共通部分

共通部分

2つの集合\(A,B\)に集合演算子\(\cap \)を作用することで得られる、\begin{equation*}A\cap B
\end{equation*}もまた集合です。\(\cap \)は共通部分（intersection）と呼ばれる集合演算子であり、集合\(A\cap B\)を\(A\)と\(B\)の共通部分（intersection of \(A\ \)and \(B\)）と呼びます。

全体集合が\(U\)であるものとします。集合\(A,B\)が与えられたとき、それらの共通部分\(A\cap B\)とは、\(U\)の要素の中でも\(A\)と\(B\)の双方に属するものからなる集合\begin{equation*}A\cap B=\left\{ x\in U\ |\ x\in A\wedge x\in B\right\}
\end{equation*}として定義されます。定義より、以下の関係\begin{equation*}
\forall x\in U:\left[ x\in A\cap B\Leftrightarrow \left( x\in A\wedge x\in
B\right) \right] \end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(x\)が共通部分\(A\cap B\)の要素であることと、\(x\)が\(A\)と\(B\)の双方の要素であることは必要十分です。このとき、\begin{equation*}\forall x\in U:\left[ x\not\in A\cap B\Leftrightarrow \left( x\not\in A\vee
x\not\in B\right) \right] \end{equation*}もまた成り立ちます。つまり、\(x\)が共通部分\(A\cap B\)の要素ではないことと、\(x\)が\(A\)または\(B\)の少なくとも一方の要素ではないことは必要十分です。

共通部分の内包的表現

全体集合が\(U\)である状況を想定します。集合\(A\)は以下の条件\begin{equation*}\forall x\in U:\left[ x\in A\Leftrightarrow P\left( x\right) \right] \end{equation*}を満たす命題関数\(P\left(x\right) \)の真理集合として表現可能です。つまり、全体集合\(U\)に属する要素の中でも命題\(P\left( x\right) \)が真になるような要素\(x\)からなる集合が\(A\)であり、\begin{equation*}A=\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と表現できるということです。

2つの集合\(A,B\)がそれぞれ命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)を用いて内包的に定義されている場合、それらの共通部分\(A\cap B\)はどのような命題関数を用いて内包的に表現されるでしょうか。集合\(A,B\)がそれぞれ、\begin{eqnarray}A &=&\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \right\} \quad \cdots (1) \\
B &=&\left\{ x\in U\ |\ Q\left( x\right) \right\} \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}と定義されているものとします。共通部分の定義より、任意の\(x\in U\)について、\begin{equation}x\in A\cap B\Leftrightarrow x\in A\wedge x\in B \quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立ちます。以上を踏まえると、任意の\(x\in U\)について、\begin{eqnarray*}x\in A\cap B &\Leftrightarrow &x\in A\wedge x\in B\quad \because \left(
3\right) \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \quad \because
\left( 1\right) ,\left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、以下の命題\begin{equation*}
\forall x\in U:\left[ x\in A\cap B\Leftrightarrow P\left( x\right) \wedge
Q\left( x\right) \right] \end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、共通部分\(A\cap B\)は論理積\(P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \)の真理集合として表現されるため、\begin{equation*}A\cap B=\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right\}
\end{equation*}となります。全体集合\(U\)に属する要素の中でも命題\(P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \)が真、すなわち命題\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)がともに真になるような要素\(x\)からなる集合が\(A\cap B\)です。共通部分\(\cap \)という集合演算は論理積\(\wedge \)から間接的に定義可能であるということです。

つまり、集合\(A,B\)が命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)を用いてそれぞれ表現されている場合、それらの論理積\(P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \)をとれば、共通部分\(A\cap B\)を特定できるということです。

上の命題の主張を視覚的に表現したものが以下の図です。

全体集合\(U\)が上の長方形の領域として描かれているものとします。集合\(A\)が命題関数\(P\left( x\right) \)から内包的に定義されているとき、\(A\)は命題\(P\left( x\right) \)が真になるような値\(x\in U\)からなる集合、すなわち\(P\left(x\right) \)の真理集合\(\phi \left( P\right) \)と一致します。同様に、集合\(B\)が命題関数\(Q\left( x\right) \)から内包的に定義されているとき、\(B\)は\(Q\left( x\right) \)の真理集合\(\phi\left( Q\right) \)と一致します。一方、共通部分\(A\cap B\)は論理積\(P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \)の真理集合\(\phi \left( P\wedge Q\right) \)と一致し、これは上図においてグレーの領域として描かれています。

空集合や全体集合との共通部分

全体集合\(U\)は恒真式\(\top \)を用いて内包的に表現され、空集合\(\phi \)は恒偽式\(\bot \)を用いて内包的に表現されます。つまり、\begin{eqnarray*}U &=&\left\{ x\in U\ |\ \top \right\} \\
\phi &=&\left\{ x\in U\ |\ \bot \right\}
\end{eqnarray*}です。以上の事実を用いると、全体集合や空集合との共通部分に関する以下の命題が導かれます。つまり、集合が与えられたとき、空集合との共通部分をとると空集合が得られ、全体集合との共通部分をとっても集合として変化しません。

補集合との共通部分

集合\(A\)を任意に選んだ上で、その補集合\(A^{c}\)をとります。補集合\(A^{c}\)は集合\(A\)に属さない要素からなる集合であるため、\(A\)と\(A^{c}\)の双方に属する要素は存在せず、したがって、\begin{equation*}A\cap A^{c}=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。集合と補集合の共通部分は空集合であるということです。

共通部分を用いた包含関係の定義

全体集合を\(U\)とします。集合\(A,B\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}A\subset B\Leftrightarrow A\cap B=A
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、\(A\)が\(B\)の部分集合であることと、\(A\)と\(B\)の共通部分が\(A\)と一致することは必要十分です。

上の命題は、包含関係\(\subset \)という概念が共通部分\(\cap \)という集合演算から間接的に定義可能であることを示唆します。つまり、\(\cap \)が与えられたとき、任意の集合\(A,B\)に対して、\begin{equation*}A\subset B\Leftrightarrow A\cap B=A
\end{equation*}を満たすものとして\(\subset \)を定義できるということです。

包含関係を用いた共通部分の定義

共通部分\(\cap \)が与えられればそこから間接的に包含関係\(\subset \)を定義できることが明らかになりましたが、実はその逆も成立します。まずは以下の命題を示します。

集合\(A,B\)を任意に選ぶと、\(\left( a\right) \)と\(\left( b\right) \)より、それらの共通部分\(A\cap B\)は\(A\)と\(B\)の双方の部分集合になります。さらに、\(A\)と\(B\)双方の部分集合であるような集合\(C\)を任意に選ぶと、\(\left( c\right) \)より、これは必ず\(A\cap B\)の部分集合になります。したがって、上の命題は、共通部分\(A\cap B\)は\(A\)と\(B\)の双方の部分集合として含まれる集合の中でも最大の集合であることを示唆します。この事実は、共通部分\(\cap \)という集合演算が包含関係\(\subset \)から間接的に定義可能な概念であることを示唆します。つまり、\(\subset \)が与えられたとき、集合\(A,B\)について、「\(A\)と\(B\)双方の部分集合であるような集合の中でも最大の集合」として\(A\cap B\)を定義できるということです。

演習問題