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二重補集合の法則

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二重補集合の法則

集合\(A\)を任意に選んだとき、その補集合\(A^{c}\)は集合であるため、さらにその補集合\(\left(A^{c}\right) ^{c}\)もまた集合です。これを\(A\)の二重補集合(double complement)と呼びます。

全体集合の任意の要素\(x\in U\)について、\begin{eqnarray*}x\in \left( A^{c}\right) ^{c} &\Leftrightarrow &\lnot \left( x\in
A^{c}\right) \quad \because \text{補集合の定義} \\
&\Leftrightarrow &\lnot \lnot \left( x\in A\right) \quad \because \text{補集合の定義} \\
&\Leftrightarrow &x\in A\quad \because \text{二重否定}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left( A^{c}\right) ^{c}=A
\end{equation*}が成り立ちます。集合の二重補集合はもとの集合と等しいということです。補集合\(c\)が満たすこの性質を二重補集合の法則(law of double complements)と呼びます。

命題(二重補集合の法則)
任意の集合\(A\)に対して、\begin{equation*}(A^{c})^{c}=A
\end{equation*}が成り立つ。
例(二重補集合の法則)
全体集合が\(U=\{1,2,3,4,5,6\}\)であるとき、集合\(A=\{1,3,5\}\)について、\begin{eqnarray*}A^{c} &=&U\backslash A=\left\{ 2,4,6\right\} \\
\left( A^{c}\right) ^{c} &=&U\backslash A^{c}=\left\{ 1,3,5\right\}
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( A^{c}\right) ^{c}=A\)が成り立ちます。この結果は先の命題と整合的です。
例(二重補集合の法則)
全体集合が\(U=\left[ 0,1\right] \)であるとき、集合\(A=\left[ 0,\frac{1}{2}\right] \)について、\begin{eqnarray*}A^{c} &=&U\backslash A=\left( \frac{1}{2},1\right] \\
\left( A^{c}\right) ^{c} &=&U\backslash A^{c}=\left[ 0,\frac{1}{2}\right] \end{eqnarray*}となるため、\(\left( A^{c}\right) ^{c}=A\)が成り立ちます。この結果は先の命題と整合的です。
例(二重補集合の法則)
集合\(A\)が、\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ x\text{は偶数}\right\}
\end{equation*}として与えられるとき、その補集合は、\begin{eqnarray*}
A^{c} &=&\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ x\text{は偶数ではない}\right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ x\text{は奇数}\right\}
\end{eqnarray*}であり、二重補集合は、\begin{eqnarray*}
\left( A^{c}\right) ^{c} &=&\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ x\text{は奇数ではない}\right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ x\text{は偶数}\right\}
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( A^{c}\right) ^{c}=A\)が成り立ちます。この結果は先の命題と整合的です。
例(二重補集合律)
集合\(A,B\)を被演算子とする集合\begin{equation*}\left( A^{c}\cup B^{c}\right) ^{c}
\end{equation*}が集合\(A\cap B\)と等しいことを示します。実際、\begin{eqnarray*}\left( A^{c}\cup B^{c}\right) ^{c} &=&\left( A^{c}\right) ^{c}\cap \left(
B^{c}\right) ^{c}\quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&=&A\cap B\quad \because \text{二重補集合の法則}
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

 

二重補集合の法則の一般化

集合\(A\)の二重補集合\(\left(A^{c}\right) ^{c}\)は集合であるため、さらにその補集合\(\left( \left( A^{c}\right) ^{c}\right) ^{c}\)や、さらにその補集合\(\left( \left(\left( A^{c}\right) ^{c}\right) ^{c}\right) ^{c}\)なども集合です。先の命題を繰り返し適用すれば、それらはいずれも\(A\)もしくは\(A^{c}\)と等しくなります。例えば、三重補集合\(\left( \left( A^{c}\right)^{c}\right) ^{c}\)に関しては、\begin{equation*}\left( \left( A^{c}\right) ^{c}\right) ^{c}=A^{c}
\end{equation*}が成り立ち、四重補集合\(\left( \left( \left( A^{c}\right) ^{c}\right) ^{c}\right)^{c}\)に関しては、\begin{equation*}\left( \left( \left( A^{c}\right) ^{c}\right) ^{c}\right) ^{c}=A
\end{equation*}が成り立ちます。以降についても同様です。

例(二重補集合律の一般化)
集合\(A\)が、\begin{equation*}A=\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と内包的に定義されているものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
A^{c} &=&\left\{ x\in U\ |\ \lnot P\left( x\right) \right\} \\
\left( A^{c}\right) ^{c} &=&\left\{ x\in U\ |\ \lnot \lnot P\left( x\right)
\right\} =\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \right\} =A \\
\left( \left( A^{c}\right) ^{c}\right) ^{c} &=&\left\{ x\in U\ |\ \lnot
\lnot \lnot P\left( x\right) \right\} =\left\{ x\in U\ |\ \lnot P\left(
x\right) \right\} =A^{c} \\
\left( \left( \left( A^{c}\right) ^{c}\right) ^{c}\right) ^{c} &=&\left\{
x\in U\ |\ \lnot \lnot \lnot \lnot P\left( x\right) \right\} =\left\{ x\in
U\ |\ P\left( x\right) \right\} =A
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

演習問題

問題(二重補集合の法則)
任意の集合\(A,B\)について、\begin{equation*}\left( \left( \left( A^{c}\cup B\right) ^{c}\right) ^{c}\right) ^{c}=A\cap
B^{c}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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