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二項関係の推移律

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推移律を満たす二項関係

集合\(A\)上の二項関係\(R\)が以下の条件\begin{equation*}\forall x,y,z\in A:\left[ \left( R\left( x,y\right) \wedge R\left(
y,z\right) \right) \Rightarrow R\left( x,z\right) \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x,y,z\in A:\left[ \left( \left( x,y\right) \in R\wedge \left(
y,z\right) \in R\right) \Rightarrow \left( x,z\right) \in R\right] \end{equation*}を満たす場合には、つまり、\(A\)の要素\(x,y,z\)を任意に選んだとき、\(R\)のもとで\(x\)が\(y\)と関係を持つとともに\(y\)が\(z\)と関係を持つ場合に、\(x\)と\(z\)が関係を持つことが保証されるならば\(R\)は推移律(transitive law)を満たすと言います。

以下は推移律を満たす二項関係の例です。

例(集団への所属関係)
ある学校の生徒からなる集合\(A\)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{は}y\text{と同じ学年}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。学生\(x,y,z\in A\)を任意に選んだとき、\(x\)と\(y\)が同じ学年であるとともに\(y\)と\(z\)が同じ学年である場合には\(x\)と\(z\)は同じ学年です。したがって\(R\)は推移律を満たします。
例(実数の相等関係)
すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x=y
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。実数\(x,y,z\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( x=y\wedge y=z\right) \Rightarrow x=z
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は推移律を満たします。
例(実数の大小関係)
すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\leq y
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。実数\(x,y,z\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( x\leq y\wedge y\leq z\right) \Rightarrow x\leq z
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は推移律を満たします。
例(実数の狭義大小関係)
すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x<y
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。実数\(x,y,z\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( x<y\wedge y<z\right) \Rightarrow x<z
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は推移律を満たします。
例(集合の包含関係)
すべての集合を要素として持つ集合族\(\mathfrak{A}\)が与えられたとき、それぞれの\(\left( A,B\right) \in \mathfrak{A}\times \mathfrak{A}\)について、\begin{equation*}R\left( A,B\right) \Leftrightarrow A\subset B
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。集合\(A,B,C\in \mathfrak{A}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( A\subset B\wedge B\subset C\right) \Rightarrow A\subset C
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は推移律を満たします。
例(三角形の相似関係)
平面上のすべての三角形からなる集合\(A\)が与えられたとき、それぞれの\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{と}y\text{は相似}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。三角形\(x,y,z\in A\)を任意に選んだとき、\(x\)と\(y\)が相似であるとともに\(y\)と\(z\)が相似である場合には\(x\)と\(z\)は相似です。したがって\(R\)は推移律を満たします。
例(恒等関係)
集合\(A\)上の恒等関係\(\Delta_{A}\)は推移律を満たします。実際、\(x,y,z\in A\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left( x,y\right) \in \Delta _{A}\wedge \left( y,z\right) \in \Delta _{A}
&\Leftrightarrow &x=y\wedge y=z\quad \because \text{恒等関係の定義} \\
&\Rightarrow &x=z \\
&\Leftrightarrow &\left( x,z\right) \in \Delta _{A}\quad \because \text{恒等関係の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つからです。

例(全体関係)
関係\(R\)が集合\(A\)上の全体関係であるものとします。つまり、\begin{equation*}R=A\times A
\end{equation*}です。\(x,y,z\in A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left[ \left( x,y\right) \in A\times A\wedge \left( y,z\right) \in A\times A\right] \Rightarrow \left( x,z\right) \in A\times A
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は推移律を満たします。
例(空関係)
関係\(R\)が集合\(A\)上の空関係であるものとします。つまり、\begin{equation*}R=\phi
\end{equation*}です。\(x,y,z\in A\)を任意に選んだとき、\(\left( x,y\right) \in \phi \)と\(\left( y,z\right) \in \phi \)はともに偽であるため、\begin{equation*}\left[ \left( x,y\right) \in \phi \wedge \left( y,z\right) \in \phi \right] \Rightarrow \left( x,z\right) \in \phi
\end{equation*}は真です。したがって\(R\)は推移律を満たします。
例(推移律を満たす二項関係)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)上に定義された二項関係\(R\)が、\begin{equation*}R=\left\{ \left( 1,2\right) ,\left( 1,3\right) ,\left( 2,2\right) ,\left(
2,3\right) ,\left( 3,3\right) \right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。\(i,j,k\in A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left[ \left( i,j\right) \in R\wedge \left( j,k\right) \in R\right] \Rightarrow \left( i,k\right) \in R
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は推移律を満たします。

 

推移律を満たさない二項関係

逆に、集合\(A\)上の二項関係\(R\)が推移律を満たさないこととは、\begin{equation*}\exists x,y,z\in A:\left[ R\left( x,y\right) \wedge R\left( y,z\right)
\wedge \lnot R\left( x,z\right) \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists x,y,z\in A:\left[ \left( x,y\right) \in R\wedge \left( y,z\right)
\in R\wedge \left( x,z\right) \not\in R\right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(A\)の要素\(x,y,z\)の中に、\(R\)のもとで\(x\)が\(y\)と関係を持つとともに\(y\)が\(z\)と関係を持つ一方で\(x\)と\(z\)が関係を持たないようなものが存在するということです。

以下は推移律を満たさない二項関係の例です。

例(親子関係)
ヒトの集合\(A\)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{は}y\text{の子供}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。ヒト\(x,y,z\in A\)を任意に選んだとき、\(x\)は\(y\)の子供であるとともに\(y\)が\(z\)の子供であるとき\(x\)は\(z\)の子供ではありません。したがって\(R\)は推移律を満たしません。
例(実数の非相等関係)
すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\not=y
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(1,2\in \mathbb{R} \)に注目したとき、\begin{equation*}1\not=2\wedge 2\not=1\wedge 1=1
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は推移性を満たしません。
例(推移律を満たさない二項関係)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)上に定義された二項関係\(R\)が、\begin{equation*}R=\left\{ \left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left( 2,3\right) ,\left(
3,3\right) ,\left( 3,1\right) \right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、\(1,2,3\in A\)について、\begin{equation*}\left( 1,2\right) \in R\wedge \left( 2,3\right) \in R\wedge \left(
1,3\right) \not\in R
\end{equation*}が成り立つため、\(R\)は推移律を満たしません。

 

推移律と合成関係の関係

集合\(A\)上の二項関係\(R,S\)の合成関係\(S\circ R\)とは、それぞれの\(x,y\in A\)に対して、\begin{equation*}\left( S\circ R\right) \left( x,y\right) \Leftrightarrow \exists z\in A:
\left[ R\left( x,z\right) \wedge S\left( z,y\right) \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( x,y\right) \in S\circ R\Leftrightarrow \exists z\in A:\left[ \left(
x,z\right) \in R\wedge \left( z,y\right) \in S\right] \end{equation*}を満たすものとして定義される\(A\)上の二項関係です。つまり、集合\(A\)の2つの要素\(x,y\)が任意に与えられたとき、\(R\)のもとで\(x\)と\(z\)が関係を持つとともに\(S\)のもとで\(z\)と\(y\)が関係を持つような\(A\)の要素\(z\)が存在するとき、そしてその場合にのみ\(S\circ R\)のもとで\(x\)と\(y\)が関係を持ちます。集合\(A\)上の二項関係\(R\)が推移律を満たすことは合成関係を用いて以下のように表現できます。

命題(推移律と合成関係の関係)
集合\(A\)上の二項関係\(R\)について、\begin{equation*}R\circ R\subset R
\end{equation*}が成り立つことは、\(R\)が推移律を満たすための必要十分条件である。ただし\(R\circ R\)は\(R\)と\(R\)の合成関係である。
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つまり、集合\(A\)上の二項関係\(R\)が推移律を満たすことと、それが合成関係\(R\circ R\)を部分集合として持つことは必要十分であるということです。

 

推移律と関係の演算

推移律を満たす二項関係どうしの共通関係もまた推移律を満たすことが保証されます。

命題(推移律と共通関係)
集合\(A\)上の二項関係\(R,S\)がともに推移律を満たす場合、共通関係\(R\cap S\)もまた推移律を満たす。
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推移律を満たす二項関係の補関係は推移律を満たすとは限りません。以下の例より明らかです。

例(推移律と補関係)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)上に定義された二項関係\(R\)が、\begin{equation*}R=\left\{ \left( 1,2\right) \right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。\(i,j,k\in A\)を任意に選んだとき、\(\left(i,j\right) \in R\)かつ\(\left( j,k\right) \in R\)は成り立たないため、\begin{equation*}\left[ \left( i,j\right) \in R\wedge \left( j,k\right) \in R\right] \Rightarrow \left( i,k\right) \in R
\end{equation*}は真であり、したがって\(R\)は推移性を満たします。\(R\)の補関係は、\begin{equation*}R^{c}=\left\{ \left( 1,1\right) ,\left( 1,3\right) ,\left( 2,1\right)
,\left( 2,2\right) ,\left( 2,3\right) ,\left( 3,1\right) ,\left( 3,2\right)
,\left( 3,3\right) \right\}
\end{equation*}ですが、\(1,2,3\in A\)について、\begin{equation*}\left( 1,3\right) \in R^{c}\wedge \left( 3,2\right) \in R^{c}\wedge \left(
1,2\right) \not\in R^{c}
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は推移律を満たしません。

推移律を満たす二項関係どうしの和関係は推移律を満たすとは限りません。以下の例より明らかです。

例(推移律と和関係)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)上に定義された二項関係\(R,S\)が、\begin{eqnarray*}R &=&\left\{ \left( 1,2\right) \right\} \\
S &=&\left\{ \left( 2,3\right) \right\}
\end{eqnarray*}で与えられているものとします。\(R\)と\(S\)はともに推移律を満たします。\(R\)と\(S\)の和関係は、\begin{equation*}R\cup S=\left\{ \left( 1,2\right) ,\left( 2,3\right) \right\}
\end{equation*}ですが、\(1,2,3\in A\)について、\begin{equation*}\left( 1,2\right) \in R\cup S\wedge \left( 2,3\right) \in R\cup S\wedge
\left( 1,3\right) \not\in R\cup S
\end{equation*}が成り立つため\(R\cup S\)は推移律を満たしません。

 

演習問題

問題(整数の合同関係)
すべての整数からなる集合\(\mathbb{Z} \)が与えられたとき、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\equiv y\ \left( \mathrm{mod}\ 2\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。ただし、\(x\equiv y\ \left( \mathrm{mod}\ 2\right) \)は\(x-y\)が\(2\)の整数倍であること(\(x\)が\(2\)を法として\(y\)と合同である)ことを表します。\(R\)は推移律を満たすでしょうか。議論してください。
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問題(有理数の相等関係)
すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \)は、\begin{equation*}\mathbb{Q} =\left\{ \frac{z}{n}\ |\ z\in \mathbb{Z} \wedge n\in \mathbb{N} \right\} \end{equation*}と定義されます。このとき、それぞれの順序対\(\left( \frac{z_{1}}{n_{1}},\frac{z_{2}}{n_{2}}\right) \in \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \)に対して、\begin{equation*}R\left( \frac{z_{1}}{n_{1}},\frac{z_{1}}{n_{2}}\right) \Leftrightarrow
z_{1}n_{2}=z_{2}n_{1}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は推移律を満たすでしょうか。議論してください。
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問題(有向線分の相等関係)
平面上の点\(A\)を始点とし、点\(B\)を終点とする有向線分を\(\overrightarrow{AB}\)で表します。平面上のすべての有向線分からなる集合\(X\)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right) \in X\times X\)に対して、\begin{equation*}\overrightarrow{AB}\ R\ \overrightarrow{CD}\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}\text{を平行移動すると}\overrightarrow{CD}\text{に重なる}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は推移律を満たすでしょうか。議論してください。
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