分配律
集合\(A,B,C\)を任意に選んだとき、以下の相等関係\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ A\cap \left( B\cup C\right) &=&\left( A\cap B\right) \cup
\left( A\cap C\right) \\
\left( b\right) \ A\cup \left( B\cap C\right) &=&\left( A\cup B\right) \cap
\left( A\cup C\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。共通部分と和集合の間に成立する以上の性質を分配律（distributive law）と呼びます。
集合\(A\)が与えられたとき、それと和集合\(B\cup C\)との共通部分をとる場合には、\(B,C\)それぞれとの共通部分をとった上で、得られた集合どうしの和集合をとってもよいことを\(\left( a\right) \)は保証します。逆もまた成立します。
集合\(A\)が与えられたとき、それと共通部分\(B\cap C\)との和集合をとる場合には、\(B,C\)それぞれとの和集合をとった上で、得られた集合どうしの共通部分をとってもよいことを\(\left( b\right) \)は保証します。逆もまた成立します。
\left( A\cap C\right) \\
\left( b\right) \ A\cup \left( B\cap C\right) &=&\left( A\cup B\right) \cap
\left( A\cup C\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。
B &=&\left\{ 2,3,4\right\} \\
C &=&\left\{ 3,4,5\right\}
\end{eqnarray*}と定義されているとき、\begin{eqnarray*}
A\cap \left( B\cup C\right) &=&\left\{ 1,2,3\right\} \cap \left( \left\{
2,3,4\right\} \cup \left\{ 3,4,5\right\} \right) \\
&=&\left\{ 1,2,3\right\} \cap \left\{ 2,3,4,5\right\} \\
&=&\left\{ 2,3\right\}
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
\left( A\cap B\right) \cup \left( A\cap C\right) &=&\left( \left\{
1,2,3\right\} \cap \left\{ 2,3,4\right\} \right) \cup \left( \left\{
1,2,3\right\} \cap \left\{ 3,4,5\right\} \right) \\
&=&\left\{ 2,3\right\} \cup \left\{ 3\right\} \\
&=&\left\{ 2,3\right\}
\end{eqnarray*}となるため、分配律\begin{equation*}
A\cap \left( B\cup C\right) =\left( A\cap B\right) \cup \left( A\cap
C\right)
\end{equation*}が成立しています。同様に、\begin{eqnarray*}
A\cup \left( B\cap C\right) &=&\left\{ 1,2,3\right\} \cup \left( \left\{
2,3,4\right\} \cap \left\{ 3,4,5\right\} \right) \\
&=&\left\{ 1,2,3\right\} \cup \left\{ 3,4\right\} \\
&=&\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
\left( A\cup B\right) \cap \left( A\cup C\right) &=&\left( \left\{
1,2,3\right\} \cup \left\{ 2,3,4\right\} \right) \cap \left( \left\{
1,2,3\right\} \cup \left\{ 3,4,5\right\} \right) \\
&=&\left\{ 1,2,3,4\right\} \cap \left\{ 1,2,3,4,5\right\} \\
&=&\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{eqnarray*}となるため、分配律\begin{equation*}
A\cup \left( B\cap C\right) =\left( A\cup B\right) \cap \left( A\cup
C\right)
\end{equation*}が成立しています。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
&&B\cap C \\
&&C\cap D
\end{eqnarray*}はいずれも集合であるため、分配律より、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \left( A\cap B\right) \cap \left( \left( B\cap C\right)
\cup \left( C\cap D\right) \right) &=&\left( \left( A\cap B\right) \cap
\left( B\cap C\right) \right) \cup \left( \left( A\cap B\right) \cap \left(
C\cap D\right) \right) \\
\left( b\right) \ \left( A\cap B\right) \cup \left( \left( B\cap C\right)
\cap \left( C\cap D\right) \right) &=&\left( \left( A\cap B\right) \cup
\left( B\cap C\right) \right) \cap \left( \left( A\cap B\right) \cup \left(
C\cap D\right) \right)
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。
A\right) \quad \because \text{分配律} \\
&=&\left( A\cap B\right) \cup A\quad \because \text{ベキ等律} \\
&=&A\cup \left( B\cap A\right) \quad \because \text{交換律}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、\(A\cap \left( B\cup A\right) \)において\(\cap \)と\(\cup \)を入れ替えると新たな集合\(A\cup \left( B\cap A\right) \)が得られますが、これらは等しい集合です。
後ろからの分配
集合\(A,B,C\)を任意に選んだとき、\begin{align*}\left( A\cup B\right) \cap C& =C\cap \left( A\cup B\right) \quad \because
\text{交換律} \\
& =\left( C\cap A\right) \cup \left( C\cap B\right) \quad \because \text{分配律} \\
& =\left( A\cap C\right) \cup \left( B\cap C\right) \quad \because \text{交換律}
\end{align*}すなわち、\begin{equation*}
\left( A\cup B\right) \cap C=\left( A\cap C\right) \cup \left( B\cap
C\right)
\end{equation*}を得ます。共通部分と和集合の立場を逆にした場合にも、\begin{align*}
\left( A\cap B\right) \cup C& =C\cup \left( A\cap B\right) \quad \because
\text{交換律} \\
& =\left( C\cup A\right) \cap \left( C\cup B\right) \quad \because \text{分配律} \\
& =\left( A\cup C\right) \cap \left( B\cup C\right) \quad \because \text{交換律}
\end{align*}すなわち、\begin{equation*}
\left( A\cap B\right) \cup C=\left( A\cup C\right) \cap \left( B\cup
C\right)
\end{equation*}を得ます。
任意の集合\(A,B,C\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \left( A\cup B\right) \cap C &=&\left( A\cap C\right) \cup
\left( B\cap C\right) \\
\left( b\right) \ \left( A\cap B\right) \cup C &=&\left( A\cup C\right) \cap
\left( B\cup C\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。
分配律の一般化
4つの集合\(A,B,C,D\)が与えられたとき、\begin{eqnarray*}A\cap \left( B\cup C\cup D\right) &=&A\cap \left( \left( B\cup C\right)
\cup D\right) \quad \because \text{結合律} \\
&=&\left( A\cap \left( B\cup C\right) \right) \cup \left( A\cap D\right)
\quad \because \text{分配律} \\
&=&\left( A\cap B\right) \cup \left( A\cap C\right) \cup \left( A\cap
D\right) \quad \because \text{分配律}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
A\cap \left( B\cup C\cup D\right) =\left( A\cap B\right) \cup \left( A\cap
C\right) \cup \left( A\cap D\right)
\end{equation*}を得ます。共通部分と和集合の立場を逆にした場合にも、\begin{eqnarray*}
A\cup \left( B\cap C\cap D\right) &=&A\cup \left( \left( B\cap C\right)
\cap D\right) \quad \because \text{結合律} \\
&=&\left( A\cup \left( B\cap C\right) \right) \cap \left( A\cup D\right)
\quad \because \text{分配律} \\
&=&\left( A\cup B\right) \cap \left( A\cup C\right) \cap \left( A\cup
D\right) \quad \because \text{分配律}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
A\cup \left( B\cap C\cap D\right) =\left( A\cup B\right) \cap \left( A\cup
C\right) \cap \left( A\cup D\right)
\end{equation*}を得ます。
集合の個数を増やした場合にも同様の議論が成立します。つまり、有限\(n+1\)個の集合\(A,B_{1},\cdots ,B_{n}\)に関して、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ A\cap \left( B_{1}\cup \cdots \cup B_{n}\right) &=&\left(
A\cap B_{1}\right) \cup \cdots \cup \left( A\cap B_{n}\right) \\
\left( b\right) \ A\cup \left( B_{1}\cap \cdots \cap B_{n}\right) &=&\left(
A\cup B_{1}\right) \cap \cdots \cap \left( A\cup B_{n}\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ A\cap \left( \bigcup\limits_{i=1}^{n}B_{i}\right)
&=&\bigcup\limits_{i=1}^{n}\left( A\cap B_{i}\right) \\
\left( b\right) \ A\cup \left( \bigcap\limits_{i=1}^{n}B_{i}\right)
&=&\bigcap\limits_{i=1}^{n}\left( A\cup B_{i}\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つということです。
有限\(n+1\)個の集合\(A,B_{1},\cdots ,B_{n}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ A\cap \left( \bigcup\limits_{i=1}^{n}B_{i}\right)
&=&\bigcup\limits_{i=1}^{n}\left( A\cap B_{i}\right) \\
\left( b\right) \ A\cup \left( \bigcap\limits_{i=1}^{n}B_{i}\right)
&=&\bigcap\limits_{i=1}^{n}\left( A\cup B_{i}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。
演習問題
\left( A\cap D\right) \cup \left( B\cap C\right) \cup \left( B\cap D\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
=\left( A\cap B\right) \cup \left( A\cap C\right) \cup \left( B\cap C\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
C\right) \cap \left( B\backslash C\right) \\
\left( b\right) \ \left( A\cap B\right) \backslash C &=&\left( A\backslash
C\right) \cup \left( B\backslash C\right) \\
\left( c\right) \ \left( A\cup B\right) \backslash C &=&\left( A\backslash
C\right) \cap \left( B\backslash C\right) \\
\left( d\right) \ \left( A\cup B\right) \backslash C &=&\left( A\backslash
C\right) \cup \left( B\backslash C\right)
\end{eqnarray*}
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