和集合と共通部分の間には分配律と呼ばれる性質が成り立ちます。
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分配律

これまで見てきた集合演算の性質はいずれも補集合、共通部分、和集合などがそれぞれ単独で満たす性質でしたが、以降では複数の異なる集合演算の間に成立する関係について考えます。

集合\(A,B,C\)を任意に選んだときに、全体集合の任意の要素\(x\in U\)について、\begin{align*}
x\in A\cap (B\cup C)& \Leftrightarrow x\in A\wedge x\in B\cup C\quad
\because \cap \text{の定義} \\
& \Leftrightarrow x\in A\wedge (x\in B\vee x\in C)\quad \because \cup \text{の定義} \\
& \Leftrightarrow (x\in A\wedge x\in B)\vee (x\in A\wedge x\in C)\quad
\because \vee ,\wedge \text{の分配律} \\
& \Leftrightarrow x\in A\cap B\vee x\in A\cap C\quad \because \cap \text{の定義} \\
& \Leftrightarrow x\in (A\cap B)\cup (A\cap C)\quad \because \cup \text{の定義}
\end{align*}が成り立つため、\begin{equation*}
\left( a\right) \ A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)
\end{equation*}という関係を得ます。\(\left( a\right) \)において\(\cap \)と\(\cup \)を置き換えると、\begin{equation*}
\left( b\right) \ A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)
\end{equation*}を得ますが、これが成り立つことも同様にして示されます。共通部分と和集合の間に成立するこのような性質を分配律(distributive law)と呼びます。

命題(分配律)
任意の集合\(A,B,C\)に対して以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ A\cap (B\cup C) &=&(A\cap B)\cup (A\cap C) \\
\left( b\right) \ A\cup (B\cap C) &=&(A\cup B)\cap (A\cup C)
\end{eqnarray*}
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例(分配律)
任意の集合\(A,B,C,D\)について、\begin{equation*}
\left( A\cup B\right) \cap \left( C\cup D\right) =\left( A\cap C\right) \cup
\left( A\cap D\right) \cup \left( B\cap C\right) \cup \left( B\cap D\right)
\end{equation*}が成り立つことを分配律から証明します。便宜的に、\begin{equation*}
X=A\cup B
\end{equation*}とおきます。すると、\begin{eqnarray*}
\left( A\cup B\right) \cap \left( C\cup D\right) &=&X\cap \left( C\cup
D\right) \quad \because X=A\cup B \\
&=&\left( X\cap C\right) \cup \left( X\cap D\right) \quad \because \text{分配律} \\
&=&\left( \left( A\cup B\right) \cap C\right) \cup \left( \left( A\cup
B\right) \cap D\right) \quad \because X=A\cup B \\
&=&\left( A\cap C\right) \cup \left( A\cap D\right) \cup \left( B\cap
C\right) \cup \left( B\cap D\right) \quad \because \text{分配律}
\end{eqnarray*}が成り立つため証明できました。

 

後ろからの分配

分配律に加えて交換律を踏まえると、任意の集合\(A,B,C\)に対して、\begin{align*}
\left( A\cup B\right) \cap C& =C\cap \left( A\cup B\right) \quad \because
\text{交換律} \\
& =\left( C\cap A\right) \cup \left( C\cap B\right) \quad \because \text{分配律} \\
& =\left( A\cap C\right) \cup \left( B\cap C\right) \quad \because \text{交換律}
\end{align*}が成り立ちます。つまり、\begin{equation*}
\left( A\cup B\right) \cap C=\left( A\cap C\right) \cup \left( B\cap C\right)
\end{equation*}という形で、後ろからの分配が可能になります。同様に、\begin{equation*}
\left( A\cap B\right) \cup C=\left( A\cup C\right) \cap \left( B\cup C\right)
\end{equation*}もまた成り立ちます。

命題(後ろからの分配)
任意の集合\(A,B,C\)に対して以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \left( A\cup B\right) \cap C &=&\left( A\cap C\right) \cup
\left( B\cap C\right) \\
\left( b\right) \ \left( A\cap B\right) \cup C &=&\left( A\cup C\right) \cap
\left( B\cup C\right)
\end{eqnarray*}
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次回は吸収律と呼ばれる集合演算の性質について学びます。

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