差集合に関して成立するいくつかの集合演算法則について解説します。

2019年3月12日:公開

空集合や全体集合と差集合

先に示したように、集合\(X,Y\)に対して、\begin{equation*}
X\backslash Y=X\cap Y^{c}
\end{equation*}という関係が成り立つため、補集合\(c\)と共通部分\(\cap \)さえ定義されていれば差集合\(\backslash \)を新たな集合演算として定義する必要はありません。とは言え、差集合\(\backslash \)を利用すると表記が便利になることは確かですので、本稿では引き続き差集合\(\backslash \)を利用します。

差集合と補集合・共通部分の関係を復習する

上の関係とこれまで示してきた演算法則を活用すると、以下を簡単に示すことができます。これを差集合法則(difference law)とでも名付けましょう。

命題(差集合の性質)
空集合\(\phi \)、全体集合\(U\)、そして任意の集合\(X\)に対して以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X\backslash X=\phi \\
&&\left( b\right) \ X\backslash \phi =X \\
&&\left( c\right) \ \phi \backslash X=\phi \\
&&\left( d\right) \ X\backslash U=\phi \\
&&\left( e\right) \ U\backslash X=X^{c}
\end{eqnarray*}
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和集合や共通部分と差集合

和集合や共通部分との差集合に関して以下が成り立ちます。証明アプローチは上の命題と同様です。

命題(差集合の性質)
任意の集合\(X,Y,Z\)に対して以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
(a)\ (X\cup Y)\backslash Z &=&(X\backslash Z)\cup (Y\backslash Z) \\
\left( b\right) \ (X\cap Y)\backslash Z &=&(X\backslash Z)\cap (Y\backslash Z) \\
\left( c\right) \ Z\backslash (X\cup Y) &=&(Z\backslash X)\cap (Z\backslash Y) \\
\left( d\right) \ Z\backslash (X\cap Y) &=&(Z\backslash X)\cup (Z\backslash Y)
\end{eqnarray*}
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\((a)\)と\((b)\)は、演算の組\(\backslash ,\cup \)や\(\backslash ,\cap \)に関して分配法則が成り立つことを意味します。また、\((c)\)と\((d)\)に関しては、左辺と右辺とでは\(\cup \)と\(\cap \)が互いに逆になっている点に注意する必要があります。

次回は双対原理について学びます。
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