ある集合が別の集合の部分集合であることを、補集合、共通部分、和集合、そして差集合などの概念を用いて表現することができます。

包含関係 部分集合

2019年1月20日:公開

補集合による特徴づけ

包含関係は補集合を用いて以下のように表現できます。

命題(補集合による包含関係の特徴づけ)
集合\(X,Y\)について、以下の 2 つの命題は同値である。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X\subset Y \\
&&\left( b\right) \ Y^{c}\subset X^{c}
\end{eqnarray*}
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つまり、\(X\)が\(Y\)の部分集合であることは、\(Y\)の補集合が\(X\)の補集合の部分集合であることと言い換え可能です。

集合 X の補集合
集合 X の補集合
集合 Y の補集合
集合 Y の補集合

ここでは命題の視覚的な意味を確認します。集合\(X,Y\)の間に\(X\subset Y\)が成り立つ様子が上図に描かれています。左上図のグレーの領域は\(X^{c}\)であり、右上図のグレーの領域は\(Y^{c}\)ですが、図より\(Y^{c}\subset X^{c}\)が成り立つことを確認できます。

 

共通部分や和集合による特徴づけ

包含関係は共通部分や和集合を用いて以下のように表現できます。

命題(共通部分や和集合による包含関係の特徴づけ)
集合\(X,Y\)について、以下の 3 つの命題は同値である。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X\subset Y \\
&&\left( b\right) \ X\cap Y=X \\
&&\left( c\right) \ X\cup Y=Y
\end{eqnarray*}
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つまり、\(X\)が\(Y\)の部分集合であることは、\(X\)と\(Y\)の共通部分が\(X\)と一致することや、\(X\)と\(Y\)の和集合が\(Y\)と一致することと言い換え可能です。

 

差集合による特徴づけ

包含関係は差集合を用いて以下のように表現できます。

命題(差集合による包含関係の特徴づけ)
集合\(X,Y\)について、以下の 3 つの命題は同値である。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X\subset Y \\
&&\left( b\right) \ X\backslash Y=\phi \\
&&\left( c\right) \ X\cup (Y\backslash X)=Y \\
&&\left( d\right) \ X=Y\backslash (Y\backslash X)
\end{eqnarray*}
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つまり、\(X\)が\(Y\)の部分集合であることは、\(X\)と\(Y\)の差集合が空集合であることなどに言い換え可能です。

次回は包含関係を使って共通部分や和集合がどのような集合であるか、特徴づけを行います。

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