0\right] ,\left[ 1\right] ,\left[ 2\right] \right\} \end{equation*}となります。\(\left[ 0\right] \)と\(\left[ 1\right] \)と\(\left[ 2\right] \)は\(\mathbb{Z} \)の非空な部分集合です。また、その和集合は、\begin{eqnarray*}\bigcup \mathbb{Z} /R &=&\left[ 0\right] \cup \left[ 1\right] \cup \left[ 2\right] \\
&=&\mathbb{Z} \end{eqnarray*}を満たします。さらに\(\left[ 0\right] \)と\(\left[ 1\right] \)と\(\left[ 2\right] \)の中の任意の2つの集合は互いに素です。したがって\(\mathbb{Z} /R\)は\(\mathbb{Z} \)の分割です。つまり、それぞれの整数は\(\left[ 0\right] ,\left[ 1\right] ,\left[ 2\right] \)のいずれか1つに必ず属するとともに、\(\left[ 0\right] ,\left[ 1\right] ,\left[ 2\right] \)の中の複数の集合に属することはありません。以上の事実は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}を満たすものとして定義される\(R\)は同値関係です。この\(R\)のもとでは以下の3つの同値類\begin{eqnarray*}\left[ 0\right] &=&\{x\in \mathbb{Z} \ |\ x\equiv 0\ (\mathrm{mod}\ 3)\} \\
\left[ 1\right] &=&\{x\in \mathbb{Z} \ |\ x\equiv 1\ (\mathrm{mod}\ 3)\} \\
\left[ 2\right] &=&\{x\in \mathbb{Z} \ |\ x\equiv 2\ (\mathrm{mod}\ 3)\}
\end{eqnarray*}が存在するため、\(\mathbb{Z} \)の\(R\)による商集合は、\begin{equation*}\mathbb{Z} /R=\left\{ \left[ 0\right] ,\left[ 1\right] ,\left[ 2\right] \right\} \end{equation*}となります。\(\left[ 0\right] \)と\(\left[ 1\right] \)と\(\left[ 2\right] \)は\(\mathbb{Z} \)の非空な部分集合です。また、その和集合は、\begin{eqnarray*}\bigcup \mathbb{Z} /R &=&\left[ 0\right] \cup \left[ 1\right] \cup \left[ 2\right] \\
&=&\mathbb{Z} \end{eqnarray*}を満たします。さらに\(\left[ 0\right] \)と\(\left[ 1\right] \)と\(\left[ 2\right] \)の中の任意の2つの集合は互いに素です。したがって\(\mathbb{Z} /R\)は\(\mathbb{Z} \)の分割です。つまり、それぞれの整数は\(\left[ 0\right] ,\left[ 1\right] ,\left[ 2\right] \)のいずれか1つに必ず属するとともに、\(\left[ 0\right] ,\left[ 1\right] ,\left[ 2\right] \)の中の複数の集合に属することはありません。以上の事実は先の命題の主張と整合的です。
分割が生成する同値関係
集合\(A\)上の同値関係\(\sim \)が与えられれば商集合\(A/\sim \)を生成できますが、これは\(A\)の分割であることが明らかになりました。逆に、\(A\)の分割が与えられれば、そこから以下のようにして\(A\)上の同値関係\(\sim \)を生成することができます。
集合\(A\)の分割\(\mathfrak{A}\)が与えられた状況を想定します。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall X\in \mathfrak{A}:X\not=\phi \\
&&\left( b\right) \ \bigcup \mathfrak{A}=A \\
&&\left( c\right) \ \forall X,Y\in \mathfrak{A}:\left( X\not=Y\Rightarrow
X\cap Y=\phi \right)
\end{eqnarray*}を満たす\(A\)の部分集合族\(\mathfrak{A}\)について考えます。要素\(x,y\in A\)を任意に選んだとき、上の条件より、\(x\in X\)かつ\(y\in Y\)を満たす集合\(X,Y\in \mathfrak{A}\)が存在するため、以下の条件\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow X=Y
\end{equation*}を満たすものとして\(A\)上の二項関係\(R\)を定義できます。つまり、\(x\)が属する集合と\(y\)が属する集合が一致する場合、そしてその場合にのみ\(R\)のもとで\(x\)は\(y\)を関係を持つものとして\(R\)を定義するということです。このように定義される\(R\)は\(A \)上の同値関係になることが保証されます。このような\(R\)を分割\(A\)が生成する同値関係（equivalence relation induced by partition）と呼びます。
命題（分割が生成する同値関係）
集合\(A\)の分割\(\mathfrak{A}\)が与えられているものとする。\(x,y\in A\)を任意に選んだとき、\(x\in X\)かつ\(y\in Y\)を満たす集合\(X,Y\in \mathfrak{A}\)が存在する。以上を踏まえた上で、任意の\(x,y\in A\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow X=Y
\end{equation*}を満たすものとして定義される\(R\)は\(A\)上の同値関係である。
\end{equation*}を満たすものとして定義される\(R\)は\(A\)上の同値関係である。
例（分割が生成する同値関係）
整数集合\(\mathbb{Z} \)はすべての偶数からなる集合\(E\)とすべての奇数からなる集合\(O\)とに分割可能です。整数\(x,y\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだとき、\(x\in X\)かつ\(y\in Y\)を満たす集合\(X,Y\in \left\{ E,O\right\} \)が存在するため、以下の条件\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow X=Y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{と}y\text{の偶奇が一致する}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。先の命題より、\(R\)は分割\(\left\{E,O\right\} \)が生成する同値関係です。
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{と}y\text{の偶奇が一致する}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。先の命題より、\(R\)は分割\(\left\{E,O\right\} \)が生成する同値関係です。
集合\(A\)上の同値関係\(\sim \)が与えられれば\(A\)の分割である商集合\(A/\sim \)を生成することができ、逆に、\(A\)の分割が与えられれば\(A\)上の同値関係を生成できることが明らかになりました。以上の事実は、\(A\)上の同値関係と\(A\)の分割の間には1対1の対応が存在することを意味します。
演習問題
問題（同値類の特定）
以下の集合\begin{equation*}
A=\left\{ -1,1,2,3,4\right\}
\end{equation*}上の二項関係\(R\)が、\begin{eqnarray*}R &=&\{\left( -1,-1\right) ,\left( 1,1\right) ,\left( 2,2\right) ,\left(
3,3\right) ,\left( 4,4\right) ,\left( -1,1\right) ,\left( 1,-1\right) , \\
&&\left( -1,3\right) ,\left( 3,-1\right) ,\left( 1,3\right) ,\left(
3,1\right) ,\left( 2,4\right) ,\left( 4,2\right) \}
\end{eqnarray*}と定義されているものとします。\(R\)が\(A\)上の同値関係であることを示すとともに、\(A\)のそれぞれの要素を代表元とする同値類を明らかにしてください。
A=\left\{ -1,1,2,3,4\right\}
\end{equation*}上の二項関係\(R\)が、\begin{eqnarray*}R &=&\{\left( -1,-1\right) ,\left( 1,1\right) ,\left( 2,2\right) ,\left(
3,3\right) ,\left( 4,4\right) ,\left( -1,1\right) ,\left( 1,-1\right) , \\
&&\left( -1,3\right) ,\left( 3,-1\right) ,\left( 1,3\right) ,\left(
3,1\right) ,\left( 2,4\right) ,\left( 4,2\right) \}
\end{eqnarray*}と定義されているものとします。\(R\)が\(A\)上の同値関係であることを示すとともに、\(A\)のそれぞれの要素を代表元とする同値類を明らかにしてください。
問題（同値類から同値関係を特定する）
以下の集合\begin{equation*}
A=\left\{ a,b,c,d,e\right\}
\end{equation*}上の二項関係\(R\)が与えられているものとします。さらに、\begin{eqnarray*}\left( a,d\right) &\in &R \\
\left( b,c\right) &\in &R
\end{eqnarray*}が成り立つとともに、\(R\)のもとで3つの異なる同値類が存在するものとします。以上の条件を踏まえた上で、\(R\)の要素をすべて特定してください。
A=\left\{ a,b,c,d,e\right\}
\end{equation*}上の二項関係\(R\)が与えられているものとします。さらに、\begin{eqnarray*}\left( a,d\right) &\in &R \\
\left( b,c\right) &\in &R
\end{eqnarray*}が成り立つとともに、\(R\)のもとで3つの異なる同値類が存在するものとします。以上の条件を踏まえた上で、\(R\)の要素をすべて特定してください。
問題（同値関係と同値類）
整数集合\(\mathbb{Z} \)上の二項関係\(R\)が、任意の整数\(x,y\in \mathbb{Z} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow 3x-5y\text{は偶数}
\end{equation*}を満たすものとして定義されているものとします。\(R\)が同値関係であることを示すとともに、\(R\)のもとでの同値類をすべて特定してください。
\end{equation*}を満たすものとして定義されているものとします。\(R\)が同値関係であることを示すとともに、\(R\)のもとでの同値類をすべて特定してください。
問題（商集合）
整数集合\(\mathbb{Z} \)が与えられたとき、任意の整数\(x,y\in \mathbb{Z} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\equiv y\ (\mathrm{mod}\ 4)
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。商集合\(\mathbb{Z} /R\)を特定するとともに、それが\(\mathbb{Z} \)の分割であることを確認してください。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。商集合\(\mathbb{Z} /R\)を特定するとともに、それが\(\mathbb{Z} \)の分割であることを確認してください。
問題（分割が生成する同値関係）
以下の集合\begin{equation*}
A=\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}の分割をすべて列挙した上で、それぞれの分割から生成される同値関係を明らかにしてください。
A=\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}の分割をすべて列挙した上で、それぞれの分割から生成される同値関係を明らかにしてください。
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