二重補集合の法則
集合\(A\)を任意に選んだとき、その補集合\(A^{c}\)は集合であるため、さらにその補集合\begin{equation*}\left( A^{c}\right) ^{c}
\end{equation*}をとることができます。これを\(A\)の二重補集合（double complement）と呼びます。
集合の二重補集合はもとの集合と一致します。つまり、\begin{equation*}
\left( A^{c}\right) ^{c}=A
\end{equation*}が成り立ちます。これを二重補集合の法則（law of double complements）と呼びます。
\end{equation*}が成り立つ。
A &=&\left\{ 1,3,5\right\}
\end{eqnarray*}として与えられているとき、補集合は、\begin{eqnarray*}
A^{c} &=&U\backslash A \\
&=&\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\} \backslash \left\{ 1,3,5\right\} \\
&=&\left\{ 2,4,6\right\}
\end{eqnarray*}であり、二重補集合は、\begin{eqnarray*}
\left( A^{c}\right) ^{c} &=&U\backslash A^{c} \\
&=&\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\} \backslash \left\{ 2,4,6\right\} \\
&=&\left\{ 1,3,5\right\}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\left( A^{c}\right) ^{c}=A
\end{equation*}が成り立ちます。以上の結果は二重補集合の法則と整合的です。
A &=&\left[ 0,\frac{1}{2}\right] \end{eqnarray*}として与えられているとき、補集合は、\begin{eqnarray*}
A^{c} &=&U\backslash A \\
&=&\left[ 0,1\right] \backslash \left[ 0,\frac{1}{2}\right] \\
&=&\left( \frac{1}{2},1\right] \end{eqnarray*}であり、二重補集合は、\begin{eqnarray*}
\left( A^{c}\right) ^{c} &=&U\backslash A^{c} \\
&=&\left[ 0,1\right] \backslash \left( \frac{1}{2},1\right] \\
&=&\left[ 0,\frac{1}{2}\right] \end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\left( A^{c}\right) ^{c}=A
\end{equation*}が成り立ちます。以上の結果は二重補集合の法則と整合的です。
\end{equation*}として与えられるとき、その補集合は、\begin{eqnarray*}
A^{c} &=&\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ x\text{は偶数ではない}\right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ x\text{は奇数}\right\}
\end{eqnarray*}であり、二重補集合は、\begin{eqnarray*}
\left( A^{c}\right) ^{c} &=&\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ x\text{は奇数ではない}\right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ x\text{は偶数}\right\}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left( A^{c}\right) ^{c}=A
\end{equation*}が成り立ちます。以上の結果は二重補集合の法則と整合的です。
二重補集合の法則の一般化
集合\(A\)の二重補集合\(\left(A^{c}\right) ^{c}\)は集合であるため、さらにその補集合\(\left( \left( A^{c}\right) ^{c}\right) ^{c}\)や、さらにその補集合\(\left( \left(\left( A^{c}\right) ^{c}\right) ^{c}\right) ^{c}\)なども集合です。先の命題を繰り返し適用すれば、それらはいずれも\(A\)もしくは\(A^{c}\)と等しくなります。三重補集合\(\left( \left( A^{c}\right) ^{c}\right) ^{c}\)に関しては、\begin{equation*}\left( \left( A^{c}\right) ^{c}\right) ^{c}=A^{c}
\end{equation*}が成り立ち、四重補集合\(\left( \left( \left( A^{c}\right) ^{c}\right) ^{c}\right)^{c}\)に関しては、\begin{equation*}\left( \left( \left( A^{c}\right) ^{c}\right) ^{c}\right) ^{c}=A
\end{equation*}が成り立ちます。以降についても同様です。
\end{equation*}で表記する。このとき、以下の関係\begin{equation*}
A^{c^{n}}=\left\{
\begin{array}{cl}
A^{c} & \left( if\ n\text{が奇数}\right) \\
A & \left( if\ n\text{が偶数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}と内包的に定義されているものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
A^{c} &=&\left\{ x\in U\ |\ \lnot P\left( x\right) \right\} \\
\left( A^{c}\right) ^{c} &=&\left\{ x\in U\ |\ \lnot \lnot P\left( x\right)
\right\} =\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \right\} =A \\
\left( \left( A^{c}\right) ^{c}\right) ^{c} &=&\left\{ x\in U\ |\ \lnot
\lnot \lnot P\left( x\right) \right\} =\left\{ x\in U\ |\ \lnot P\left(
x\right) \right\} =A^{c} \\
\left( \left( \left( A^{c}\right) ^{c}\right) ^{c}\right) ^{c} &=&\left\{
x\in U\ |\ \lnot \lnot \lnot \lnot P\left( x\right) \right\} =\left\{ x\in
U\ |\ P\left( x\right) \right\} =A
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
演習問題
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
B^{c}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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