和集合と共通部分の間には分配律と呼ばれる性質が成り立ちます。

2019年3月12日:公開

分配律

これまで見てきた集合演算の性質はいずれも補集合、共通部分、和集合などがそれぞれ単独で満たす性質でしたが、以降では複数の異なる集合演算の間に成立する関係について考えます。

まず、和集合と共通部分の間には以下の関係が成り立ちます。これを分配律(distributive law)と呼びます。

命題(分配律)
任意の集合\(X,Y,Z\)に対して以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ X\cap (Y\cup Z) &=&(X\cap Y)\cup (X\cap Z) \\
\left( b\right) \ X\cup (Y\cap Z) &=&(X\cup Y)\cap (X\cup Z)
\end{eqnarray*}
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分配律に加えて交換律を踏まえると、集合\(X,Y,Z\)に関して、\begin{align*}
\left( X\cup Y\right) \cap Z& =Z\cap \left( X\cup Y\right) \quad \because \text{交換律} \\
& =\left( Z\cap X\right) \cup \left( Z\cap Y\right) \quad \because \text{分配律} \\
& =\left( X\cap Z\right) \cup \left( Y\cap Z\right) \quad \because \text{交換律}
\end{align*}が成り立ちます。つまり、\begin{equation*}
\left( X\cup Y\right) \cap Z=\left( X\cap Z\right) \cup \left( Y\cap Z\right)
\end{equation*}という形で後ろからの分配が可能になります。もう一方の命題についても同様に考えると、\begin{equation*}
\left( X\cap Y\right) \cup Z=\left( X\cup Z\right) \cap \left( Y\cup Z\right)
\end{equation*}を得ます。

例(分配律)
任意の集合\(A,B,C,D\)について、\begin{equation*}
\left( A\cup B\right) \cap \left( C\cup D\right) =\left( A\cap C\right) \cup \left( A\cap D\right) \cup \left( B\cap C\right) \cup \left( B\cap D\right)
\end{equation*}が成り立つことを分配律から証明します。便宜的に、\begin{equation*}
X=A\cup B
\end{equation*}とおきます。すると、\begin{eqnarray*}
\left( A\cup B\right) \cap \left( C\cup D\right) &=&X\cap \left( C\cup D\right) \\
&=&\left( X\cap C\right) \cup \left( X\cap D\right) \quad \because \text{分配律} \\
&=&\left( \left( A\cup B\right) \cap C\right) \cup \left( \left( A\cup B\right) \cap D\right) \quad \because X=A\cup B \\
&=&\left( A\cap C\right) \cup \left( A\cap D\right) \cup \left( B\cap C\right) \cup \left( B\cap D\right) \quad \because \text{分配律}
\end{eqnarray*}が成り立つため証明できました。

次回は吸収律と呼ばれる集合演算の性質について学びます。
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