二項関係の逆関係
前節では、集合\(A\)から集合\(B\)への二項関係を、直積\(A\times B\)の部分集合\begin{equation*}R\subset A\times B
\end{equation*}として定義しました。二項関係\(R\)のもとで\(a\in A\)と\(b\in B\)が関係を持つことは、\begin{equation*}\left( a,b\right) \in R
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。
ここで、この関係を逆の立場から眺めることを考えます。例えば、「男性\(m\)は女性\(w\)の夫である」という関係を女性の側から見れば、「女性\(w\)は男性\(m\)の妻である」という関係になります。また、\(a<b\)という関係を\(b\)の側から見れば\(b>a\)という関係になります。このように、二項関係を構成する順序対\(\left( a,b\right) \)の成分を入れ替えて\(\left( b,a\right) \)とすることにより、もとの関係を逆向きに捉えた新たな関係を定義できます。このような関係を、もとの二項関係の逆関係と呼びます。本節では、逆関係を定義した上で、その具体例や定義域・値域との関係について考えます。
集合\(A\)から集合\(B\)への二項関係\begin{equation*}R\subset A\times B
\end{equation*}が与えられているものとします。このとき、集合\(B\)から集合\(A\)への二項関係\begin{equation*}R^{-1}\subset B\times A
\end{equation*}を、任意の\(b\in B\)および\(a\in A\)に対して、\begin{equation*}\left( b,a\right) \in R^{-1}\Leftrightarrow \left( a,b\right) \in R
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
R^{-1}\left( b,a\right) \Leftrightarrow R\left( a,b\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすものとして定義します。つまり、新たに定義した二項関係\(R^{-1}\)のもとで\(b\)が\(a \)と関係を持つことと、もとの二項関係\(R\)のもとで\(a\)が\(b\)と関係を持つことは必要十分です。以上のように定義される二項関係\(R^{-1}\)をもとの二項関係\(R\)の逆関係（inverse relation）と呼びます。
逆関係の定義より、\begin{eqnarray*}
R^{-1} &=&\left\{ \left( b,a\right) \in B\times A\ |\ R^{-1}\left(
b,a\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( b,a\right) \in B\times A\ |\ R\left( a,b\right) \right\}
\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。つまり、もとの二項関係\(R\)のもとで\(R\left( a,b\right) \)が成り立つような順序対\(\left( a,b\right) \)の成分を入れ替えることにより得られる順序対\(\left( b,a\right) \)をすべて集めれば逆関係\(R^{-1}\)が得られます。
W &=&\left\{ w_{1},w_{2},w_{3}\right\}
\end{eqnarray*}で与えられているものとします。加えて、\(m_{1}\)と\(w_{2}\)、\(m_{2}\)と\(w_{3}\)がそれぞれ夫婦であり、他の全員が独身であるものとします。\(M\)から\(W\)への関係\(R\)を、任意の\(m\in M\)および\(w\in W\)に対して、\begin{equation*}R\left( m,w\right) \Leftrightarrow m\text{は}w\text{の夫である}
\end{equation*}を満たすものとして定義します。つまり、\(R\)は婚姻関係に相当する二項関係です。このとき、\begin{equation*}R=\left\{ \left( m_{1},w_{2}\right) ,\left( m_{2},w_{3}\right) \right\}
\end{equation*}となります。\(R\)の要素である順序対\(\left( m,w\right) \)の成分を入れ替えた順序対\(\left( w,m\right) \)からなる集合が逆関係\(R^{-1}\)であるため、\begin{equation*}R^{-1}=\left\{ \left( w_{2},m_{1}\right) ,\left( w_{3},m_{2}\right) \right\}
\end{equation*}となります。実際、\(m\)が\(w\)の夫であることと、\(w\)が\(m\)の妻であることは必要十分であるため、\(R\)の逆関係\(R^{-1}\)は、任意の\(w\in W\)および\(m\in M\)について、\begin{equation*}R^{-1}\left( w,m\right) \Leftrightarrow w\text{は}m\text{の妻である}
\end{equation*}を満たすものとして定義されます。以上より、「男性が女性の夫である」の逆関係は「女性が男性の妻である」ことが明らかになりました。
A &=&\left\{ 1,3,5\right\} \\
B &=&\left\{ 2,4,6\right\}
\end{eqnarray*}が与えられている状況において、\(A\)から\(B\)への二項関係\(R\)を、任意の\(a\in A\)および\(b\in B\)に対して、\begin{equation*}R\left( a,b\right) \Leftrightarrow a<b
\end{equation*}を満たすものとして定義します。つまり、\(R\)は狭義大小関係に相当する二項関係です。このとき、\begin{equation*}R=\left\{ \left( 1,2\right) ,\left( 1,4\right) ,\left( 1,6\right) ,\left(
3,4\right) ,\left( 3,6\right) ,\left( 5,6\right) \right\}
\end{equation*}となります。\(R\)の要素である順序対\(\left( a,b\right) \)の成分を入れ替えた順序対\(\left( b,a\right) \)からなる集合が逆関係\(R^{-1}\)であるため、\begin{equation*}R^{-1}=\left\{ \left( 2,1\right) ,\left( 4,1\right) ,\left( 6,1\right)
,\left( 4,3\right) ,\left( 6,3\right) ,\left( 6,5\right) \right\}
\end{equation*}となります。実際、\(a<b\)と\(b>a\)は必要十分であるため、\(R\)の逆関係\(R^{-1}\)は、任意の\(b\in B\)および\(a\in A\)に対して、\begin{equation*}R^{-1}\left( b,a\right) \Leftrightarrow b>a
\end{equation*}を満たすものとして定義されます。以上より、狭義大小関係\(<\)の逆関係は\(>\)であることが明らかになりました。
自己関係も二項関係であるため、その逆関係が定義可能です。具体的には、集合\(A\)上の二項関係\begin{equation*}R\subset A\times A
\end{equation*}が与えられたとき、その逆関係\begin{equation*}
R^{-1}\subset A\times A
\end{equation*}とは、任意の\(x,y\in A\)について、\begin{equation*}\left( y,x\right) \in R^{-1}\Leftrightarrow \left( x,y\right) \in R
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
R^{-1}\left( y,x\right) \Leftrightarrow R\left( x,y\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすものとして定義されます。したがって、\begin{eqnarray*}
R^{-1} &=&\left\{ \left( y,x\right) \in A\times A\ |\ R^{-1}\left(
y,x\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( y,x\right) \in A\times A\ |\ R\left( x,y\right) \right\}
\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となります。つまり、集合\(A\)上の二項関係\(R\)のもとで\(R\left( x,y\right) \)が成り立つような順序対\(\left( x,y\right) \)の成分を入れ替えた順序対\(\left( y,x\right) \)からなる集合が\(R^{-1}\)です。
\end{equation*}を満たすものとして定義します。このとき、\begin{equation*}
R=\left\{ \left( x,y\right) \in A\times A\ |\ x\text{は}y\text{の親である}\right\}
\end{equation*}であるため、\(R\)の逆関係\(R^{-1}\)は、\begin{eqnarray*}R^{-1} &=&\left\{ \left( y,x\right) \in A\times A\ |\ R\left( x,y\right)
\right\} \quad \because \text{逆関係の定義} \\
&=&\left\{ \left( y,x\right) \in A\times A\ |\ x\text{は}y\text{の親である}\right\} \quad \because R\text{の定義} \\
&=&\left\{ \left( y,x\right) \in A\times A\ |\ y\text{は}x\text{の子である}\right\}
\end{eqnarray*}となります、つまり、\(R\)の逆関係\(R^{-1}\)は、任意の\(y\in A\)および\(x\in A\)に対して、\begin{equation*}R\left( y,x\right) \Leftrightarrow y\text{は}x\text{の子である}
\end{equation*}を満たすものとして定義されます。
\end{equation*}を満たすものとして定義します。つまり、\(R\)は包含関係に相当する二項関係です。このとき、\begin{equation*}R=\left\{ \left( A,B\right) \in 2^{X}\times 2^{X}\ |\ A\subset B\right\}
\end{equation*}であるため、\(R\)の逆関係\(R^{-1}\)は、\begin{eqnarray*}R^{-1} &=&\left\{ \left( B,A\right) \in 2^{X}\times 2^{X}\ |\ R\left(
A,B\right) \right\} \quad \because \text{逆関係の定義} \\
&=&\left\{ \left( B,A\right) \in 2^{X}\times 2^{X}\ |\ A\subset B\right\}
\quad \because R\text{の定義} \\
&=&\left\{ \left( B,A\right) \in 2^{X}\times 2^{X}\ |\ B\supset A\right\}
\quad \because A\subset B\Leftrightarrow B\supset A
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(R\)の逆関係\(R^{-1}\)は、任意の\(B\in 2^{X}\)および\(A\in 2^{X}\)に対して、\begin{equation*}R^{-1}\left( B,A\right) \Leftrightarrow B\supset A
\end{equation*}を満たすものとして定義されます。以上より、\(\subset \)の逆関係は\(\supset \)であることが明らかになりました。
\end{equation*}を満たすものとして定義されます。このとき、\begin{equation*}
\Delta _{A}=\left\{ \left( x,y\right) \in A\times A\ |\ x=y\right\}
\end{equation*}であるため、\(\Delta _{A}\)の逆関係\(\Delta _{A}^{-1}\)は、\begin{eqnarray*}\Delta _{A}^{-1} &=&\left\{ \left( y,x\right) \in A\times A\ |\ \Delta
_{A}\left( x,y\right) \right\} \quad \because \text{逆関係の定義} \\
&=&\left\{ \left( y,x\right) \in A\times A\ |\ x=y\right\} \quad \because
\Delta _{A}\text{の定義} \\
&=&\left\{ \left( y,x\right) \in A\times A\ |\ y=x\right\} \quad \because
x=y\Leftrightarrow y=x
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\Delta _{A}\)の逆関係\(\Delta _{A}^{-1}\)は、任意の\(y\in A\)および\(x\in A\)に対して、\begin{equation*}\Delta _{A}^{-1}\left( y,x\right) \Leftrightarrow y=x
\end{equation*}を満たすものとして定義されます。以上より、\(=\)の逆関係は\(=\)であることが明らかになりました。これは関係と逆関係が一致する例です。
\end{equation*}で与えられているものとします。これは直線\(y=2x+1\)のグラフに他なりません。逆関係は、\begin{equation*}R^{-1}=\left\{ \left( y,x\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=2x+1\right\}
\end{equation*}です。変数名の\(x,y\)に取り直せば、\begin{eqnarray*}R^{-1} &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x=2y+1\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=\frac{x-1}{2}\right\}
\end{eqnarray*}となりますが、これは直線\(y=\frac{x-1}{2}\)のグラフに他なりません。幾何学的には、\(R^{-1}\)のグラフは\(R\)のグラフを直線\(y=x\)に関して折り返したものです。
逆関係の定義域と値域
逆関係も二項関係であるため、その定義域や値域を定義できます。具体的には、集合\(A\)から集合\(B\)への二項関係\(R\)が与えられたとき、その逆関係\(R^{-1}\)は\(B\)から\(A\)への二項関係であるため、\(R^{-1}\)の定義域は\(R^{-1}\)のもとで終集合\(A\)の何らかの要素と関係を持つ始集合\(B\)の要素からなる集合\begin{equation*}D\left( R^{-1}\right) =\left\{ b\in B\ |\ \exists a\in A:\left( b,a\right)
\in R^{-1}\right\}
\end{equation*}と定義されます。また、\(R^{-1}\)の値域は\(R^{-1}\)のもとで始集合\(B\)の何らかの要素と関係を持つ終集合\(A\)の要素からなる集合\begin{equation*}R\left( R^{-1}\right) =\left\{ a\in A\ |\ \exists b\in B:\left( b,a\right)
\in R^{-1}\right\}
\end{equation*}と定義されます。
W &=&\left\{ w_{1},w_{2},w_{3}\right\}
\end{eqnarray*}で与えられているものとします。加えて、\(m_{1}\)と\(w_{2}\)、\(m_{2}\)と\(w_{3}\)がそれぞれ夫婦であり、他の全員が独身であるものとします。\(M\)から\(W\)への関係\(R\)を、任意の\(m\in M\)および\(w\in W\)に対して、\begin{equation*}R\left( m,w\right) \Leftrightarrow m\text{は}w\text{の夫である}
\end{equation*}を満たすものとして定義すると、\begin{equation*}
R=\left\{ \left( m_{1},w_{2}\right) ,\left( m_{2},w_{3}\right) \right\}
\end{equation*}となるため、\(R\)の定義域と値域は、\begin{eqnarray*}D\left( R\right) &=&\left\{ m_{1},m_{2}\right\} \\
R\left( R\right) &=&\left\{ w_{2},w_{3}\right\}
\end{eqnarray*}です。一方、\(R\)の逆関係は、\begin{equation*}R^{-1}=\left\{ \left( w_{2},m_{1}\right) ,\left( w_{3},m_{2}\right) \right\}
\end{equation*}であるため、\(R^{-1}\)の定義域と値域は、\begin{eqnarray*}D\left( R^{-1}\right) &=&\left\{ w_{2},w_{3}\right\} \\
R\left( R^{-1}\right) &=&\left\{ m_{1},m_{2}\right\}
\end{eqnarray*}です。したがって、以下の関係\begin{eqnarray*}
D\left( R\right) &=&R\left( R^{-1}\right) \\
R\left( R\right) &=&D\left( R^{-1}\right)
\end{eqnarray*}が成立しています。つまり、関係\(R\)の定義域と逆関係\(R^{-1}\)の値域が一致し、関係\(R\)の値域と逆関係\(R^{-1}\)の定義域が一致しています。
A &=&\left\{ 1,3,5\right\} \\
B &=&\left\{ 2,4,6\right\}
\end{eqnarray*}が与えられている状況において、\(A\)から\(B\)への二項関係\(R\)を、任意の\(a\in A\)および\(b\in B\)に対して、\begin{equation*}R\left( a,b\right) \Leftrightarrow a<b
\end{equation*}を満たすものとして定義すると、\begin{equation*}
R=\left\{ \left( 1,2\right) ,\left( 1,4\right) ,\left( 1,6\right) ,\left(
3,4\right) ,\left( 3,6\right) ,\left( 5,6\right) \right\}
\end{equation*}となるため、\(R\)の定義域と値域は、\begin{eqnarray*}D\left( R\right) &=&\left\{ 1,3,5\right\} \\
R\left( R\right) &=&\left\{ 2,4,6\right\}
\end{eqnarray*}です。一方、\(R\)の逆関係は、\begin{equation*}R^{-1}=\left\{ \left( 2,1\right) ,\left( 4,1\right) ,\left( 6,1\right)
,\left( 4,3\right) ,\left( 6,3\right) ,\left( 6,5\right) \right\}
\end{equation*}であるため、\(R^{-1}\)の定義域と値域は、\begin{eqnarray*}D\left( R^{-1}\right) &=&\left\{ 2,4,6\right\} \\
R\left( R^{-1}\right) &=&\left\{ 1,3,5\right\}
\end{eqnarray*}です。この例においても、\begin{eqnarray*}
D\left( R\right) &=&R\left( R^{-1}\right) \\
R\left( R\right) &=&D\left( R^{-1}\right)
\end{eqnarray*}が成立しています。
自己関係の逆関係もまた自己関係であり、自己関係は二項関係であるため、自己関係の逆関係についてもその定義域や値域が定義可能です。具体的には、集合\(A\)上の二項関係\(R\)が与えられたとき、その逆関係\(R^{-1}\)もまた\(A\)上の二項関係であり、その定義域とは\(R^{-1}\)のもとで終集合\(A\)の何らかの要素と関係を持つ始集合\(A\)の要素からなる集合\begin{equation*}D\left( R^{-1}\right) =\left\{ y\in A\ |\ \exists x\in A:\left( y,x\right)
\in R^{-1}\right\}
\end{equation*}として定義されます。また、\(R^{-1}\)の値域とは\(R^{-1}\)のもとで始集合\(A\)の何らかの要素と関係を持つ終集合\(A\)の要素からなる集合\begin{equation*}R\left( R^{-1}\right) =\left\{ x\in A\ |\ \exists y\in A:\left( y,x\right)
\in R^{-1}\right\}
\end{equation*}として定義されます。
\end{equation*}で与えられているとき、その定義域と値域は、\begin{eqnarray*}
D\left( R\right) &=&\left\{ 1,2\right\} \\
R\left( R\right) &=&\left\{ 2,3\right\}
\end{eqnarray*}です。\(R\)の逆関係は、\begin{equation*}R^{-1}=\left\{ \left( 2,1\right) ,\left( 3,1\right) ,\left( 3,2\right)
\right\}
\end{equation*}であり、その定義域と値域は、\begin{eqnarray*}
D\left( R^{-1}\right) &=&\left\{ 2,3\right\} \\
R\left( R^{-1}\right) &=&\left\{ 1,2\right\}
\end{eqnarray*}です。この例においても、\begin{eqnarray*}
D\left( R\right) &=&R\left( R^{-1}\right) \\
R\left( R\right) &=&D\left( R^{-1}\right)
\end{eqnarray*}が成立しています。
これまで扱ったいずれの例においても、二項関係\(R\)の定義域と逆関係\(R^{-1}\)の値域は一致し、\(R\)の値域と\(R^{-1}\)の定義域は一致していますが、こうした関係は一般的に成立します。
\left( B\right) \ R\left( R\right) &=&D\left( R^{-1}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。
逆関係は常に一意的に存在する
関係\(R\subset A\times B\)が与えられたとき、その逆関係は、\begin{equation*}R^{-1}=\left\{ \left( b,a\right) \in B\times A\ |\ \left( a,b\right) \in
R\right\}
\end{equation*}として定義されます。つまり、\(R\)に含まれるそれぞれの順序対\(\left( a,b\right) \)の成分を入れ替えた\(\left( b,a\right) \)を集めれば\(R^{-1}\)が得られます。どのような関係\(R\)に対しても、この操作は必ず実行できるため、任意の関係は逆関係を持ちます。しかも、逆関係は一意的に定まります。
a\right) \right\}
\end{equation*}と同一視されますが、\begin{equation*}
G\left( f\right) \subset A\times B
\end{equation*}であるため、これは\(A\)から\(B\)への二項関係です。したがって、\(f\)もまた\(A\)から\(B\)への二項関係です。一般に、写像に対して逆写像は存在するとは限りません。その一方で、先の命題より、\(f\)すなわち\(G\left( f\right) \)の逆関係\begin{eqnarray*}G\left( f\right) ^{-1} &=&\left\{ \left( b,a\right) \in B\times A\ |\ \left(
a,b\right) \in G\left( f\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( b,a\right) \in B\times A\ |\ b=f\left( a\right) \right\}
\end{eqnarray*}は一意的に存在します。ただし、この逆関係\(G\left( f\right) ^{-1}\)は写像であるとは限りません。これが写像であるためには、\begin{equation*}\forall b\in B,\ \exists !a\in A:\left( b,a\right) \in G_{f}^{-1}
\end{equation*}が成り立つ必要があります。逆関係の定義より、以上の条件は、\begin{equation*}
\forall b\in B,\ \exists !a\in A:b=f\left( a\right)
\end{equation*}と必要十分ですが、これは\(f\)が全単射であることを意味します。結論をまとめると、写像は二項関係であり、任意の写像には二項関係としての逆関係が必ず存在します。また、その逆関係が写像になるための必要十分条件は、もとの写像が全単射であることです。
逆関係の逆関係
関係\(R\subset A\times B\)の逆関係\(R^{-1}\subset B\times A\)は一意的に存在しますが、\(R^{-1}\)は\(B\)から\(A\)への関係であるため、さらにその逆関係\(\left( R^{-1}\right) ^{-1}\subset A\times B\)が一意的に存在します。ただし、これはもとの関係\(R\)と一致します。つまり、\begin{equation*}\left( R^{-1}\right) ^{-1}=R
\end{equation*}が成り立ちます。
集合\(A\)から集合\(B\)への二項関係\(R\)が任意に与えられたとき、\begin{equation*}\left( R^{-1}\right) ^{-1}=R
\end{equation*}が成り立つ。
演習問題
4,6\right) ,\left( 7,6\right) \right\}
\end{equation*}で与えられています。\(R\)の定義域と値域、逆関係\(R^{-1}\)およびその定義域と値域をそれぞれ求めてください。
B &=&\left\{ 1,3,5\right\}
\end{eqnarray*}で与えられているものとします。その上で、\(A\)から\(B\)への二項関係\(R\)を、任意の\(a\in A\)および\(b\in B\)に対して、\begin{equation*}\left( a,b\right) \in R\Leftrightarrow a<b
\end{equation*}を満たすものとして定義します。\(R\)およびその定義域と値域、逆関係\(R^{-1}\)およびその定義域と値域をそれぞれ求めてください。
\end{equation*}を満たすものとして定義されています。\(R\)およびその定義域と値域、逆関係\(R^{-1}\)およびその定義域と値域をそれぞれ求めてください。ただし、\begin{equation*}\mathbb{N} =\left\{ 1,2,3,\cdots \right\} \end{equation*}とします。
\end{equation*}が成り立つため、\(\phi \)は\(A\)から\(B\)への関係です。このとき、\begin{equation*}\phi ^{-1}=\phi
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}が成り立つため、\(A\times B\)は\(A\)から\(B\)への関係です。このとき、\begin{equation*}\left( A\times B\right) ^{-1}=B\times A
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}により定義します。\begin{equation*}
R^{-1}=R
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
