交換律
前節では、同じ集合どうしの共通部分や和集合をとっても集合として変化しないというベキ等律を学びました。本節では、集合演算に関するもう一つの基本法則である交換律（commutative law）を学びます。交換律とは、共通部分や和集合をとる際に、左右の集合の順序を入れ替えても結果は変わらないという性質です。この性質により、集合の順序を意識することなく相等変換を行えるようになります。
集合\(A,B\)を任意に選んだとき、以下の相等関係\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ A\cap B &=&B\cap A \\
\left( b\right) \ A\cup B &=&B\cup A
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、集合どうしの共通部分や和集合は、集合の順序を入れ替えても変わらないということです。共通部分と和集合が満たすこの性質を交換律（commutative law）と呼びます。
\left( b\right) \ A\cup B &=&B\cup A
\end{eqnarray*}が成り立つ。
B &=&\left\{ 2,4,6,8,10\right\}
\end{eqnarray*}と定義されているとき、\begin{eqnarray*}
A\cup B &=&\left\{ 4,5,6,7,8\right\} \cup \left\{ 2,4,6,8,10\right\} \quad
\because A,B\text{の定義} \\
&=&\left\{ 2,4,5,6,7,8,10\right\} \quad \because \text{和集合の定義}
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
B\cup A &=&\left\{ 2,4,6,8,10\right\} \cup \left\{ 4,5,6,7,8\right\} \quad
\because A,B\text{の定義} \\
&=&\left\{ 2,4,5,6,7,8,10\right\} \quad \because \text{和集合の定義}
\end{eqnarray*}となるため、和集合に関する交換律\begin{equation*}
A\cup B=B\cup A
\end{equation*}が成立しています。同様に、\begin{eqnarray*}
A\cap B &=&\left\{ 4,5,6,7,8\right\} \cap \left\{ 2,4,6,8,10\right\} \quad
\because A,B\text{の定義} \\
&=&\left\{ 4,6,8\right\} \quad \because \text{共通部分の定義}
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
B\cap A &=&\left\{ 2,4,6,8,10\right\} \cap \left\{ 4,5,6,7,8\right\} \quad
\because \text{共通部分の定義} \\
&=&\left\{ 4,6,8\right\} \quad \because \text{共通部分の定義}
\end{eqnarray*}となるため、共通部分に関する交換律\begin{equation*}
A\cap B=B\cap A
\end{equation*}が成立しています。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
&&B\cap C
\end{eqnarray*}はともに集合であるため、交換律より、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \left( A\cap B\right) \cap \left( B\cap C\right) &=&\left(
B\cap C\right) \cap \left( A\cap B\right) \\
\left( b\right) \ \left( A\cap B\right) \cup \left( B\cap C\right) &=&\left(
B\cap C\right) \cup \left( A\cap B\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。
&&B\backslash C
\end{eqnarray*}はともに集合であるため、交換律より、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \left( A\cup B\right) \cap \left( B\backslash C\right)
&=&\left( B\backslash C\right) \cap \left( A\cup B\right) \\
\left( b\right) \left( A\cup B\right) \cup \left( B\backslash C\right)
&=&\left( B\backslash C\right) \cup \left( A\cup B\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。
交換律の一般化
3つの集合\(A,B,C\)が任意に与えられたとき、共通部分\(\cap \)に関する交換律を繰り返し適用することにより、\begin{eqnarray*}\left( A\cap B\right) \cap C &=&\left( B\cap A\right) \cap C\quad \because
\text{交換律} \\
&=&C\cap \left( B\cap A\right) \quad \because \text{交換律}
\\
&=&C\cap \left( A\cap B\right) \quad \because \text{交換律}
\end{eqnarray*}を得ます。つまり、3つの集合\(A,B,C\)の共通部分をとる場合、括弧が指定するように、\(A\)と\(B\)に優先的に共通部分を作用させる形で相等変換を行う限りにおいて、集合の順序を自由に入れ替えても集合として変わりません。同様に、\begin{eqnarray*}A\cap \left( B\cap C\right) &=&A\cap \left( C\cap B\right) \quad \because
\text{交換律} \\
&=&\left( C\cap B\right) \cap A\quad \because \text{交換律}
\\
&=&\left( B\cap C\right) \cap A\quad \because \text{交換律}
\end{eqnarray*}を得ます。つまり、3つの集合\(A,B,C\)の共通部分をとる場合、括弧が指定するように、\(B\)と\(C\)に優先的に共通部分を作用させる形で相等変換を行う限りにおいて、集合の順序を自由に入れ替えても集合として変わりません。ちなみに、後ほど示す結合律と呼ばれる性質を踏まえると、\begin{equation*}\left( A\cap B\right) \cap C=A\cap \left( B\cap C\right)
\end{equation*}を得るため、以上の8つの集合がすべて等しいこともまた保証されます。
和集合についても同様に考えます。また、4つ以上の集合についても同様に考えます。
有限\(n\)個の集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)の共通部分\(A\)が与えられているものとする。このとき、その集合\(A\)に含まれる\(n-1\)個の集合演算子\(\cap \)のそれぞれについて、左右の集合を交換するかどうかを任意に選んで得られる\(2^{n-1}\)通りの集合はいずれも、もとの集合\(A\)と等しい。また、論理和についても同様の主張が成り立つ。
\end{equation*}が与えられているものとします。この集合に含まれる3個の演算子\(\cap \)のそれぞれについて、左右の集合を交換するかどうかを任意に選んで得られる\(2^{3}=8\)通りの集合は以下の通りです。ただし、\(○ \)は該当する\(\cap \)の左右を入れ替えることを意味し、\(\times \)は入れ替えないことを意味します。
$$\begin{array}{cccc}
\hline
内側 & 中央 & 外側 & 論理式 \\ \hline
\times & \times & \times & \left( \left( A\cap B\right) \cap C\right) \cap D \\ \hline
○ & \times & \times & \left( \left( B\cap A\right) \cap C\right) \cap D \\ \hline
\times & ○ & \times & \left( C\cap \left( A\cap B\right) \right) \cap D \\ \hline
\times & \times & ○ & D\cap \left( \left( A\cap B\right) \cap C\right) \\ \hline
○ & ○ & \times & \left( C\cap \left( B\cap A\right) \right) \cap D \\ \hline
○ & \times & ○ & D\cap \left( \left( B\cap A\right) \cap C\right) \\ \hline
\times & ○ & ○ & D\cap \left( C\cap \left( A\cap B\right) \right) \\ \hline
○ & ○ & ○ & D\cap \left( C\cap \left( B\cap A\right) \right) \\ \hline
\end{array}$$
先の命題より、これらの集合は等しいです。
演習問題
A &=&\left\{ 1,3,5,7\right\} \\
B &=&\left\{ 3,4,5,6\right\} \\
C &=&\left\{ 5,6,7,8\right\}
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。交換律より、\begin{equation*}
\left( A\cap B\right) \cap C=C\cap \left( B\cap A\right)
\end{equation*}が成り立つはずですが、そのことを実際に確認してください。
\end{equation*}と表現できますが、これは成り立つでしょうか。理由とともに答えてください。
\end{equation*}と表現できますが、これは成り立つでしょうか。理由とともに答えてください。
ログイン
会員向けコンテンツです。
まだ会員登録がお済みでない方は、会員登録ページよりアカウントを作成してください。