集合 X,Y の双方に属する要素からなる集合を X と Y の共通部分と呼びます。集合 X が命題関数 P(x) から、集合 Y が命題関数 Q(x) からそれぞれ内包的に定義されるとき、X と Y の共通部分とは 2 つの命題 P(x), Q(x) がともに真になるような要素 x からなる集合です。

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共通部分

集合演算子\(\cap \)を共通部分(intersection)と呼び、集合\(A,B\)に\(\cap \)を作用させることで得られる集合を\(A\)と\(B\)の共通部分(intersection of \(A\ \)and \(B\))と呼び、これを\(A\cap B\)と表記します。全体集合\(U\)と集合\(A,B\)が与えられたとき、\(A\)と\(B\)の共通部分とは、\(A\)と\(B\)の両方に属する要素からなる集合\begin{equation*}
A\cap B=\left\{ x\in U\ |\ x\in A\ \wedge \ x\in B\right\}
\end{equation*}として定義されます。このとき、任意の\(x\in U\)に対して、\begin{equation*}
x\in A\cap B\ \Leftrightarrow \ \left( x\in A\ \wedge \ x\in B\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

例(共通部分)
集合\(A=\{1,2,4,6,a\}\)と集合\(B=\{4,a,b,c,d,e\}\)の共通部分は\(A\cap B=\{4,a\}\)です。
例(共通部分)
集合\(A=\{1,2,3\}\)と集合\(B=\{4,5,6\}\)の共通部分は\(A\cap B=\phi \)です。
例(共通部分)
集合\(A=\left[ 0,2\right] \)と集合\(B=\left[ 1,3\right] \)の共通部分は\(A\cap B=\left[ 1,2\right] \)です。

 

共通部分の内包的表現

集合\(A,B\)が命題関数を用いて、\begin{eqnarray}
A &=&\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \right\} \tag{1} \\
B &=&\left\{ x\in U\ |\ Q\left( x\right) \right\} \tag{2}
\end{eqnarray}と内包的に定義されているものとします。このとき、任意の\(x\in U\)に対して、\begin{eqnarray*}
x\in A\cap B &\Leftrightarrow &\left( x\in A\wedge x\in B\right) \quad
\because \cap \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \quad \because A,B\text{の定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立つため、\(A\)と\(B\)の共通部分を、\begin{equation}
A\cap B=\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right\}
\tag{3}
\end{equation}と表現することもできます。つまり、全体集合\(U\)に属する要素の中でも、命題\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)がともに真になるような要素\(x\)からなる集合が\(A\cap B\)です。共通部分\(\cap \)という集合演算は、論理積\(\wedge \)という論理演算から間接的に定義される概念です。

論理積ついて復習する

全体集合\(U\)は下図において長方形の領域として表されます。集合\(A\)は命題関数\(P\left( x\right) \)から\(\left( 1\right) \)のように、集合\(B\)は命題関数\(Q\left( x\right)\)から\(\left( 2\right) \)のようにそれぞれ内包的に定義されるとき、\(A\)は\(P\left( x\right)\)の真理集合\(\phi \left( P\right) \)と一致し、\(B\)は\(Q\left( x\right) \)の真理集合\(\phi \left( Q\right) \)と一致します。共通部分\(A\cap B\)は下図ではグレーの領域として表されますが、これは論理積\(P\left( x\right) \wedge Q\left( X\right) \)の真理集合\(\phi \left( P\wedge Q\right) \)である\(\left( 3\right) \)と一致します。

表:共通部分
表:共通部分
例(共通部分)
集合\(X,Y\)が、\begin{align*}
X& =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 1<x<10\right\} \\
Y& =\{x\in \mathbb{R} \ |\ x\text{は}3\text{の倍数}\}
\end{align*}としてそれぞれ与えられているとき、それらの共通部分は、\begin{eqnarray*}
X\cap Y &=&\{x\in \mathbb{R} \ |\ x\text{は}1<x<10\text{を満たす}3\text{の倍数}\} \\
&=&\{3,6,9\}
\end{eqnarray*}となります。
例(共通部分)
集合\(X,Y\)が、\begin{align*}
X& =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}-1=0\right\} \\
Y& =\{x\in \mathbb{R} \ |\ x<0\}
\end{align*}としてそれぞれ与えられているとき、それらの共通部分は、\begin{eqnarray*}
X\cap Y &=&\{x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}-1=0\ \wedge \ x<0\} \\
&=&\{-1\}
\end{eqnarray*}となります。
例(共通部分)
集合\(A\)と空集合\(\phi \)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \right\} \\
\phi &=&\left\{ x\in U\ |\ \bot \right\}
\end{eqnarray*}と内包的に定義されているものとします。ただし、\(\bot \)は恒偽式です。このとき、任意の\(x\in U\)について、\begin{eqnarray*}
x\in A\cap \phi &\Leftrightarrow &x\in A\wedge x\in \phi \quad \because
\cap \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \wedge \bot \quad \because A,\phi \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\bot \\
&\Leftrightarrow &x\in \phi \quad \because \phi \text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(A\cap \phi =\phi \)が成り立ちます。同様にして、\(A\cap U=A\)であることが示されます。

 

共通部分による包含関係の定義

全体集合を\(U\)とします。集合\(A,B\)が\(A\cap B=A\)を満たす場合、任意の\(x\in U\)に対して、\begin{eqnarray*}
x\in A &\Leftrightarrow &x\in A\cap B\quad \because A\cap B=A \\
&\Leftrightarrow &x\in A\ \wedge \ x\in B\quad \because \cap \text{の定義} \\
&\Rightarrow &x\in B
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(A\subset B\)が成り立つことを意味します。また、逆に、\(A\subset B\)から\(A\cap B=A\)を導くこともできます(演習問題にします)。

命題(共通部分による包含関係の定義)
集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\(A\cap B=A\)が成り立つことは、\(A\subset B\)が成り立つための必要十分条件である。
証明を見る(プレミアム会員限定)

上の命題の意味を以下に視覚化しました。下図では\(A\subset B\)が成り立っています。共通部分\(A\cap B\)は下図のグレーの領域であり、これは\(A\)と一致しています。

図:包含関係と共通部分
図:包含関係と共通部分

この命題は、包含関係\(\subset \)という概念が、共通部分\(\cap \)という集合演算から間接的に定義可能であることを示唆します。つまり、\(\cap \)が与えられたとき、任意の集合\(A,B\)に対して、\begin{equation*}
A\subset B\ \Leftrightarrow \ A\cap B=A
\end{equation*}を満たすものとして\(\subset \)を定義できるということです。

 

包含関係による共通部分の定義

共通部分\(\cap \)が与えられれば、そこから間接的に包含関係\(\subset \)を定義できることが明らかになりましたが、実はその逆も成立します。

命題(包含関係による共通部分の定義)
任意の集合\(A,B,C\)について以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ A\cap B\subset A \\
&&\left( b\right) \ A\cap B\subset B \\
&&\left( c\right) \ (C\subset A)\ \wedge \ (C\subset B)\ \Rightarrow \
C\subset A\cap B
\end{eqnarray*}
証明を見る(プレミアム会員限定)

集合\(A,B\)を任意に選ぶと、\(\left( a\right) \)と\(\left( b\right) \)より、それらの共通部分\(A\cap B\)は\(A\)と\(B\)の両方の部分集合です。さらに、\(A\)と\(B\)の両方の部分集合であるような集合\(C\)を任意に選ぶと、\(\left( c\right) \)より、\(C\)は必ず\(A\cap B\)の部分集合になります。したがって、上の命題は、共通部分\(A\cap B\)は\(A\)と\(B\)の両方に部分集合として含まれる集合の中でも最大の集合であることを示唆します。

この事実は、共通部分\(\cap \)という集合演算が、包含関係\(\subset \)から間接的に定義可能な概念であることを示唆します。つまり、\(\subset \)が与えられたとき、集合\(A,B\)について、「\(A\)と\(B\)の両方に部分集合として含まれる集合の中でも最大の集合」として\(A\cap B\)を定義できるということです。

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