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共通部分

集合演算子\(\cap \)を共通部分(intersection)と呼び、集合\(A,B\)に\(\cap \)を作用させることで得られる集合を\(A\)\(B\)の共通部分(intersection of \(A\ \)and \(B\))と呼び、これを\(A\cap B\)と表記します。全体集合\(U\)と集合\(A,B\)が与えられたとき、\(A\)と\(B\)の共通部分\(A\cap B\)とは\(A\)と\(B\)の両方に属する\(U\)の要素からなる集合\begin{equation*}A\cap B=\left\{ x\in U\ |\ x\in A\wedge x\in B\right\}
\end{equation*}として定義されます。このとき、任意の\(x\in U\)に対して、\begin{equation*}x\in A\cap B\Leftrightarrow \left( x\in A\wedge x\in B\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、全体集合\(U\)の要素\(x\)を任意にとったとき、\(x\)が共通部分\(A\cap B\)の要素であることと\(x\)が\(A\)と\(B\)双方の要素であることは必要十分です。

例(共通部分)
集合\(A=\{1,2,4,6,a\}\)と集合\(B=\{4,a,b,c,d,e\}\)の共通部分は\(A\cap B=\{4,a\}\)です。
例(共通部分)
集合\(A=\{1,2,3\}\)と集合\(B=\{4,5,6\}\)の共通部分は\(A\cap B=\phi \)です。
例(共通部分)
集合\(A=\left[ 0,2\right] \)と集合\(B=\left[ 1,3\right] \)の共通部分は\(A\cap B=\left[ 1,2\right] \)です。
例(共通部分)
集合\(A\)を任意に選んだ上で、その補集合\(A^{c}\)をとります。補集合の定義より、\(A\)と\(A^{c}\)の双方に属する要素は存在しないため、\begin{equation*}A\cap A^{c}=\phi
\end{equation*}という関係が成り立ちます(厳密な証明は演習問題にします)。

例(共通部分)
全体集合\(U\)はすべての人間からなる集合であるものとします。\(A\)はすべての\(20\)歳以上の人間からなる集合であり、\(B\)はすべての男性からなる集合であるとき、\begin{eqnarray*}A\cap B &=&\left\{ x\in U\ |\ x\text{は}20\text{歳以上の男性}\right\} \\
A^{c}\cap B &=&\left\{ x\in U\ |\ x\text{は}19\text{歳以下の男性}\right\} \\
A\cap B^{c} &=&\left\{ x\in U\ |\ x\text{は}20\text{歳以上の非男性}\right\} \\
A^{c}\cap B^{c} &=&\left\{ x\in U\ |\ x\text{は}19\text{歳以下の非男性}\right\}
\end{eqnarray*}などとなります。

 

共通部分の内包的表現

全体集合が\(U\)であるとします。このとき、議論の対象である2つの集合\(A,B\)を内包的に表現することは、何らかの命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left(x\right) \)を導入した上で、\(U\)の要素の中でも命題\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)が真になるようなものからなる集合\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \right\} \\
B &=&\left\{ x\in U\ |\ Q\left( x\right) \right\}
\end{eqnarray*}をそれぞれ考えることを意味します。では、これらの集合\(A,B\)の共通部分\(A\cap B\)はどのような形で内包的に表現できるでしょうか。任意の\(x\in U\)に対して、\begin{eqnarray*}x\in A\cap B &\Leftrightarrow &x\in A\wedge x\in B\quad \because A\cap B\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \quad \because A,B\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
A\cap B=\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right\}
\end{equation*}となります。つまり、全体集合\(U\)に属する要素の中でも命題\(P\left(x\right) ,Q\left( x\right) \)がともに真になるような要素\(x\)からなる集合が\(A\cap B\)です。共通部分\(\cap \)という集合演算は論理積\(\wedge \)から間接的に定義可能であるということです。

表:共通部分
表:共通部分

同じことを視覚的に表現します。全体集合\(U\)が上の長方形の領域として描かれているものとします。集合\(A\)が命題関数\(P\left( x\right) \)から内包的に定義されているとき、\(A\)は命題\(P\left( x\right) \)が真になるような値\(x\in U\)からなる集合、すなわち\(P\left( x\right) \)の真理集合\(\phi \left( P\right) \)と一致します。同様に、集合\(B\)が命題関数\(Q\left( x\right) \)から内包的に定義されているとき、\(A\)は\(Q\left(x\right) \)の真理集合\(\phi \left( Q\right) \)と一致します。一方、共通部分\(A\cap B\)は論理積\(P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \)の真理集合\(\phi \left( P\wedge Q\right) \)と一致し、これは上図においてグレーの領域として描かれています。

例(共通部分)
集合\(A,B\)が、\begin{align*}A& =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 1<x<10\right\} \\
B& =\{x\in \mathbb{R} \ |\ x\text{は}3\text{の倍数}\}
\end{align*}と内包的に定義されているとき、それらの共通部分は、\begin{eqnarray*}
A\cap B &=&\{x\in \mathbb{R} \ |\ x\text{は}1<x<10\text{を満たす}3\text{の倍数}\} \\
&=&\{3,6,9\}
\end{eqnarray*}となります。

例(共通部分)
集合\(A,B\)が、\begin{align*}X& =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}-1=0\right\} \\
Y& =\{x\in \mathbb{R} \ |\ x<0\}
\end{align*}と内包的に定義されているとき、それらの共通部分は、\begin{eqnarray*}
A\cap B &=&\{x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}-1=0\wedge x<0\} \\
&=&\{-1\}
\end{eqnarray*}となります。

例(共通部分)
集合\(A\)が任意に与えられたとき、任意の\(x\in U\)について、\begin{eqnarray*}x\in A\cap \phi &\Leftrightarrow &x\in A\wedge x\in \phi \quad \because
\text{共通部分の定義} \\
&\Leftrightarrow &x\in \phi \quad \because x\in \phi \text{は恒偽式}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
A\cap \phi =\phi
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、任意の集合と空集合の共通部分は空集合と一致します。同様にして、\begin{equation*}
A\cap U=A
\end{equation*}が成り立つことも示されます(演習問題にします)。つまり、任意の集合と全体集合の共通部分はもとの集合と一致します。

 

共通部分と部分集合の関係

全体集合を\(U\)とします。集合\(A,B\)が\(A\cap B=A\)を満たす場合、任意の\(x\in U\)に対して、\begin{eqnarray*}x\in A &\Leftrightarrow &x\in A\cap B\quad \because A\cap B=A \\
&\Leftrightarrow &x\in A\ \wedge \ x\in B\quad \because \cap \text{の定義} \\
&\Rightarrow &x\in B
\end{eqnarray*}となるため\(A\subset B\)が成り立ちます。逆に、\(A\subset B\)から\(A\cap B=A\)を導くこともできます(演習問題にします)。

命題(共通部分による包含関係の定義)
集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\(A\cap B=A\)が成り立つことは、\(A\subset B\)が成り立つための必要十分条件である。
証明

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上の命題は、包含関係\(\subset \)という概念が共通部分\(\cap \)という集合演算から間接的に定義可能であることを示唆します。つまり、\(\cap \)が与えられたとき、任意の集合\(A,B\)に対して、\begin{equation*}A\subset B\Leftrightarrow A\cap B=A
\end{equation*}を満たすものとして\(\subset \)を定義できるということです。

共通部分\(\cap \)が与えられればそこから間接的に包含関係\(\subset \)を定義できることが明らかになりましたが、実はその逆も成立します。まずは以下の命題を示します(演習問題にします)。

命題(包含関係による共通部分の定義)
任意の集合\(A,B,C\)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A\cap B\subset A \\
&&\left( b\right) \ A\cap B\subset B \\
&&\left( c\right) \ (C\subset A)\wedge (C\subset B)\Rightarrow C\subset
A\cap B
\end{eqnarray*}が成り立つ。

証明

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集合\(A,B\)を任意に選ぶと、\(\left( a\right) \)と\(\left( b\right) \)より、それらの共通部分\(A\cap B\)は\(A\)と\(B\)の両方の部分集合になります。さらに、\(A\)と\(B\)双方の部分集合であるような集合\(C\)を任意に選ぶと、\(\left( c\right) \)より、これは必ず\(A\cap B\)の部分集合になります。したがって、上の命題は、共通部分\(A\cap B\)は\(A\)と\(B\)の両方に部分集合として含まれる集合の中でも最大の集合であることを示唆します。この事実は、共通部分\(\cap \)という集合演算が包含関係\(\subset \)から間接的に定義可能な概念であることを示唆します。つまり、\(\subset \)が与えられたとき、集合\(A,B\)について、「\(A\)と\(B\)双方の部分集合であるような集合の中でも最大の集合」として\(A\cap B\)を定義できるということです。

 

演習問題

問題(共通部分)
全体集合\(U\)と集合\(A,B\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}U &=&\left\{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8\right\} \\
A &=&\left\{ 0,2,4,6,8\right\} \\
B &=&\left\{ 1,3,5,7\right\}
\end{eqnarray*}で与えられているとき、以下のそれぞれの集合を外延的に表記してください。

  1. \(A\cap A^{c}\)
  2. \(A\cap B\)
  3. \(A\cap B^{c}\)
  4. \(A^{c}\cap B^{c}\)
  5.  \(\left( A\cap B\right) ^{c}\)
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問題(補集合との共通部分)
任意の集合\(A\)について、\begin{equation*}A\cap A^{c}=\phi
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。

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問題(空集合や全体集合との共通部分)
任意の集合\(A\)と全体集合\(U\)および空集合\(\phi \)の間には以下の関係\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A\cap \phi =\phi \\
&&\left( b\right) \ A\cap U=A
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを証明してください。

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問題(包含関係の特徴づけ)
集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\subset B\Leftrightarrow A\cap B^{c}=\phi
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。

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