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集合演算における分配律

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分配律

これまで見てきた集合演算の性質はいずれも補集合、共通部分、和集合などの集合演算がそれぞれ単独で満たす性質でしたが、以降では複数の異なる集合演算の間に成立する関係について考えます。

集合\(A,B,C\)を任意に選んだときに、全体集合の要素\(x\in U\)を任意に選ぶと、\begin{align*}x\in A\cap (B\cup C)& \Leftrightarrow x\in A\wedge x\in B\cup C\quad
\because \text{共通部分の定義} \\
& \Leftrightarrow x\in A\wedge (x\in B\vee x\in C)\quad \because \text{和集合の定義} \\
& \Leftrightarrow (x\in A\wedge x\in B)\vee (x\in A\wedge x\in C)\quad
\because \text{論理積・論理和の分配律} \\
& \Leftrightarrow x\in A\cap B\vee x\in A\cap C\quad \because \text{共通部分の定義} \\
& \Leftrightarrow x\in (A\cap B)\cup (A\cap C)\quad \because \text{和集合の定義}
\end{align*}が成り立つため、\begin{equation*}
\left( a\right) \ A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)
\end{equation*}を得ます。という関係を得ます。\(\left( a\right) \)において\(\cap \)と\(\cup \)を置き換えると、\begin{equation*}\left( b\right) \ A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)
\end{equation*}を得ますが、これが成り立つことも同様にして示されます。共通部分と和集合の間に成立するこのような性質を分配律(distributive law)と呼びます。

命題(分配律)
任意の集合\(A,B,C\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ A\cap \left( B\cup C\right) &=&\left( A\cap B\right) \cup
\left( A\cap C\right) \\
\left( b\right) \ A\cup \left( B\cap C\right) &=&\left( A\cup B\right) \cap
\left( A\cup C\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。

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例(分配律)
集合\(A,B,C\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
B &=&\left\{ 2,3,4\right\} \\
C &=&\left\{ 3,4,5\right\}
\end{eqnarray*}と定義されているとき、\begin{eqnarray*}
A\cap \left( B\cup C\right) &=&\left\{ 1,2,3\right\} \cap \left( \left\{
2,3,4\right\} \cup \left\{ 3,4,5\right\} \right) \\
&=&\left\{ 1,2,3\right\} \cap \left\{ 2,3,4,5\right\} \\
&=&\left\{ 2,3\right\}
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
\left( A\cap B\right) \cup \left( A\cap C\right) &=&\left( \left\{
1,2,3\right\} \cap \left\{ 2,3,4\right\} \right) \cup \left( \left\{
1,2,3\right\} \cap \left\{ 3,4,5\right\} \right) \\
&=&\left\{ 2,3\right\} \cup \left\{ 3\right\} \\
&=&\left\{ 2,3\right\}
\end{eqnarray*}となるため、分配律\begin{equation*}
A\cap \left( B\cup C\right) =\left( A\cap B\right) \cup \left( A\cap
C\right)
\end{equation*}が成立しています。同様に、\begin{eqnarray*}
A\cup \left( B\cap C\right) &=&\left\{ 1,2,3\right\} \cup \left( \left\{
2,3,4\right\} \cap \left\{ 3,4,5\right\} \right) \\
&=&\left\{ 1,2,3\right\} \cup \left\{ 3,4\right\} \\
&=&\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
\left( A\cup B\right) \cap \left( A\cup C\right) &=&\left( \left\{
1,2,3\right\} \cup \left\{ 2,3,4\right\} \right) \cap \left( \left\{
1,2,3\right\} \cup \left\{ 3,4,5\right\} \right) \\
&=&\left\{ 1,2,3,4\right\} \cap \left\{ 1,2,3,4,5\right\} \\
&=&\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{eqnarray*}となるため、分配律\begin{equation*}
A\cup \left( B\cap C\right) =\left( A\cup B\right) \cap \left( A\cup
C\right)
\end{equation*}が成立しています。

例(分配律)
任意の集合\(A,B\)について、\begin{eqnarray*}A\cap \left( B\cup A\right) &=&\left( A\cap B\right) \cup \left( A\cap
A\right) \quad \because \text{分配律} \\
&=&\left( A\cap B\right) \cup A\quad \because \text{ベキ等律} \\
&=&A\cup \left( B\cap A\right) \quad \because \text{交換律}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、\(A\cap \left( B\cup A\right) \)において\(\cap \)と\(\cup \)を入れ替えると新たな論理式\(A\cup \left( B\cap A\right) \)が得られますが、これらは等しい集合です。

 

後ろからの分配

分配律に加えて交換律を踏まえると、任意の集合\(A,B,C\)に対して、\begin{align*}\left( A\cup B\right) \cap C& =C\cap \left( A\cup B\right) \quad \because
\text{交換律} \\
& =\left( C\cap A\right) \cup \left( C\cap B\right) \quad \because \text{分配律} \\
& =\left( A\cap C\right) \cup \left( B\cap C\right) \quad \because \text{交換律}
\end{align*}が成り立ちます。つまり、\begin{equation*}
\left( A\cup B\right) \cap C=\left( A\cap C\right) \cup \left( B\cap C\right)
\end{equation*}という形で、後ろからの分配が可能になります。同様に、\begin{equation*}
\left( A\cap B\right) \cup C=\left( A\cup C\right) \cap \left( B\cup C\right)
\end{equation*}もまた成り立ちます。

命題(後ろからの分配)

任意の集合\(A,B,C\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \left( A\cup B\right) \cap C &=&\left( A\cap C\right) \cup
\left( B\cap C\right) \\
\left( b\right) \ \left( A\cap B\right) \cup C &=&\left( A\cup C\right) \cap
\left( B\cup C\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。

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演習問題

問題(分配律)
任意の集合\(A,B,C,D\)について、\begin{equation*}\left( A\cup B\right) \cap \left( C\cup D\right) =\left( A\cap C\right) \cup
\left( A\cap D\right) \cup \left( B\cap C\right) \cup \left( B\cap D\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(分配律)
任意の集合\(A,B,C\)について、\begin{equation*}\left( A\cup B\right) \cap \left( A\cup C\right) \cap \left( B\cup C\right)
=\left( A\cap B\right) \cup \left( A\cap C\right) \cup \left( B\cap C\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(分配律の一般化)
集合\(A\)と有限\(n\)個の集合\(B_{1},\cdots ,B_{n}\)がそれぞれ任意に与えられたときに、\begin{equation*}A\cap \left( B_{1}\cup \cdots \cup B_{n}\right) =\left( A\cap B_{1}\right)
\cup \cdots \cup \left( A\cap B_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(分配律)
任意の集合\(A,B,C\)について、以下のそれぞれが成り立つ場合には証明をし、成り立たない場合には反例を提示してください。\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \left( A\cap B\right) \backslash C &=&\left( A\backslash
C\right) \cap \left( B\backslash C\right) \\
\left( b\right) \ \left( A\cap B\right) \backslash C &=&\left( A\backslash
C\right) \cup \left( B\backslash C\right) \\
\left( c\right) \ \left( A\cup B\right) \backslash C &=&\left( A\backslash
C\right) \cap \left( B\backslash C\right) \\
\left( d\right) \ \left( A\cup B\right) \backslash C &=&\left( A\backslash
C\right) \cup \left( B\backslash C\right)
\end{eqnarray*}
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次回は吸収律と呼ばれる集合演算の性質について学びます。

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