問題1（20点）
問題（整数の組に対する同値関係）
整数の順序対からなる集合\begin{equation*}
A=\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \end{equation*}上の二項関係\(\sim \)を、任意の\(\left( a,b\right) ,\left( c,d\right) \in A\)に対して、\begin{equation*}\left( a,b\right) \sim \left( c,d\right) \Leftrightarrow a-b=c-d
\end{equation*}を満たすものとして定義します。以下の問いに答えてください。
A=\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \end{equation*}上の二項関係\(\sim \)を、任意の\(\left( a,b\right) ,\left( c,d\right) \in A\)に対して、\begin{equation*}\left( a,b\right) \sim \left( c,d\right) \Leftrightarrow a-b=c-d
\end{equation*}を満たすものとして定義します。以下の問いに答えてください。
- \(\sim \)が\(A\)上の同値関係であることを証明してください（10点）。
- 任意の\(\left( a,b\right) \in A\)に対して、その同値類\(\left[\left( a,b\right) \right] \)を特定してください。その上で、\begin{equation*}\left[ \left( 3,1\right) \right] \end{equation*}を具体的に表してください（5点）。
- 商集合\(A/\sim \)の要素を、整数を用いて分類してください（5点）。
問題2（20点）
問題（ベキ集合の同値類）
以下の集合\begin{equation*}
S=\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}のベキ集合\(2^{S}\)上の二項関係\(\sim \)を、任意の集合\(A,B\in 2^{S}\)に対して、\begin{equation*}A\sim B\Leftrightarrow \left\vert A\right\vert =\left\vert B\right\vert
\end{equation*}を満たすものとして定義します。以下の問いに答えてください。
S=\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}のベキ集合\(2^{S}\)上の二項関係\(\sim \)を、任意の集合\(A,B\in 2^{S}\)に対して、\begin{equation*}A\sim B\Leftrightarrow \left\vert A\right\vert =\left\vert B\right\vert
\end{equation*}を満たすものとして定義します。以下の問いに答えてください。
- \(\sim \)が\(2^{S}\)上の同値関係であることを証明してください（6点）。
- \(\sim \)のもとでの同値類をすべて特定してください（8点）。
- 商集合\(2^{S}/\sim \)の要素数を求めるとともに、それぞれの同値類の要素数を求めてください（6点）。
問題3（20点）
問題（有理数倍による同値関係）
\(0\)ではない実数からなる集合を、\begin{equation*}A=\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\}
\end{equation*}で表記します。その上で、任意の\(x,y\in A\)に対して、\begin{equation*}x\sim y\Leftrightarrow \frac{x}{y}\in \mathbb{Q} \end{equation*}を満たすものとして\(A\)上の二項関係\(\sim \)を定義します。以下の問いに答えてください。
\end{equation*}で表記します。その上で、任意の\(x,y\in A\)に対して、\begin{equation*}x\sim y\Leftrightarrow \frac{x}{y}\in \mathbb{Q} \end{equation*}を満たすものとして\(A\)上の二項関係\(\sim \)を定義します。以下の問いに答えてください。
- \(\sim \)が\(A\)上の同値関係であることを証明してください（10点）。
- \(\left[ 1\right] \)と\(\left[ \sqrt{2}\right] \)を求めてください（5点）。
- \(\left[ 1\right] =\left[ \sqrt{2}\right] \)は成り立つか判定してください（5点）。
問題4（20点）
問題（分割から同値関係を復元する）
以下の集合\begin{equation*}
A=\left\{ a,b,c,d,e,f,g\right\}
\end{equation*}の分割が、\begin{equation*}
\mathfrak{A}=\left\{ \left\{ a,c,f\right\} ,\left\{ b,e\right\} ,\left\{
d,g\right\} \right\}
\end{equation*}と与えられているものとします。さらにこの分割から、「2つの要素が同じ分割要素に属する場合、そしてその場合にのみ関係を持つ」という方法で\(A\)上の同値関係\(R\)を定義します。以下の問いに答えてください。
A=\left\{ a,b,c,d,e,f,g\right\}
\end{equation*}の分割が、\begin{equation*}
\mathfrak{A}=\left\{ \left\{ a,c,f\right\} ,\left\{ b,e\right\} ,\left\{
d,g\right\} \right\}
\end{equation*}と与えられているものとします。さらにこの分割から、「2つの要素が同じ分割要素に属する場合、そしてその場合にのみ関係を持つ」という方法で\(A\)上の同値関係\(R\)を定義します。以下の問いに答えてください。
- \(R\)の要素をすべて書き出してください（8点）。
- \(\left\vert R\right\vert \)を求めてください（4点）。
- \(\left[ a\right] ,\left[ b\right] ,\left[ g\right] \)を求めてください（3点）。
- 商集合\(A/R\)を求めてください（5点）。
問題5（20点）
問題（2つの同値関係から新しい関係を作る）
集合\(A\)上の2つの同値関係\(R,S\)が与えられているものとします。以下の問いに答えてください。
- 共通関係\(R\cap S\)が\(A\)上の同値関係であることを証明してください（10点）。
- 和関係\(R\cup S\)は\(A\)上の同値関係でしょうか。正しい場合には証明し、正しくない場合には反例を提示してください（10点）。
