同値関係
集合\(A\)上の二項関係\(R\)が与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}R\subset A\times A
\end{equation*}です。集合\(A\)上の二項関係\(R\)が反射律、対称律、そして推移律を満たす場合には、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( E_{1}\right) \ \forall x\in A:\left( x,x\right) \in R \\
&&\left( E_{2}\right) \ \forall x,y\in A:\left[ \left( x,y\right) \in
R\Rightarrow \left( y,x\right) \in R\right] \\
&&\left( E_{3}\right) \ \forall x,y,z\in X:\left[ \left( \left( x,y\right)
\in R\wedge \left( y,z\right) \in R\right) \Rightarrow \left( x,z\right) \in
R\right]
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( E_{1}\right) \ \forall x\in A:R\left( x,x\right) \\
&&\left( E_{2}\right) \ \forall x,y\in A:\left[ R\left( x,y\right)
\Rightarrow R\left( y,x\right) \right] \\
&&\left( E_{3}\right) \ \forall x,y,z\in X:\left[ \left( R\left( x,y\right)
\wedge R\left( y,z\right) \right) \Rightarrow R\left( x,z\right) \right]
\end{eqnarray*}がすべて成り立つ場合には、このような二項関係\(R\)を同値関係（equivalence relation）と呼びます。同値関係を規定する以上の3つの性質（反射律・対称律・推移律）を総称して同値律（equivalence law）と呼びます。また、要素\(x,y\in A\)を選んだとき、同値関係\(R\)のもとで\(x\)が\(y\)と関係を持つ場合には、すなわち\(R\left( x,y\right) \)が成り立つ場合には、\(x\)が\(y\)と同値（equivalent）であるといいます。
多くの場合、同値関係を表す記号として\(\sim \)を採用します。つまり、集合\(A\)上の同値関係\(R\)が与えられたとき、任意の\(x,y\in A\)について、\begin{equation*}x\sim y\Leftrightarrow R\left( x,y\right)
\end{equation*}を満たすものとして記号\(\sim \)の意味を定義するということです。言い換えると、\(x\)が\(y \)と同値であることを\(x\sim y\)で表記するということです。この表記を用いて同値律を改めて表現すると、\begin{eqnarray*}&&\left( E_{1}\right) \ \forall x\in A:x\sim x \\
&&\left( E_{2}\right) \ \forall x,y\in A:\left( x\sim y\Rightarrow y\sim
x\right) \\
&&\left( E_{3}\right) \ \forall x,y,z\in X:\left[ \left( x\sim y\wedge y\sim
z\right) \Rightarrow x\sim z\right]
\end{eqnarray*}となります。
反射律\(\left( E_{1}\right) \)より、\(x\)は\(x\)自身と同値であることが保証されます。対称律\(\left( E_{2}\right) \)より、\(x\)が\(y\)と同値である場合には\(y\)は\(x\)と同値であることが保証されます。推移律\(\left( E_{3}\right) \)より、\(x\)が\(y\)と同値であり、なおかつ\(y\)が\(z\)と同値である場合には、\(x\)が\(z\)と同値であることが保証されます。
同値関係の具体例
以下が同値関係の具体例です。例から明らかであるように、2つの対象が「一致する」ことや「共通する」ことを規定する二項関係は同値関係です。
例（集団への所属関係）
ある学校の生徒からなる集合\(A\)が与えられたとき、任意の生徒\(x,y\in A\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{は}y\text{と同じ学年}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は\(A\)上の同値関係です（演習問題）。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は\(A\)上の同値関係です（演習問題）。
例（実数の相等関係）
すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)が与えられたとき、任意の実数\(x,y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x=y
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は\(\mathbb{R} \)上の同値関係です（演習問題）。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は\(\mathbb{R} \)上の同値関係です（演習問題）。
例（偶奇の一致判定）
すべての整数からなる集合\(\mathbb{Z} \)が与えられたとき、任意の整数\(x,y\in \mathbb{Z} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{と}y\text{の偶奇が一致する}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は\(\mathbb{Z} \)上の同値関係です（演習問題）。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は\(\mathbb{Z} \)上の同値関係です（演習問題）。
例（相似関係）
平面上のすべての三角形からなる集合\(A\)が与えられたとき、任意の三角形\(x,y\in A\times A\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{と}y\text{は相似}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は\(A\)上の同値関係です（演習問題）。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は\(A\)上の同値関係です（演習問題）。
例（整数の合同関係）
すべての整数からなる集合\(\mathbb{Z} \)が与えられたとき、任意の整数\(x,y\in \mathbb{Z} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\equiv y\ \left( \mathrm{mod}\ n\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。ただし、\(x\equiv y\ \left( \mathrm{mod}\ n\right) \)は\(x-y\)が\(n\)の整数倍であること（\(x\)が\(n\)を法として\(y\)と合同である）ことを表します。\(R\)は\(\mathbb{Z} \)上の同値関係です（演習問題）。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。ただし、\(x\equiv y\ \left( \mathrm{mod}\ n\right) \)は\(x-y\)が\(n\)の整数倍であること（\(x\)が\(n\)を法として\(y\)と合同である）ことを表します。\(R\)は\(\mathbb{Z} \)上の同値関係です（演習問題）。
例（有理数の相等関係）
すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \)は、\begin{equation*}\mathbb{Q} =\left\{ \frac{z}{n}\ |\ z\in \mathbb{Z} \wedge n\in \mathbb{N} \right\}\end{equation*}と定義されます。このとき、任意の有理数\(\frac{z_{1}}{n_{1}},\frac{z_{2}}{n_{2}}\in \mathbb{Q} \)に対して、\begin{equation*}R\left( \frac{z_{1}}{n_{1}},\frac{z_{2}}{n_{2}}\right) \Leftrightarrow
z_{1}n_{2}=z_{2}n_{1}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は\(\mathbb{Q} \)上の同値関係です（演習問題）。
z_{1}n_{2}=z_{2}n_{1}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は\(\mathbb{Q} \)上の同値関係です（演習問題）。
例（有向線分の相等関係）
平面上の点\(A\)を始点とし、点\(B\)を終点とする有向線分を\(\overrightarrow{AB}\)で表します。平面上のすべての有向線分からなる集合\(X\)が与えられたとき、任意の有向線分\(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\in X\)に対して、\begin{equation*}R\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right) \Leftrightarrow
\overrightarrow{AB}\text{を平行移動すると}\overrightarrow{CD}\text{に重なる}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は\(A\)上の同値関係です（演習問題）。
\overrightarrow{AB}\text{を平行移動すると}\overrightarrow{CD}\text{に重なる}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は\(A\)上の同値関係です（演習問題）。
例（多項式関数の次数）
係数と変数がともに実数であるような多項式関数からなる集合を、\begin{equation*}
P=\left\{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ |\ f\text{は多項式関数}\right\}
\end{equation*}と表記します。任意の多項式関数\(f,g\in P\)に対して、\begin{equation*}R\left( f,g\right) \Leftrightarrow f\text{の次数と}g\text{の次数は一致する}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は\(P\)上の同値関係（演習問題）。
P=\left\{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ |\ f\text{は多項式関数}\right\}
\end{equation*}と表記します。任意の多項式関数\(f,g\in P\)に対して、\begin{equation*}R\left( f,g\right) \Leftrightarrow f\text{の次数と}g\text{の次数は一致する}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は\(P\)上の同値関係（演習問題）。
例（恒等関係）
集合\(A\)上の恒等関係\(\Delta_{A}\)は、任意の\(\left( x,y\right) \in A\times A \)について、\begin{equation*}\Delta _{A}\left( x,y\right) \Leftrightarrow x=y
\end{equation*}を満たすものとして定義されます。\(\Delta _{A}\)は同値関係です（演習問題）。
\end{equation*}を満たすものとして定義されます。\(\Delta _{A}\)は同値関係です（演習問題）。
例（全体関係）
関係\(R\)が集合\(A\)上の全体関係であるものとします。つまり、\begin{equation*}R=A\times A
\end{equation*}です。\(R\)は同値関係です（演習問題）。
\end{equation*}です。\(R\)は同値関係です（演習問題）。
同値関係ではない二項関係の具体例
逆に、集合\(A\)上の二項関係\(R\)が反射律、対称律、そして推移律の中の少なくとも1つを満たさない場合、\(R\)は同値関係ではありません。
以下は同値関係ではない二項関係の例です。
例（親子関係）
ヒトの集合\(A\)が与えられたとき、任意のヒト\(x,y\in A\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{は}y\text{の子供}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。ヒト\(x\in A\)を任意に選んだとき、\(x\)は\(x\)自身の子供ではないため\(R\)は反射律を満たしません。したがって\(R\)は\(A\)上の同値関係ではありません。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。ヒト\(x\in A\)を任意に選んだとき、\(x\)は\(x\)自身の子供ではないため\(R\)は反射律を満たしません。したがって\(R\)は\(A\)上の同値関係ではありません。
例（実数の大小関係）
すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)が与えられたとき、任意の実数\(x,y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\leq y
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は対称律を満たしません。実際、2つの実数\(1,2\in \mathbb{R} \)に注目したとき、\begin{equation*}1\leq 2\wedge \lnot \left( 2\leq 1\right)
\end{equation*}が成り立つからです。したがって\(R\)は\(\mathbb{R} \)上の同値関係ではありません。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は対称律を満たしません。実際、2つの実数\(1,2\in \mathbb{R} \)に注目したとき、\begin{equation*}1\leq 2\wedge \lnot \left( 2\leq 1\right)
\end{equation*}が成り立つからです。したがって\(R\)は\(\mathbb{R} \)上の同値関係ではありません。
例（実数の狭義大小関係）
すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)が与えられたとき、任意の実数\(x,y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x<y
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(x<x\)すなわち\(R\left( x,y\right) \)は成り立たないため\(R\)は反射律を満たしません。したがって\(R\)は\(\mathbb{R} \)上の同値関係ではありません。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(x<x\)すなわち\(R\left( x,y\right) \)は成り立たないため\(R\)は反射律を満たしません。したがって\(R\)は\(\mathbb{R} \)上の同値関係ではありません。
例（集合の包含関係）
自然数集合\(\mathbb{N} \)のべき集合\(2^{\mathbb{N} }\)が与えられたとき、任意の集合\(A,B\in 2^{\mathbb{N} }\)に対して、\begin{equation*}R\left( A,B\right) \Leftrightarrow A\subset B
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は対称律を満たしません。実際、2つの集合\(\left\{1\right\} ,\left\{ 1,2\right\} \in 2^{\mathbb{N} }\)に注目したとき、\begin{equation*}\left\{ 1\right\} \subset \left\{ 1,2\right\} \wedge \lnot \left( \left\{
1,2\right\} \subset \left\{ 1\right\} \right)
\end{equation*}が成り立つからです。したがって\(R\)は\(2^{\mathbb{N} }\)上の同値関係ではありません。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は対称律を満たしません。実際、2つの集合\(\left\{1\right\} ,\left\{ 1,2\right\} \in 2^{\mathbb{N} }\)に注目したとき、\begin{equation*}\left\{ 1\right\} \subset \left\{ 1,2\right\} \wedge \lnot \left( \left\{
1,2\right\} \subset \left\{ 1\right\} \right)
\end{equation*}が成り立つからです。したがって\(R\)は\(2^{\mathbb{N} }\)上の同値関係ではありません。
例（実数の非相等関係）
すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)が与えられたとき、任意の実数\(x,y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\not=y
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(x\not=x\)すなわち\(R\left( x,x\right) \)は成り立たないため\(R\)は反射律を満たしません。したがって\(R\)は\(\mathbb{R} \)上の同値関係ではありません。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(x\not=x\)すなわち\(R\left( x,x\right) \)は成り立たないため\(R\)は反射律を満たしません。したがって\(R\)は\(\mathbb{R} \)上の同値関係ではありません。
例（空関係）
関係\(R\)が集合\(A\)上の空関係であるものとします。つまり、\begin{equation*}R=\phi
\end{equation*}です。\(x\in A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( x,x\right) \not\in \phi
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( x,x\right) \not\in R
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は反射律を満たしません。したがって\(R\)は\(A\)上の同値関係ではありません。
\end{equation*}です。\(x\in A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( x,x\right) \not\in \phi
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( x,x\right) \not\in R
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は反射律を満たしません。したがって\(R\)は\(A\)上の同値関係ではありません。
同値関係であることを集合を用いて判定する方法
二項関係\(R\)が集合として与えられている場合、それが同値関係であることを以下の命題を用いて判定できます。
命題（同値関係であることを集合を用いて判定する方法）
集合\(A\)上の二項関係\(R\)について、\begin{eqnarray*}&&\left( E_{1}\right) \ \Delta _{A}\subset R \\
&&\left( E_{2}\right) \ R=R^{-1} \\
&&\left( E_{3}\right) \ R\circ R\subset R
\end{eqnarray*}がいずれも成り立つことは、\(R\)が\(A\)上の同値関係であるための必要十分条件である。ただし、\(\Delta _{A}\)は\(A\)上の恒等関係であり、\(R^{-1}\)は\(R\)の逆関係であり、\(R\circ R\)は\(R\)と\(R\)の合成関係である。
&&\left( E_{2}\right) \ R=R^{-1} \\
&&\left( E_{3}\right) \ R\circ R\subset R
\end{eqnarray*}がいずれも成り立つことは、\(R\)が\(A\)上の同値関係であるための必要十分条件である。ただし、\(\Delta _{A}\)は\(A\)上の恒等関係であり、\(R^{-1}\)は\(R\)の逆関係であり、\(R\circ R\)は\(R\)と\(R\)の合成関係である。
例（同値関係）
以下の集合\begin{equation*}
A=\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}
\end{equation*}上の二項関係\(R\)が、\begin{equation*}R=\left\{
\begin{array}{c}
\left( 1,1\right) ,\left( 2,2\right) ,\left( 3,3\right) ,\left( 4,4\right)
,\left( 5,5\right) ,\left( 6,6\right) , \\
\left( 2,3\right) ,\left( 3,2\right) ,\left( 4,5\right) ,\left( 5,4\right)
,\left( 4,6\right) ,\left( 6,4\right) ,\left( 5,6\right) ,\left( 6,5\right)
\end{array}\right\}
\end{equation*}として与えられているものとします。\(A\)上の恒等関係は、\begin{equation*}\Delta _{A}=\left\{ \left( 1,1\right) ,\left( 2,2\right) ,\left( 3,3\right)
,\left( 4,4\right) ,\left( 5,5\right) ,\left( 6,6\right) \right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\Delta _{A}\subset R
\end{equation*}が成り立ちます。したがって\(R\)は反射性を満たします。\(R\)の逆関係は、\begin{equation*}R^{-1}=\left\{
\begin{array}{c}
\left( 1,1\right) ,\left( 2,2\right) ,\left( 3,3\right) ,\left( 4,4\right)
,\left( 5,5\right) ,\left( 6,6\right) , \\
\left( 3,2\right) ,\left( 2,3\right) ,\left( 5,4\right) ,\left( 4,5\right)
,\left( 6,4\right) ,\left( 4,6\right) ,\left( 6,5\right) ,\left( 5,6\right)
\end{array}\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
R=R^{-1}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって\(R\)は対称律を満たします。\(R\)と\(R\)の合成関係は、\begin{equation*}R\circ R=\left\{
\begin{array}{c}
\left( 1,1\right) ,\left( 2,2\right) ,\left( 3,3\right) ,\left( 4,4\right)
,\left( 5,5\right) ,\left( 6,6\right) , \\
\left( 2,3\right) ,\left( 3,2\right) ,\left( 4,5\right) ,\left( 5,4\right)
,\left( 5,6\right) ,\left( 6,5\right)
\end{array}\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
R\circ R\subset R
\end{equation*}が成り立ちます。したがって\(R\)は推移性を満たします。以上より、\(R\)が\(A\)上の同値関係であることが明らかになりました。
A=\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}
\end{equation*}上の二項関係\(R\)が、\begin{equation*}R=\left\{
\begin{array}{c}
\left( 1,1\right) ,\left( 2,2\right) ,\left( 3,3\right) ,\left( 4,4\right)
,\left( 5,5\right) ,\left( 6,6\right) , \\
\left( 2,3\right) ,\left( 3,2\right) ,\left( 4,5\right) ,\left( 5,4\right)
,\left( 4,6\right) ,\left( 6,4\right) ,\left( 5,6\right) ,\left( 6,5\right)
\end{array}\right\}
\end{equation*}として与えられているものとします。\(A\)上の恒等関係は、\begin{equation*}\Delta _{A}=\left\{ \left( 1,1\right) ,\left( 2,2\right) ,\left( 3,3\right)
,\left( 4,4\right) ,\left( 5,5\right) ,\left( 6,6\right) \right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\Delta _{A}\subset R
\end{equation*}が成り立ちます。したがって\(R\)は反射性を満たします。\(R\)の逆関係は、\begin{equation*}R^{-1}=\left\{
\begin{array}{c}
\left( 1,1\right) ,\left( 2,2\right) ,\left( 3,3\right) ,\left( 4,4\right)
,\left( 5,5\right) ,\left( 6,6\right) , \\
\left( 3,2\right) ,\left( 2,3\right) ,\left( 5,4\right) ,\left( 4,5\right)
,\left( 6,4\right) ,\left( 4,6\right) ,\left( 6,5\right) ,\left( 5,6\right)
\end{array}\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
R=R^{-1}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって\(R\)は対称律を満たします。\(R\)と\(R\)の合成関係は、\begin{equation*}R\circ R=\left\{
\begin{array}{c}
\left( 1,1\right) ,\left( 2,2\right) ,\left( 3,3\right) ,\left( 4,4\right)
,\left( 5,5\right) ,\left( 6,6\right) , \\
\left( 2,3\right) ,\left( 3,2\right) ,\left( 4,5\right) ,\left( 5,4\right)
,\left( 5,6\right) ,\left( 6,5\right)
\end{array}\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
R\circ R\subset R
\end{equation*}が成り立ちます。したがって\(R\)は推移性を満たします。以上より、\(R\)が\(A\)上の同値関係であることが明らかになりました。
演習問題
問題（集団への所属関係）
ある学校の生徒からなる集合\(A\)が与えられたとき、それぞれの任意の学生\(x\in A\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{は}y\text{と同じ学年}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)が同値関係であることを示してください。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)が同値関係であることを示してください。
問題（実数の相等関係）
すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)が与えられたとき、任意の実数\(x,y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x=y
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)が同値関係であることを示してください。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)が同値関係であることを示してください。
問題（偶奇の一致判定）
すべての整数からなる集合\(\mathbb{Z} \)が与えられたとき、任意の整数\(x,y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{と}y\text{の偶奇が一致する}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)が同値関係であることを示してください。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)が同値関係であることを示してください。
問題（相似関係）
平面上のすべての三角形からなる集合\(A\)が与えられたとき、任意の三角形\(x,y\in A\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{と}y\text{は相似}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)が同値関係であることを示してください。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)が同値関係であることを示してください。
問題（整数の合同関係）
すべての整数からなる集合\(\mathbb{Z} \)が与えられたとき、任意の整数\(x,y\in \mathbb{Z} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\equiv y\ \left( \mathrm{mod}\ n\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。ただし、\(x\equiv y\ \left( \mathrm{mod}\ n\right) \)は\(x-y\)が\(n\)の整数倍であること（\(x\)が\(n\)を法として\(y\)と合同である）ことを表します。\(R\)が同値関係であることを示してください。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。ただし、\(x\equiv y\ \left( \mathrm{mod}\ n\right) \)は\(x-y\)が\(n\)の整数倍であること（\(x\)が\(n\)を法として\(y\)と合同である）ことを表します。\(R\)が同値関係であることを示してください。
問題（有理数の相等関係）
すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \)は、\begin{equation*}\mathbb{Q} =\left\{ \frac{z}{n}\ |\ z\in \mathbb{Z} \wedge n\in \mathbb{N} \right\}\end{equation*}と定義されます。このとき、任意の有理数\(\frac{z_{1}}{n_{1}},\frac{z_{2}}{n_{2}}\in \mathbb{Q} \)に対して、\begin{equation*}R\left( \frac{z_{1}}{n_{1}},\frac{z_{2}}{n_{2}}\right) \Leftrightarrow
z_{1}n_{2}=z_{2}n_{1}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)が同値関係であることを示してください。
z_{1}n_{2}=z_{2}n_{1}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)が同値関係であることを示してください。
問題（有向線分の相等関係）
平面上の点\(A\)を始点とし、点\(B\)を終点とする有向線分を\(\overrightarrow{AB}\)で表します。平面上のすべての有向線分からなる集合\(X\)が与えられたとき、任意の有向線分\(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\in X\)に対して、\begin{equation*}R\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right) \Leftrightarrow
\overrightarrow{AB}\text{を平行移動すると}\overrightarrow{CD}\text{に重なる}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)が同値関係であることを示してください。
\overrightarrow{AB}\text{を平行移動すると}\overrightarrow{CD}\text{に重なる}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)が同値関係であることを示してください。
問題（多項式関数の次数）
係数と変数がともに実数であるような多項式関数からなる集合を、\begin{equation*}
P=\left\{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ |\ f\text{は多項式関数}\right\}
\end{equation*}と表記します。任意の多項式関数\(f,g\in P\)に対して、\begin{equation*}R\left( f,g\right) \Leftrightarrow f\text{の次数と}g\text{の次数は一致する}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)が同値関係であることを示してください。
P=\left\{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ |\ f\text{は多項式関数}\right\}
\end{equation*}と表記します。任意の多項式関数\(f,g\in P\)に対して、\begin{equation*}R\left( f,g\right) \Leftrightarrow f\text{の次数と}g\text{の次数は一致する}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)が同値関係であることを示してください。
問題（恒等関係）
集合\(A\)上の恒等関係\(\Delta_{A}\)は、任意の\(x,y\in A\)に対して、\begin{equation*}\Delta _{A}\left( x,y\right) \Leftrightarrow x=y
\end{equation*}を満たすものとして定義されます。\(\Delta _{A}\)が同値関係であることを示してください。
\end{equation*}を満たすものとして定義されます。\(\Delta _{A}\)が同値関係であることを示してください。
問題（全体関係）
関係\(R\)が集合\(A\)上の全体関係であるものとします。つまり、\begin{equation*}R=A\times A
\end{equation*}です。\(R\)が同値関係であることを示してください。
\end{equation*}です。\(R\)が同値関係であることを示してください。
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