合成関係

2つの関係 R, S が与えられたとき、xRy と ySz がともに成り立つような y が存在するような順序対 (x,z) からなる集合を R と S の合成関係と呼び、これを S∘R で表します。
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合成関係

集合\(A\)から集合\(B\)への関係\(R\)と、集合\(B\)から集合\(C\)への関係\(S\)が与えられた状況を想定します。すなわち、\(R\subset A\times B\)かつ\(S\subset B\times C\)です。このとき、\(\left( a,b\right) \in R\)と\(\left( b,c\right) \in S\)をともに満たす\(b\in B\)が存在するような順序対\(\left( a,c\right) \in A\times C\)からなる集合は\(A\times C\)の部分集合であるため、それは\(A\)から\(C\)への関係です。そこで、そのような関係を\(R\)と\(S\)の合成関係(composition relation)と呼び、これを\(S\circ R\)で表します。つまり、合成関係\(S\circ R\)とは、任意の順序対\(\left( a,c\right) \in A\times C\)に対して、\begin{equation*}
\left( a,c\right) \in S\circ R\Leftrightarrow \exists b\in B:\left[ \left(
a,b\right) \in R\wedge \left( b,c\right) \in S\right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( S\circ R\right) \left( a,c\right) \Leftrightarrow \exists b\in B:
\left[ R\left( a,b\right) \wedge S\left( b,c\right) \right] \end{equation*}を満たすものとして定義される\(A\)から\(C\)への関係です。合成関係\(S\circ R\)のもとで\(a\)が\(c\)と関係を持つことは、関係\(R\)のもとで\(a\)が\(b\)と関係を持つとともに、関係\(S\)のもとで\(b\)と\(c\)が関係を持つような\(b\)が存在することと必要十分です。定義より、\begin{eqnarray*}
S\circ R &=&\left\{ \left( a,c\right) \in A\times C\ |\ \exists b\in B:\left[
\left( a,b\right) \in R\wedge \left( b,c\right) \in S\right] \right\} \\
&=&\left\{ \left( a,c\right) \in A\times C\ |\ \exists b\in B:\left[ R\left(
a,b\right) \wedge S\left( b,c\right) \right] \right\}
\end{eqnarray*}となります。

例(合成関係)
3つの企業について、各企業の社員からなる集合を\(A,B,C\)で表します。その上で、\(A\)から\(B\)への関係\(R\)を、それぞれの\(\left( a,b\right) \in A\times B\)について、\begin{equation*}
R\left( a,b\right) \Leftrightarrow a\text{は}b\text{と知り合い}
\end{equation*}を満たすものとして定義します。また、\(B\)から\(C\)への関係\(S\)を、それぞれの\(\left( b,c\right) \in B\times C\)について、\begin{equation*}
S\left( b,c\right) \Leftrightarrow b\text{は}c\text{と知り合い}
\end{equation*}を満たすものとして定義します。このとき、合成関係\(S\circ R\)は\(A\)から\(C\)への関係であり、それぞれの\(\left( a,c\right) \in A\times C\)について、\begin{eqnarray*}
\left( S\circ R\right) \left( a,c\right) &\Leftrightarrow &\exists b\in B:
\left[ R\left( a,b\right) \wedge S\left( b,c\right) \right] \quad \because
S\circ R\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists b\in B:\left( a\text{は}b\text{と知り合い}\wedge b\text{は}c\text{と知り合い}\right) \quad \because R,S\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &a\text{と}c\text{の共通の知り合い}b\text{が}B\text{にいる}
\end{eqnarray*}となります。つまり、合成関係\(S\circ R\)は、企業\(B\)に共通の知り合いがいるような企業\(A\)の社員\(a\)と企業\(C\)の社員\(c\)からなる順序対\(\left( a,c\right) \)を集めてできる集合です。
例(合成関係)
集合\(A,B,C\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ 1,2,3,4\right\} \\
B &=&\left\{ p,q,r,s\right\} \\
C &=&\left\{ 5,6,7,8\right\}
\end{eqnarray*}で与えられているものとします。その上で、\(A\)から\(B\)への関係\(R\)が、\begin{equation*}
R=\left\{ \left( 1,p\right) ,\left( 1,q\right) ,\left( 2,p\right) ,\left(
3,s\right) ,\left( 4,s\right) \right\}
\end{equation*}で与えられており、\(B\)から\(C\)への関係\(S\)が、\begin{equation*}
S=\{\left( q,5\right) ,\left( q,6\right) ,\left( s,7\right) ,\left(
r,8\right) \}
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、合成関係\(S\circ R\)は\(A\)から\(C\)への関係であり、\begin{equation*}
S\circ R=\left\{ \left( a,c\right) \in A\times C\ |\ \exists b\in B:\left[
\left( a,b\right) \in R\wedge \left( b,c\right) \in S\right] \right\}
\end{equation*}と定義されます。\(S\circ R\)は\(A\times C\)の部分集合ですが、\(\left( 1,5\right) \in A\times C\)は\(S\circ R\)の要素でしょうか。\(\left( 1,5\right) \)が\(S\circ R\)の要素であることは、\begin{equation*}
\exists b\in B:\left[ \left( 1,b\right) \in S\wedge \left( b,5\right) \in R\right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。まず、\(\left( 1,p\right) \in R\)かつ\(\left( p,5\right) \not\in S\)であるため、\(p\)は上の\(b\)としての条件を満たしません。次に、\(\left( 1,q\right) \in R\)かつ\(\left( q,5\right) \in S\)が成り立つため、\(q\)は上の\(b\)としての条件を満たします。したがって、\(\left( 1,5\right) \in S\circ R\)であることが示されました。同様に考えると、\begin{equation*}
S\circ R=\left\{ \left( 1,5\right) ,\left( 1,6\right) ,\left( 3,7\right)
,\left( 4,7\right) \right\}
\end{equation*}であることが判明します(確認してください)。

関係\(R,S\)に対して\(S\circ R\)と\(R\circ S\)を区別する必要があります。\(R\)が集合\(A\)から集合\(B\)への関係、\(S\)が集合\(B\)から集合\(C\)への関係であるものとします。このとき、\(R\)の終集合と\(S\)の始集合はともに\(B\)で一致するため合成関係\(S\circ R\)が定義可能です。一方、\(S\)の終集合\(C\)と\(R\)の始集合\(A\)は一致するとは限らないため、合成関係\(R\circ S\)は定義できるとは限りません。

 

二項関係どうしの合成

二項関係も関係であるため、二項関係どうしを合成することもできます。集合\(A\)上の二項関係\(R,S\)が与えられた状況を想定します。すなわち、\(R\subset A\times A\)かつ\(S\subset A\times A\)です。合成関係\(S\circ R\)もまた集合\(A\)上の二項関係であり、\begin{eqnarray*}
S\circ R &=&\left\{ \left( x,z\right) \in A\times A\ |\ \exists y\in B:\left[
\left( x,y\right) \in R\wedge \left( y,z\right) \in S\right] \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,z\right) \in A\times A\ |\ \exists y\in B:\left[ R\left(
x,y\right) \wedge S\left( y,z\right) \right] \right\}
\end{eqnarray*}と定義されます。また、\(S\circ R\)とは合成の順番を逆にした合成関係\(R\circ S\)もまた\(A\)上の二項関係であり、\begin{eqnarray*}
R\circ S &=&\left\{ \left( x,z\right) \in A\times A\ |\ \exists y\in B:\left[
\left( x,y\right) \in S\wedge \left( y,z\right) \in R\right] \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,z\right) \in A\times A\ |\ \exists y\in B:\left[ S\left(
x,y\right) \wedge R\left( y,z\right) \right] \right\}
\end{eqnarray*}と定義されます。両者は一致するとは限りません。

例(二項関係どうしの合成)
すべての人間からなる集合\(A\)上の二項関係\(R\)を、それぞれの順序対\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}
R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{は}y\text{の子供である}
\end{equation*}を満たすものとして定義します。このとき、合成関係\(R\circ R\)もまた\(A\)上の二項関係であり、それぞれの順序対\(\left( x,z\right) \in A\times A\)に対して、\begin{eqnarray*}
\left( R\circ R\right) \left( x,z\right) &\Leftrightarrow &\exists y\in A:
\left[ R\left( x,y\right) \wedge R\left( y,z\right) \right] \quad \because
R\circ R\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists y\in A:\left[ x\text{は}y\text{の子供である}\wedge y\text{は}z\text{の子供である}\right] \quad \because R\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &x\text{は}z\text{の孫である}
\end{eqnarray*}となります。
例(二項関係どうしの合成)
実数空間\(\mathbb{R}\)上の二項関係\(R\)を、それぞれの順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=1
\end{equation*}を満たすものとして定義し、やはり\(\mathbb{R}\)上の二項関係\(S\)を、それぞれの順序対\(\left( y,z\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
S\left( y,z\right) \Leftrightarrow 2y+3z=4
\end{equation*}を満たすものとして定義します。このとき、合成関係\(S\circ R\)もまた\(\mathbb{R}\)上の二項関係であり、それぞれの順序対\(\left( x,z\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}
\left( S\circ R\right) \left( x,z\right) &\Leftrightarrow &\exists y\in \mathbb{R} :\left[ R\left( x,y\right) \wedge S\left( y,z\right) \right] \quad \because
S\circ R\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists y\in \mathbb{R} :\left[ x^{2}+y^{2}+1\wedge 2y+3z=4\right] \quad \because R,S\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &4x^{2}+\left( 4-3z\right) ^{2}=4\quad \because y\text{を消去}
\end{eqnarray*}となります。一方、合成関係\(R\circ S\)もまた\(\mathbb{R}\)上の二項関係であり、それぞれの順序対\(\left( x,z\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}
\left( R\circ S\right) \left( x,z\right) &\Leftrightarrow &\exists y\in \mathbb{R} :\left[ S\left( x,y\right) \wedge R\left( y,z\right) \right] \quad \because
S\circ R\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists y\in \mathbb{R} :\left[ 2x+3y=4\wedge y^{2}+z^{2}=1\right] \quad \because R,S\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\left( 4-2x\right) ^{2}+9z^{2}=9\quad \because y\text{を消去}
\end{eqnarray*}となります。
例(二項関係どうしの合成)
自然数空間\(\mathbb{N} \)上の二項関係\(R\)を、それぞれの順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}
R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x<y
\end{equation*}を満たすものとして定義します。\(R\)の逆関係\(R^{-1}\)もまた\(\mathbb{N} \)上の二項関係であり、それぞれの順序対\(\left( y,x\right) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}
R^{-1}\left( y,x\right) \Leftrightarrow y>x
\end{equation*}を満たします。\(R\)と\(R^{-1}\)はともに\(\mathbb{N} \)上の二項関係であるため合成が可能です。合成関係\(R^{-1}\circ R\)はそれぞれの\(\left( x,z\right) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \)に対して、\begin{eqnarray}
\left( R^{-1}\circ R\right) \left( x,z\right) &\Leftrightarrow &\exists
y\in \mathbb{N} :\left[ R\left( x,y\right) \wedge R^{-1}\left( y,z\right) \right] \quad
\because R^{-1}\circ R\text{の定義} \notag \\
&\Leftrightarrow &\exists y\in \mathbb{N} :\left[ x<y\wedge y>z\right] \quad \because R,R^{-1}\text{の定義} \tag{1} \\
&\Leftrightarrow &x\in \mathbb{N} \wedge z\in \mathbb{N} \tag{2} \\
&\Leftrightarrow &\left( x,y\right) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \notag
\end{eqnarray}を満たします。\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)の同値変形については解説を加えます。そもそも\(x,z\)は自然数であるため\(\left( 1\right) \Rightarrow \left( 2\right) \)は自明です。一方、自然数\(x,z\)を任意に選んだとき、それらよりも大きい自然数\(y\)は必ず存在するため\(\left( 2\right) \Rightarrow \left( 1\right) \)も成り立ちます。以上より、\begin{equation*}
R^{-1}\circ R=\mathbb{N} \times \mathbb{N} \end{equation*}であることが示されました。逆に、合成関係\(R\circ R^{-1}\)はそれぞれの\(\left( x,z\right) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \)に対して、\begin{eqnarray}
\left( R\circ R^{-1}\right) \left( x,z\right) &\Leftrightarrow &\exists
y\in \mathbb{N} :\left[ R^{-1}\left( x,y\right) \wedge R\left( y,z\right) \right] \quad
\because R^{-1}\circ R\text{の定義} \notag \\
&\Leftrightarrow &\exists y\in \mathbb{N} :\left[ x>y\wedge y<z\right] \quad \because R,R^{-1}\text{の定義} \tag{3} \\
&\Leftrightarrow &x\in \mathbb{N} \backslash \left\{ 1\right\} \wedge z\in \mathbb{N} \backslash \left\{ 1\right\} \tag{4} \\
&\Leftrightarrow &\left( x,y\right) \in \mathbb{N} \backslash \left\{ 1\right\} \times \mathbb{N} \backslash \left\{ 1\right\} \notag
\end{eqnarray}を満たします。\(\left( 3\right) \)と\(\left( 4\right) \)の同値変形について解説を加えます。\(x,z\)は自然数ですが、それらよりも小さい自然数\(z\)が存在する場合、\(x\)と\(z\)はともに\(2\)以上の自然数でなければならないため\(\left( 3\right) \Rightarrow \left( 4\right) \)が成り立ちます。逆に、\(2\)以上の自然数\(x,z\)を任意に選んだとき、それよりも小さい自然数\(y\)は必ず存在するため\(\left( 4\right) \Rightarrow \left( 3\right) \)が成り立ちます。以上より、\begin{equation*}
R^{-1}\circ R=\mathbb{N} \backslash \left\{ 1\right\} \times \mathbb{N} \backslash \left\{ 1\right\}
\end{equation*}であることが示されました。

 

関係の合成に関する結合律

集合\(A,B,C,D\)に対して、関係\(R,S,T\)の始集合と終集合がそれぞれ、\begin{eqnarray*}
R &\subset &A\times B \\
S &\subset &B\times C \\
T &\subset &C\times D
\end{eqnarray*}で与えられているものとします。\(R\)の終集合と\(S\)の始集合はともに\(B\)であるため、\(R\)と\(S\)を最初に合成することにより、\begin{equation*}
S\circ R\subset A\times C
\end{equation*}を得ます。得られた\(S\circ R\)の終集合と残された\(T\)の始集合はともに\(C\)であるため、\(S\circ R\)と\(T\)を合成することにより、\begin{equation}
T\circ \left( S\circ R\right) \subset A\times D \tag{1}
\end{equation}を得ます。一方、\(S\)の終集合と\(T\)の始集合はともに\(C\)であるため、\(S\)と\(T\)を最初に合成することもでき、その場合、\begin{equation*}
T\circ S\subset B\times D
\end{equation*}を得ます。残された\(R\)の終集合と先の\(T\circ S\)の始集合はともに\(B\)であるため、\(R\)と\(T\circ S\)を合成することにより、\begin{equation}
\left( T\circ S\right) \circ R\subset A\times D \tag{2}
\end{equation}を得ます。つまり、関係\(R,S,T\)の中の隣り合うどの2つを最初に合成するか応じて、最終的に\(\left( 1\right) \)もしくは\(\left( 2\right) \)という合成関係が得られます。これらはともに\(A\)から\(D\)への関係ですが、実は、両者は一致します(演習問題にします)。

命題(関係の合成に関する結合律)
集合\(A,B,C,D\)について、\(A\)から\(B\)への関係\(R\)、\(B\)から\(C\)への関係\(S\)、\(C\)から\(D\)への関係\(T\)がそれぞれ任意に与えられたとき、\begin{equation*}
T\circ \left( S\circ R\right) =\left( T\circ S\right) \circ R
\end{equation*}が成り立つ。
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集合の合成を表す記号\(\circ \)を関係を被演算子とする演算子とみなしたとき、上の命題は、\(\circ \)が結合律(associative law)を満たすことを示唆しています。つまり、上の命題中の条件を満たす関係\(R,S,T\)の中の隣り合うどの2つを最初に合成しても最終的に得られる合成関係が等しいため、それらを区別せずに、\begin{equation*}
T\circ S\circ R
\end{equation*}で表します。

例(関係の合成に関する結合律)
集合\(A,B,C,D,E\)について、関係\(R,S,T,U\)の始集合と終集合がそれぞれ、\begin{eqnarray*}
R &\subset &A\times B \\
S &\subset &B\times C \\
T &\subset &C\times D \\
U &\subset &D\times E
\end{eqnarray*}で与えられているものとします。このとき、\(\circ \)に関する結合律を繰り返し適用することにより、\begin{eqnarray*}
\left( \left( U\circ T\right) \circ S\right) \circ R &=&\left( U\circ \left(
T\circ S\right) \right) \circ R \\
&=&U\circ \left( \left( T\circ S\right) \circ R\right) \\
&=&U\circ \left( T\circ \left( S\circ R\right) \right)
\end{eqnarray*}という関係が得られます。そこで、これら4つの合成関係を区別せずに、\begin{equation*}
U\circ T\circ S\circ R
\end{equation*}で表すことができます。5つ以上の関係についても同様に考えます。

 

合成関係の逆関係

集合\(A,B,C\)に対して、関係\(R,S\)の始集合と終集合がそれぞれ、\begin{eqnarray*}
R &\subset &A\times B \\
S &\subset &B\times C
\end{eqnarray*}で与えられているとき、それらの合成は、\begin{equation*}
S\circ R\subset A\times C
\end{equation*}であり、さらにその逆関係は、\begin{equation}
\left( S\circ R\right) ^{-1}\subset C\times A \tag{1}
\end{equation}となります。一方、\(R,S\)の逆関係は、\begin{eqnarray*}
R^{-1} &\subset &B\times A \\
S^{-1} &\subset &C\times B
\end{eqnarray*}ですが、\(S^{-1}\)の終集合と\(R^{-1}\)の始集合はともに\(B\)であるため、以下の合成\begin{equation}
R^{-1}\circ S^{-1}\subset C\times A \tag{2}
\end{equation}を得ます。\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)はともに\(C\)から\(A\)への関係ですが、実は、これらは一致します。実際、順序対\(\left( c,a\right) \in C\times A\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
\left( S\circ R\right) ^{-1}\left( c,a\right) &\Leftrightarrow &\left(
S\circ R\right) \left( a,c\right) \quad \because \text{逆関係の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists b\in B:\left[ R\left( a,b\right) \wedge S\left(
b,c\right) \right] \quad \because \text{合成関係の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists b\in B:\left[ R^{-1}\left( b,a\right) \wedge
S^{-1}\left( c,b\right) \right] \quad \because \text{逆関係の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists b\in B:\left[ S^{-1}\left( c,b\right) \wedge
R^{-1}\left( b,a\right) \right] \quad \because \wedge \text{の交換律} \\
&\Leftrightarrow &\left( R^{-1}\circ S^{-1}\right) \left( c,a\right) \quad
\because \text{合成関係の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left( S\circ R\right) ^{-1}=R^{-1}\circ S^{-1}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、合成の逆関係は逆関係の合成に等しいということです。

命題(合成関係の逆関係)
集合\(A,B,C\)について、\(A\)から\(B\)への関係\(R\)と、\(R\)から\(C\)への関係\(S\)がそれぞれ任意に与えられたとき、\begin{equation*}
(S\circ R)^{-1}=R^{-1}\circ S^{-1}
\end{equation*}という関係が成り立つ。
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例(合成関係の逆関係)
集合\(A,B,C\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ 1,2,3,4\right\} \\
B &=&\left\{ p,q,r,s\right\} \\
C &=&\left\{ 5,6,7,8\right\}
\end{eqnarray*}で与えられており、\(A\)から\(B\)への関係\(R\)が、\begin{equation*}
R=\left\{ \left( 1,p\right) ,\left( 1,q\right) ,\left( 2,p\right) ,\left(
3,s\right) ,\left( 4,s\right) \right\}
\end{equation*}で与えられており、\(B\)から\(C\)への関係\(S\)が、\begin{equation*}
S=\left\{ \left( q,5\right) ,\left( q,6\right) ,\left( r,8\right) ,\left(
s,7\right) \right\}
\end{equation*}で与えられています。このとき、\begin{equation*}
S\circ R=\left\{ \left( 1,5\right) ,\left( 1,6\right) ,\left( 3,7\right)
,\left( 4,7\right) \right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( S\circ R\right) ^{-1}=\left\{ \left( 5,1\right) ,\left( 6,1\right)
,\left( 7,3\right) ,\left( 7,4\right) \right\}
\end{equation*}となります。一方、\begin{eqnarray*}
R^{-1} &=&\left\{ \left( p,1\right) ,\left( q,1\right) ,\left( p,2\right)
,\left( s,3\right) ,\left( s,4\right) \right\} \\
S^{-1} &=&\left\{ \left( 5,q\right) ,\left( 6,q\right) ,\left( 8,r\right)
,\left( 7,s\right) \right\}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
R^{-1}\circ S^{-1}=\left\{ \left( 5,1\right) ,\left( 6,1\right) ,\left(
7,3\right) ,\left( 7,4\right) \right\}
\end{equation*}となります。以上より、\begin{equation*}
\left( S\circ R\right) ^{-1}=R^{-1}\circ S^{-1}
\end{equation*}が成り立ちますが、この結果は先の命題と整合的です。

次回から写像について学びます。

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