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同値関係

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同値関係

集合\(A\)上の二項関係\(R\)が反射律対称律推移律を満たす場合には、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( E_{1}\right) \ \forall x\in A:R\left( x,x\right) \\
&&\left( E_{2}\right) \ \forall x,y\in A:\left[ R\left( x,y\right)
\Rightarrow R\left( y,x\right) \right] \\
&&\left( E_{3}\right) \ \forall x,y,z\in X:\left[ \left( R\left( x,y\right)
\wedge R\left( y,z\right) \right) \Rightarrow R\left( x,z\right) \right] \end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( E_{1}\right) \ \forall x\in A:\left( x,x\right) \in R \\
&&\left( E_{2}\right) \ \forall x,y\in A:\left[ \left( x,y\right) \in
R\Rightarrow \left( y,x\right) \in R\right] \\
&&\left( E_{3}\right) \ \forall x,y,z\in X:\left[ \left( \left( x,y\right)
\in R\wedge \left( y,z\right) \in R\right) \Rightarrow \left( x,z\right) \in
R\right] \end{eqnarray*}が成り立つ場合には、このような\(R\)を同値関係(equivalence relation)と呼びます。同値関係を規定する以上の3つの性質(反射律・対称律・推移律)を総称して同値律(equivalence law)と呼びます。また、要素\(x,y\in A\)を選んだとき、同値関係\(R\)のもとで\(x\)が\(y\)と関係を持つ場合には、すなわち\(R\left( x,y\right) \)が成り立つ場合には、\(x\)と\(y\)は同値(equivalent)であるといいます。

多くの場合、同値関係を記号\(\sim \)で表記します。つまり、集合\(A\)上の同値関係\(R\)が与えられたとき、任意の\(\left( x,y\right) \in A\times A\)について、\begin{equation*}x\sim y\Leftrightarrow R\left( x,y\right) \Leftrightarrow \left( x,y\right)
\in R
\end{equation*}を満たすものとして記号\(\sim \)を定義するということです。この記号を用いて同値律を表現すると、\begin{eqnarray*}&&\left( E_{1}\right) \ \forall x\in A:x\sim x \\
&&\left( E_{2}\right) \ \forall x,y\in A:\left( x\sim y\Rightarrow y\sim
x\right) \\
&&\left( E_{3}\right) \ \forall x,y,z\in X:\left[ \left( x\sim y\wedge y\sim
z\right) \Rightarrow x\sim z\right] \end{eqnarray*}となります。

 

同値関係の具体例

以下が同値関係の具体例です。例から明らかであるように、2つの対象が「一致する」ことや「共通する」ことを規定する二項関係は同値関係です。

例(集団への所属関係)
ある学校の生徒からなる集合\(A\)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{は}y\text{と同じ学年}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は同値関係です(演習問題)。
例(実数の相等関係)
すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x=y
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は同値関係です(演習問題)。
例(偶奇の一致判定)
すべての整数からなる集合\(\mathbb{Z} \)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left(x,y\right) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{と}y\text{の偶奇が一致する}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は同値関係です(演習問題)。
例(相似関係)
平面上のすべての三角形からなる集合\(A\)が与えられたとき、それぞれの\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{と}y\text{は相似}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は同値関係です(演習問題)。
例(整数の合同関係)
すべての整数からなる集合\(\mathbb{Z} \)が与えられたとき、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\equiv y\ \left( \mathrm{mod}\ n\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。ただし、\(x\equiv y\ \left( \mathrm{mod}\ n\right) \)は\(x-y\)が\(n\)の整数倍であること(\(x\)が\(n\)を法として\(y\)と合同である)ことを表します。\(R\)は同値関係です(演習問題)。
例(有理数の相等関係)
すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \)は、\begin{equation*}\mathbb{Q} =\left\{ \frac{z}{n}\ |\ z\in \mathbb{Z} \wedge n\in \mathbb{N} \right\} \end{equation*}と定義されます。このとき、それぞれの順序対\(\left( \frac{z_{1}}{n_{1}},\frac{z_{2}}{n_{2}}\right) \in \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \)に対して、\begin{equation*}R\left( \frac{z_{1}}{n_{1}},\frac{z_{1}}{n_{2}}\right) \Leftrightarrow
z_{1}n_{2}=z_{2}n_{1}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は同値関係です(演習問題)。
例(有向線分の相等関係)
平面上の点\(A\)を始点とし、点\(B\)を終点とする有向線分を\(\overrightarrow{AB}\)で表します。平面上のすべての有向線分からなる集合\(X\)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right) \in X\times X\)に対して、\begin{equation*}\overrightarrow{AB}\ R\ \overrightarrow{CD}\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}\text{を平行移動すると}\overrightarrow{CD}\text{に重なる}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は同値関係です(演習問題)。
例(恒等関係)
集合\(A\)上の恒等関係\(\Delta_{A}\)は、任意の\(\left( x,y\right) \in A\times A\)について、\begin{equation*}\Delta _{A}\left( x,y\right) \Leftrightarrow x=y
\end{equation*}を満たすものとして定義されます。\(\Delta _{A}\)は同値関係です(演習問題)。
例(全体関係)
関係\(R\)が集合\(A\)上の全体関係であるものとします。つまり、\begin{equation*}R=A\times A
\end{equation*}です。\(R\)は同値関係です(演習問題)。

 

同値関係ではない二項関係の具体例

逆に、集合\(A\)上の二項関係\(R\)が反射律、対称律、そして推移律の中の少なくとも1つを満たさない場合、\(R\)は同値関係ではありません。

以下は同値関係ではない二項関係の例です。

例(親子関係)
ヒトの集合\(A\)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{は}y\text{の子供}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。ヒト\(x\in A\)を任意に選んだとき、\(x\)は\(x\)自身の子供ではないため\(R\)は反射律を満たしません。したがって\(R\)は同値関係ではありません。
例(実数の大小関係)
すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\leq y
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は対称律を満たしません。実際、順序対\(\left( 1,2\right)\in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}1\leq 2\wedge \lnot \left( 2\leq 1\right)
\end{equation*}が成り立つからです。したがって\(R\)は同値関係ではありません。
例(実数の狭義大小関係)
すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x<y
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(x<x\)すなわち\(R\left( x,y\right) \)は成り立たないため\(R\)は反射律を満たしません。したがって\(R\)は同値関係ではありません。
例(集合の包含関係)
すべての集合を要素として持つ集合族\(\mathfrak{A}\)が与えられたとき、それぞれの\(\left( A,B\right) \in \mathfrak{A}\times \mathfrak{A}\)について、\begin{equation*}R\left( A,B\right) \Leftrightarrow A\subset B
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は対称律を満たしません。実際、順序対\(\left( \left\{1\right\} ,\left\{ 1,2\right\} \right) \in \mathfrak{A}\times \mathfrak{A}\)について、\begin{equation*}\left\{ 1\right\} \subset \left\{ 1,2\right\} \wedge \lnot \left( \left\{
1,2\right\} \subset \left\{ 1\right\} \right)
\end{equation*}が成り立つからです。したがって\(R\)は同値関係ではありません。
例(実数の非相等関係)
すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\not=y
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(x\not=x\)すなわち\(R\left( x,x\right) \)は成り立たないため\(R\)は反射律を満たしません。
例(空関係)
関係\(R\)が集合\(A\)上の空関係であるものとします。つまり、\begin{equation*}R=\phi
\end{equation*}です。\(x\in A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( x,x\right) \not\in \phi
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( x,x\right) \not\in R
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は反射律を満たしません。したがって\(R\)は同値関係ではありません。

 

演習問題

問題(集団への所属関係)
ある学校の生徒からなる集合\(A\)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{は}y\text{と同じ学年}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)が同値関係であることを示してください。
証明

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問題(実数の相等関係)
すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x=y
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)が同値関係であることを示してください。
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問題(偶奇の一致判定)
すべての整数からなる集合\(\mathbb{Z} \)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left(x,y\right) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{と}y\text{の偶奇が一致する}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)が同値関係であることを示してください。
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問題(相似関係)
平面上のすべての三角形からなる集合\(A\)が与えられたとき、それぞれの\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{と}y\text{は相似}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)が同値関係であることを示してください。
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問題(整数の合同関係)
すべての整数からなる集合\(\mathbb{Z} \)が与えられたとき、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\equiv y\ \left( \mathrm{mod}\ n\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。ただし、\(x\equiv y\ \left( \mathrm{mod}\ n\right) \)は\(x-y\)が\(n\)の整数倍であること(\(x\)が\(n\)を法として\(y\)と合同である)ことを表します。\(R\)が同値関係であることを示してください。
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問題(有理数の相等関係)
すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \)は、\begin{equation*}\mathbb{Q} =\left\{ \frac{z}{n}\ |\ z\in \mathbb{Z} \wedge n\in \mathbb{N} \right\} \end{equation*}と定義されます。このとき、それぞれの順序対\(\left( \frac{z_{1}}{n_{1}},\frac{z_{2}}{n_{2}}\right) \in \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \)に対して、\begin{equation*}R\left( \frac{z_{1}}{n_{1}},\frac{z_{1}}{n_{2}}\right) \Leftrightarrow
z_{1}n_{2}=z_{2}n_{1}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)が同値関係であることを示してください。
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問題(有向線分の相等関係)
平面上の点\(A\)を始点とし、点\(B\)を終点とする有向線分を\(\overrightarrow{AB}\)で表します。平面上のすべての有向線分からなる集合\(X\)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right) \in X\times X\)に対して、\begin{equation*}\overrightarrow{AB}\ R\ \overrightarrow{CD}\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}\text{を平行移動すると}\overrightarrow{CD}\text{に重なる}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)が同値関係であることを示してください。
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問題(恒等関係)
集合\(A\)上の恒等関係\(\Delta_{A}\)は、任意の\(\left( x,y\right) \in A\times A\)について、\begin{equation*}\Delta _{A}\left( x,y\right) \Leftrightarrow x=y
\end{equation*}を満たすものとして定義されます。\(\Delta _{A}\)が同値関係であることを示してください。
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問題(全体関係)
関係\(R\)が集合\(A\)上の全体関係であるものとします。つまり、\begin{equation*}R=A\times A
\end{equation*}です。\(R\)が同値関係であることを示してください。
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