確認テスト II（関係）

下図に描かれたすべての円からなる集合を\(X\)で表記します。

任意の2つの円\(x,y\in X\)に対して、\begin{equation*}x\sim y\Leftrightarrow x\text{と}y\text{に含まれる円の個数が等しい}
\end{equation*}を満たすものとして\(X\)上の二項関係\(\sim \)を定義します。以下の問いに答えてください（各5点）。

1. \(\sim \)が\(X\)上の同値関係であることを証明してください。
2. \(\sim \)のもとでの同値類の個数を明らかにしてください。
3. それぞれの同値類に属する要素の個数を明らかにしてください。

以下の問いに答えてください（各10点）。

1. 任意の実数\(x,y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}x\sim y\Leftrightarrow x=y\vee xy=0
   \end{equation*}を満たすものとして\(\mathbb{R} \)上の二項関係\(\sim \)を定義します。\(\sim \)は同値関係でしょうか。同値関係である場合には証明を行い、同値関係ではない場合には反例を提示してください。
2. 任意の実数\(x,y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}x\sim y\Leftrightarrow x=y\vee xy=1
   \end{equation*}を満たすものとして\(\mathbb{R} \)上の二項関係\(\sim \)を定義します。\(\sim \)は同値関係でしょうか。同値関係である場合には証明を行い、同値関係ではない場合には反例を提示してください。
3. 任意の実数\(x,y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}x\sim y\Leftrightarrow x^{2}=y^{2}
   \end{equation*}を満たすものとして\(\mathbb{R} \)上の二項関係\(\sim \)を定義します。\(\sim \)は同値関係でしょうか。同値関係である場合には証明を行い、同値関係ではない場合には反例を提示してください。

集合\(A\)上の二項関係\(\sim \)が反射律と推移律を満たすものとします。さらに、\begin{equation*}\forall a\in A,\ \exists b\in A:a\sim b
\end{equation*}が成り立つものとします。以上の条件のもとでは\(\sim \)は\(A\)上の同値関係であることを証明してください。

以下の集合\begin{equation*}
A=\left\{ -2,-1,0,1,2,3\right\}
\end{equation*}が与えられているものとします。\(A\)上の二項関係であり、なおかつ、その二項関係のもとで大きさが\(2\)以上の同値類が\(2\)つ以上存在するようなものはいくつ存在するでしょうか。

以下の集合\begin{equation*}
R=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{Z} ^{2}\ |\ x^{2}-y\text{は}2\text{で割り切れる}\right\}
\end{equation*}が\(\mathbb{Z} \)上の同値関係であることを証明してください。ただし、\(\mathbb{Z} \)はすべての整数からなる集合です。