部分集合族
集合の要素がいずれも集合である場合、そのことを明示したい場合にはそれを集合族と呼びます。集合族の要素である集合がいずれもある集合\(A\)の部分集合である場合には、その集合族を\(A\)の部分集合族（family of subsets）や部分集合系（collection of subsets）と呼びます。
集合\(A\)の部分集合族\(\mathfrak{A}\)が与えられた場合、任意の集合\(B\)について以下の関係\begin{equation*}B\in \mathfrak{A}\Rightarrow B\subset A
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(\mathfrak{A}\)の要素はいずれも\(A\)の部分集合である必要があります。
その一方で、集合\(A\)の部分集合族\(\mathfrak{A}\)が与えられた場合、任意の集合\(B\)について以下の関係\begin{equation*}B\subset A\Rightarrow B\in \mathfrak{A}
\end{equation*}は成り立つとは限りません。\(A\)の部分集合は\(A\)の部分集合族の要素であるとは限らないということです。
\end{equation*}は\(A\)の部分集合族です。なぜなら、この集合族の要素\(\left\{ 1\right\} ,\left\{2\right\} ,\left\{ 3\right\} \)はいずれも\(A\)の部分集合だからです。つまり、\begin{eqnarray*}\left\{ 1\right\} &\subset &A \\
\left\{ 2\right\} &\subset &A \\
\left\{ 3\right\} &\subset &A
\end{eqnarray*}がいずれも成り立つからです。同様の理由により、以下の集合族\begin{equation*}
\left\{ \left\{ 1,2\right\} ,\left\{ 1,3\right\} ,\left\{ 2,3\right\}
\right\}
\end{equation*}は\(A\)の部分集合です。また、以下の集合族\begin{equation*}\left\{ \phi ,\left\{ 1\right\} ,\left\{ 2\right\} ,\left\{ 3\right\}
,\left\{ 1,2\right\} ,\left\{ 1,3\right\} ,\left\{ 2,3\right\} ,\left\{
1,2,3\right\} \right\}
\end{equation*}も\(A\)の部分集合族です。これらの例から明らかであるように、集合\(A\)が与えられたとき、その部分集合族は一意的ではありません。ちなみに、以下の集合族\begin{equation*}\left\{ \left\{ 1\right\} ,\left\{ 2\right\} ,\left\{ 3\right\} ,\left\{
4\right\} \right\}
\end{equation*}は\(A\)の部分集合族ではありません。なぜなら、この集合属の要素である\(\left\{ 4\right\} \)は\(A\)の部分集合ではないからです。
\end{equation*}は\(A\)の部分集合の1つです。
&&\left\{ A_{1},A_{3}\right\} \\
&&\left\{ A_{1},A_{2},A_{3}\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(A\)の部分集合族です。
有限部分集合族
有限集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)が集合\(A\)の部分集合族であることとは、この集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)の要素である集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)がいずれも\(A\)の部分集合であること、すなわち、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :A_{i}\subset A
\end{equation*}が成り立つことを意味します。このような部分集合族を\(A\)の有限部分集合族（finite family of subsets of \(A\)）と呼びます。
逆に、有限集合族\(\left\{A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)が集合\(A\)の部分集合族ではないこととは、上の命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}\exists i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :A_{i}\not\subset A
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、この集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)の要素の中に\(A\)の部分集合ではないものが存在する場合、この集合族は\(A\)の部分集合族ではありません。
\end{equation*}を定義します。つまり、\begin{eqnarray*}
A_{1} &=&\left\{ 1\right\} \\
A_{2} &=&\left\{ 1,2\right\} \\
&&\vdots \\
A_{n} &=&\left\{ 1,2,\cdots ,n\right\}
\end{eqnarray*}です。その上で、これらの集合を要素として持つ有限集合族\begin{equation*}
\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}
\end{equation*}を定義します。集合\(A_{1},A_{1},\cdots ,A_{n}\)はいずれも集合\(\left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} \)の部分集合であるため、すなわち、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :A_{i}\subset \left\{ 1,2,\cdots
,n\right\}
\end{equation*}が成り立つため、この集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)は\(\left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} \)の有限部分集合族です。
可算部分集合族
可算集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }^{{}}\)が集合\(A\)の部分集合族であることとは、この集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }^{{}}\)の要素である集合\(A_{1},A_{2},\cdots \)がいずれも\(A\)の部分集合であること、すなわち、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :A_{n}\subset A
\end{equation*}が成り立つことを意味します。このような部分集合族を\(A\)の可算部分集合族（countable family of subsets of \(A\)）と呼びます。
逆に、可算集合族\(\left\{A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }^{{}}\)が集合\(A\)の部分集合族ではないこととは、上の命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}\exists n\in \mathbb{N} :A_{n}\not\subset A
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、この集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }^{{}}\)の要素の中に\(A\)の部分集合ではないものが存在する場合、この集合族は\(A\)の部分集合族ではありません。
\end{equation*}を定義します。つまり、\begin{eqnarray*}
A_{1} &=&\left\{ 1\right\} \\
A_{2} &=&\left\{ 1,2\right\} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}です。その上で、これらの集合を要素として持つ可算集合族\begin{equation*}
\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}を定義します。集合\(A_{1},A_{1},\cdots \)はいずれも集合\(\mathbb{N} \)の部分集合であるため、すなわち、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :A_{n}\subset \mathbb{N} \end{equation*}が成り立つため、この集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)は\(\mathbb{N} \)の可算部分集合族です。
添字付けられた部分集合族
添字付けられた集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)が集合\(A\)の部分集合族であることとは、この集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素である集合\(A_{\lambda}\ \left( \lambda \in \Lambda \right) \)がいずれも\(A\)の部分集合であること、すなわち、\begin{equation*}\forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\subset A
\end{equation*}が成り立つことを意味します。このような部分集合族を\(A\)の添字付けられた部分集合族（indexed family of subsets of \(A\)）と呼びます。
逆に、添字付けられた集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)が集合\(A\)の部分集合族ではないこととは、上の命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}\exists \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\not\subset A
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、この集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }\)の要素の中に\(A\)の部分集合ではないものが存在する場合、この集合族は\(A\)の部分集合族ではありません。
\left\{ A_{x}\right\} _{x\in \left[ 0,1\right] }
\end{equation*}を定義します。集合\(A_{x}\ \left( x\in \left[ 0,1\right] \right) \)はいずれも集合\(\left[ 0,1\right] \)の部分集合であるため、すなわち、\begin{equation*}\forall x\in \left[ 0,1\right] :A_{x}\subset \left[ 0,1\right] \end{equation*}が成り立つため、この集合族\(\left\{ A_{x}\right\} _{x\in \left[ 0,1\right] }\)は\(\left[ 0,1\right] \)の添字付けられた部分集合族です。
部分集合系
集合族\(\mathfrak{A}\)の要素である集合が添字付けられていない場合、この集合族が集合\(A\)の部分集合族であることとは、この集合族の要素である集合\(B\subset \mathfrak{A}\)がいずれも\(A\)の部分集合であること、すなわち、\begin{equation*}\forall B\subset \mathfrak{A}:B\subset A
\end{equation*}が成り立つことを意味します。このような部分集合族を\(A\)の部分集合系（collection of subsets of \(A\)）と呼ぶ場合もあります。ただし、このような意味での部分集合系を部分集合族と呼ぶ場合もあるため、文脈から判断する必要があります。
逆に、添字付けられていない集合族\(\mathfrak{A}\)が集合\(A\)の部分集合族ではないこととは、上の命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}\exists B\subset \mathfrak{A}:B\not\subset A
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、この集合族\(\mathfrak{A}\)の要素の中に\(A\)の部分集合ではないものが存在する場合、この集合族は\(A\)の部分集合系ではありません。
\end{equation*}となります。この集合系の要素はいずれも\(A\)の部分集合であるため、すなわち、\begin{equation*}\forall B\in \mathfrak{A}:B\subset A
\end{equation*}が成り立つため、この集合系\(\mathfrak{A}\)は\(A\)の部分集合系です。
ベキ集合
集合\(A\)の部分集合を「すべて」集めることにより得られる\(A\)の部分集合族を\(A\)のベキ集合（power set）と呼び、これを、\begin{equation*}2^{A}=\left\{ B\ |\ B\subset A\right\}
\end{equation*}で表記します。
定義より、集合\(B\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}B\in 2^{A}\Leftrightarrow B\subset A
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、集合\(B\)が集合\(A\)のべき集合の要素であることと、\(B\)が\(A\)の部分集合であることは必要十分です。
1,2\right\} ,\left\{ 1,3\right\} ,\left\{ 2,3\right\} ,A
\end{equation*}となります。空集合\(\phi \)や集合\(A\)自身もまた\(A\)の部分集合であることに注意してください。したがって、\(A\)のべき集合はこれらの集合を要素として持つ集合族\begin{equation*}2^{A}=\left\{ \phi ,\left\{ 1\right\} ,\left\{ 2\right\} ,\left\{ 3\right\}
,\left\{ 1,2\right\} ,\left\{ 1,3\right\} ,\left\{ 2,3\right\} ,A\right\}
\end{equation*}です。ちなみに、以下の集合族\begin{equation*}
\left\{ \left\{ 1\right\} ,\left\{ 2\right\} ,\left\{ 3\right\} ,\left\{
1,2\right\} ,\left\{ 1,3\right\} ,\left\{ 2,3\right\} ,\left\{ 1,2,3\right\}
\right\}
\end{equation*}は\(A\)のべき集合ではありません。なぜなら、空集合\(\phi \)は\(A\)の部分集合であるにも関わらず、この集合族は\(\phi \)を要素として持たないからです。また、以下の集合族\begin{equation*}\left\{ \phi ,\left\{ 1\right\} ,\left\{ 2\right\} ,\left\{ 3\right\}
,\left\{ 1,2\right\} ,\left\{ 1,3\right\} ,\left\{ 2,3\right\} \right\}
\end{equation*}も\(A\)のべき集合ではありません。なぜなら、集合\(A\)は\(A\)自身の部分集合であるにも関わらず、この集合族は\(A\)を要素として持たないからです。
\end{equation*}であるため、この集合\(\left\{ a\right\} \)のべき集合は、\begin{equation*}2^{\left\{ a\right\} }=\left\{ \phi ,\left\{ a\right\} \right\}
\end{equation*}です。
\end{equation*}となります（演習問題）。
ベキ集合を用いた包含関係の表現
集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\(A\)が\(B\)の部分集合であることと、\(A\)が\(B\)のべき集合の要素であることは必要十分です。したがって、集合\(A,B\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}A\subset B\Leftrightarrow A\in 2^{B}
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}と表現できます。
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、ベキ集合を用いてこれを表現すると、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :A_{i}\in 2^{A}
\end{equation*}となります。
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、ベキ集合を用いてこれを表現すると、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :A_{n}\in 2^{A}
\end{equation*}となります。
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、ベキ集合を用いてこれを表現すると、\begin{equation*}
\forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\in 2^{A}
\end{equation*}となります。
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、ベキ集合を用いてこれを表現すると、\begin{equation*}
\forall B\subset \mathfrak{A}:B\in 2^{A}
\end{equation*}となります。
有限集合のべき集合の要素の個数
集合\(A\)が有限\(n\)個の要素を持つ場合、そのベキ集合\(2^{A}\)の要素である集合の個数は\(2^{n}\)です。これがベキ集合という名称の根拠であり、集合\(A\)のベキ集合を\(2^{A}\)と表記する根拠です。
演習問題
A=\left\{ 1\right\}
\end{equation*}のベキ集合\(2^{A}\)を特定してください。さらに、得られたベキ集合のベキ集合\(2^{2^{A}}\)を特定してください。
A=\left\{ \left\{ 1\right\} \right\}
\end{equation*}のベキ集合\(2^{A}\)を特定してください。さらに、得られたベキ集合のベキ集合\(2^{2^{A}}\)を特定してください。
\end{equation*}であることを示してください。
A=\left\{ \phi \right\}
\end{equation*}のベキ集合\(2^{A}\)を特定してください。さらに、得られたベキ集合のベキ集合\(2^{2^{A}}\)を特定してください。
A=\left\{ 1,2,\left\{ 1,3\right\} \right\}
\end{equation*}のベキ集合\(2^{A}\)を特定してください。
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