2つの集合の共通部分はその2つの集合の両方に部分集合として含まれる集合の中でも最大の集合です。また、2つの集合の和集合はその2つの集合をともに部分集合として含む集合の中でも最小の集合です。

包含関係 部分集合

2019年2月18日:公開

共通部分の特徴づけ

集合の共通部分に関して以下の命題が成り立ちます。

命題(共通部分の特徴づけ)
任意の集合\(X,Y,Z\)について以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X\cap Y\subset X \\
&&\left( b\right) \ X\cap Y\subset Y \\
&&\left( c\right) \ (Z\subset X)\ \wedge \ (Z\subset Y)\ \Rightarrow \ Z\subset X\cap Y
\end{eqnarray*}
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集合\(X,Y\)を任意に選ぶと、\(\left( a\right) \)と\(\left( b\right) \)より、共通部分\(X\cap Y\)は\(X\)と\(Y\)の両方の部分集合です。さらに、\(X\)と\(Y\)の両方の部分集合であるような集合\(Z\)を任意に選ぶと、\(\left( c\right) \)より、\(Z\)は必ず\(X\cap Y\)の部分集合になります。したがって、上の命題は、共通部分\(X\cap Y\)は\(X\)と\(Y\)の両方に部分集合として含まれる集合の中でも最大の集合であることを示唆します。

 

和集合の特徴づけ

集合の和集合に関して以下の命題が成り立ちます。

命題(和集合の特徴づけ)
任意の集合\(X,Y,Z\)について以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X\subset X\cup Y \\
&&\left( b\right) \ Y\subset X\cup Y \\
&&\left( c\right) \ (X\subset Z)\ \wedge \ (Y\subset Z)\ \Rightarrow \ X\cup Y\subset Z
\end{eqnarray*}
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この命題の意味を確認しましょう。集合\(X,Y\)を任意に選ぶと、\(\left( a\right) \)と\(\left( b\right) \)より、和集合\(X\cup Y\)は\(X\)と\(Y\)の両方を部分集合として含みます。さらに、\(X\)と\(Y\)の両方を部分集合として含むような集合\(Z\)を任意に選ぶと、\(\left( c\right) \)より、\(X\cup Y\)は必ず\(Z\)の部分集合になります。したがって、上の命題は、和集合\(X\cup Y\)は、\(X\)と\(Y\)の両方を部分集合として含む集合の中でも最小の集合であることを示唆します。

次回からは集合が等しいことを表す相等関係の性質について学びます。

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