結合律
前節では、交換律によって、共通部分や和集合をとる際には集合の順序を自由に入れ替えられることを学びました。しかし、3 個以上の集合について考える場合には、「どの2つの集合から先に共通部分や和集合をとるか」という新たな問題が生じます。例えば、以下の2つの集合\begin{eqnarray*}
&&\left( A\cap B\right) \cap C \\
&&A\cap \left( B\cap C\right)
\end{eqnarray*}は、一見すると異なる集合のように見えます。本節では、実際にはこれらが常に一致することを示します。この性質を結合律（associative law）と呼びます。結合律により、共通部分や和集合を作用させる順番を意識する必要がなくなり、複数の集合を扱う際の表記や計算を大幅に簡単にできます。
集合\(A,B,C\)を任意に選んだとき、共通部分\(\cap \)と和集合\(\cup \)に関して以下の相等関係\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \left( A\cap B\right) \cap C &=&A\cap \left( B\cap C\right)
\\
\left( b\right) \ \left( A\cup B\right) \cup C &=&A\cup \left( B\cup C\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上の性質を結合律（associative law）と呼びます。
集合\(A,B,C\)が与えられたとき、隣り合う\(A,B\)に対して共通部分\(\cap \)を作用させれば\(A\cap B\)を得ます。これは集合であるため、これと残された\(C\)に対して再び共通部分\(\cap \)を作用させれば\((A\cap B)\cap C\)という集合を得ます。一方、最初に\(B,C\)に対して\(\cap \)を作用させれば最終的に\(A\cap (B\cap C)\)という集合を得ます。この2つの集合が一致するというのが\(\left( a\right) \)の主張です。また、和集合\(\cup \)に関する同様の主張が\(\left(b\right) \)です。
\\
\left( b\right) \ \left( A\cup B\right) \cup C &=&A\cup \left( B\cup C\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。
集合\(A,B,C\)が与えられたとき、\(\cap \)の結合律より、\begin{equation*}\left( A\cap B\right) \cap C=A\cap \left( B\cap C\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。つまり、\((A\cap B)\cap C\)と\(A\cap (B\cap C)\)は集合として一致するため両者を区別することなく、これらをまとめて、\begin{equation*}A\cap B\cap C
\end{equation*}と表記できるものと定めます。同様に、\(\cup \)の結合律より、\begin{equation*}\left( A\cup B\right) \cup C=A\cup \left( B\cup C\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(\left(A\cup B\right) \cup C\)と\(A\cup \left( B\cup C\right) \)を区別する必要はなく、これらをまとめて、\begin{equation*}A\cup B\cup C
\end{equation*}と表記できるものと定めます。
B &=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
C &=&\left\{ 3,4,5\right\}
\end{eqnarray*}と定義されているとき、\begin{eqnarray*}
\left( A\cap B\right) \cap C &=&\left( \left\{ 1,3,5,7\right\} \cap \left\{
1,2,3\right\} \right) \cap \left\{ 3,4,5\right\} \\
&=&\left\{ 1,3\right\} \cap \left\{ 3,4,5\right\} \\
&=&\left\{ 3\right\}
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
A\cap \left( B\cap C\right) &=&\left\{ 1,3,5,7\right\} \cap \left( \left\{
1,2,3\right\} \cap \left\{ 3,4,5\right\} \right) \\
&=&\left\{ 1,3,5,7\right\} \cap \left\{ 3\right\} \\
&=&\left\{ 3\right\}
\end{eqnarray*}となるため、共通部分に関する結合律\begin{equation*}
\left( A\cap B\right) \cap C=A\cap \left( B\cap C\right)
\end{equation*}が成立しています。同様に、\begin{eqnarray*}
\left( A\cup B\right) \cup C &=&\left( \left\{ 1,3,5,7\right\} \cup \left\{
1,2,3\right\} \right) \cup \left\{ 3,4,5\right\} \\
&=&\left\{ 1,2,3,5,7\right\} \cup \left\{ 3,4,5\right\} \\
&=&\left\{ 1,2,3,4,5,7\right\}
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
A\cup \left( B\cup C\right) &=&\left\{ 1,3,5,7\right\} \cup \left( \left\{
1,2,3\right\} \cup \left\{ 3,4,5\right\} \right) \\
&=&\left\{ 1,3,5,7\right\} \cup \left\{ 1,2,3,4,5\right\} \\
&=&\left\{ 1,2,3,4,5,7\right\}
\end{eqnarray*}となるため、和集合に関する結合律\begin{equation*}
\left( A\cup B\right) \cup C=A\cup \left( B\cup C\right)
\end{equation*}が成立しています。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
&&B\cap C \\
&&C\cap D
\end{eqnarray*}はいずれも集合であるため、結合律より、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \left( \left( A\cap B\right) \cap \left( B\cap C\right)
\right) \cap \left( C\cap D\right) &=&\left( A\cap B\right) \cap \left(
\left( B\cap C\right) \cap \left( C\cap D\right) \right) \\
\left( b\right) \ \left( \left( A\cap B\right) \cup \left( B\cap C\right)
\right) \cup \left( C\cap D\right) &=&\left( A\cap B\right) \cup \left(
\left( B\cap C\right) \cup \left( C\cap D\right) \right)
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。
B\cap C\right) \right) \cap D\quad \because \text{結合律}
\\
&=&A\cap \left( \left( B\cap C\right) \cap D\right) \quad \because \text{結合律} \\
&=&A\cap \left( B\cap \left( C\cap D\right) \right) \quad \because \text{結合律}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
結合律の一般化
4つの集合\(A,B,C,D\)が与えられたとき、\(\cap \)に関する結合律を繰り返し適用することにより、\begin{align*}\left( \left( A\cap B\right) \cap C\right) \cap D& =\left( A\cap \left(
B\cap C\right) \right) \cap D\quad \because \text{結合律}
\\
& =A\cap \left( \left( B\cap C\right) \cap D\right) \quad \because \text{結合律} \\
& =A\cap \left( B\cap \left( C\cap D\right) \right) \quad \because \text{結合律}
\end{align*}を得ます。つまり、4つの集合\(A,B,C,D\)の間にある3個の\(\cap \)の中のどれを最初に作用させる場合でも、最終的に得られる集合はいずれも等しいため、これら4つの集合を区別せずに、\begin{equation*}A\cap B\cap C\cap D
\end{equation*}で表記します。和集合についても、\begin{align*}
\left( \left( A\cup B\right) \cup C\right) \cup D& =\left( A\cup \left(
B\cup C\right) \right) \cup D\quad \because \text{結合律}
\\
& =A\cup \left( \left( B\cup C\right) \cup D\right) \quad \because \text{結合律} \\
& =A\cup \left( B\cup \left( C\cup D\right) \right) \quad \because \text{結合律}
\end{align*}が成り立つため、これら4つの集合を区別せずに、\begin{equation*}
A\cup B\cup C\cup D
\end{equation*}で表記します。
任意の有限個の共通部分についても同様の議論が成立します。つまり、有限\(n\)個の集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)の間にある\(n-1\)個の\(\cap \)の中のどれを最初に作用させる場合でも、最終的に得られる集合はいずれも等しいため、それらの集合を区別せずに、\begin{equation*}\bigcap\limits_{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}
\end{equation*}で表記します。和集合についても同様です。有限\(n\)個の集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)の間にある\(n-1\)個の\(\cup \)の中のどれを最初に作用させる場合でも、最終的に得られる集合はいずれも等しいため、それらの集合を区別せずに、\begin{equation*}\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\cup \cdots \cup A_{n}
\end{equation*}で表記します。
有限\(n\)個の集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)を任意に選んだ上で、これらの相対的な順番を変えないまま共通部分をとるとき、括弧の付け方、すなわち共通部分を作用させる順番をどのように定めても、最終的に得られる集合はいずれも等しい。また、和集合についても同様である。
&&\left( A\cap \left( B\cap C\right) \right) \cap D \\
&&\left( A\cap B\right) \cap \left( C\cap D\right) \\
&&A\cap \left( \left( B\cap C\right) \cap D\right) \\
&&A\cap \left( B\cap \left( C\cap D\right) \right)
\end{eqnarray*}先の命題より、これらの集合は等しいです。
交換律と結合律の一般化
3つの集合\(A,B,C\)が任意に与えられたとき、\(\cap \)に関する交換律を繰り返し適用することにより、\begin{eqnarray*}\left( A\cap B\right) \cap C &=&\left( B\cap A\right) \cap C\quad \because
\text{交換律} \\
&=&C\cap \left( B\cap A\right) \quad \because \text{交換律}
\\
&=&C\cap \left( A\cap B\right) \quad \because \text{交換律}
\end{eqnarray*}を得ます。つまり、3つの集合\(A,B,C\)の共通部分をとる場合、括弧が指定するように、\(A\)と\(B\)に優先的に共通部分を作用させる形で相等変換を行う限りにおいて、集合の順序を自由に入れ替えても集合として等しくなります。同様に、\begin{eqnarray*}A\cap \left( B\cap C\right) &=&A\cap \left( C\cap B\right) \quad \because
\text{交換律} \\
&=&\left( C\cap B\right) \cap A\quad \because \text{交換律}
\\
&=&\left( B\cap C\right) \cap A\quad \because \text{交換律}
\end{eqnarray*}を得ます。つまり、3つの集合\(A,B,C\)の共通部分をとる場合、括弧が指定するように、\(B\)と\(C\)に優先的に共通部分を作用させる形で相等変換を行う限りにおいて、集合の順序を自由に入れ替えても集合として等しくなります。加えて、結合律より、\begin{equation*}\left( A\cap B\right) \cap C=A\cap \left( B\cap C\right)
\end{equation*}が成り立つため、以上の8個の集合がすべて等しくなることが保証されます。つまり、3個の集合\(A,B,C\)の共通部分をとる場合には、集合の相対的な順番を自由に入れ替えられるとともに、共通部分を作用させる順番も自由に選ぶことができます。したがって、以下の関係\begin{eqnarray*}A\cap B\cap C &=&A\cap C\cap B \\
&=&B\cap A\cap C \\
&=&B\cap C\cap A \\
&=&C\cap A\cap B \\
&=&C\cap B\cap A
\end{eqnarray*}が成り立ちます。和集合についても同様です。つまり、3個の集合\(A,B,C\)の和集合をとる場合には、集合の相対的な順番を自由に入れ替えられるとともに、和集合を作用させる順番も自由に選ぶことができます。したがって、以下の関係\begin{eqnarray*}A\cup B\cup C &=&A\cup C\cup B \\
&=&B\cup A\cup C \\
&=&B\cup C\cup A \\
&=&C\cup A\cup B \\
&=&C\cup B\cup A
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
任意の有限個の共通部分についても同様の議論が成立します。つまり、有限\(n\)個の集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)の共通部分をとる場合には、交換律より、集合の順序を自由に入れ替えることができ、結合律より、括弧の位置を自由に変えることができます。その結果、集合の相対的な順番を入れ替えても、また、共通部分を作用させる順番を変えても、最終的に得られる集合は等しくなります。そこでそれらを、\begin{equation*}\bigcap\limits_{i=1}^{n}A_{i}
\end{equation*}と表記します。
和集合についても同様です。有限\(n\)個の集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)の和集合をとる場合には、集合の相対的な順番を入れ替えても、また、和集合を作用させる順番を変えても、最終的に得られる集合は等しくなります。そこでそれらを、\begin{equation*}\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_{i}
\end{equation*}と表記します。
交換律は集合の順序を変える法則である一方で、結合律は演算する順番を変える法則です。この2つを組み合わせることにより、3個以上の集合については順序や括弧を意識することなく共通部分や和集合を扱えるようになります。
演習問題
A &=&\left\{ 1,2,4,6\right\} \\
B &=&\left\{ 2,3,4,5\right\} \\
C &=&\left\{ 2,4,7\right\}
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。結合律より、\begin{equation*}
\left( A\cap B\right) \cap C=A\cap \left( B\cap C\right)
\end{equation*}が成り立つはずですが、そのことを実際に確認してください。
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}と表現できますが、これは成り立つでしょうか。理由とともに答えてください。
\end{equation*}と表現できますが、これは成り立つでしょうか。理由とともに答えてください。
ログイン
会員向けコンテンツです。
まだ会員登録がお済みでない方は、会員登録ページよりアカウントを作成してください。