集合列の極限（収束する集合列）
集合が順番に並んだ集合列が与えられたとき、最終的にどのような集合へ落ち着くのかを考えたくなります。そこで、各要素が最終的に集合へ属するかどうかという観点から、集合列の極限を定義します。
全体集合が\(U\)であるものとします。\(U\)上の集合列\(\left\{ A_{n}\right\} \)に対して、以下の条件\begin{equation*}\forall x\in U,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\Rightarrow \left( x\in A_{n}\Leftrightarrow x\in A\right) \right]
\end{equation*}を満たす集合\(A\subset U\)が存在する場合には、\(\left\{A_{n}\right\} \)は\(A\)へ収束する（converge）と言います。さらに、\(A\)を\(\left\{ A_{n}\right\} \)の極限（limit）と呼び、そのことを、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }A_{n}=A
\end{equation*}で表記します。
集合列\(\left\{ A_{n}\right\} \)の極限が\(A\)であるものとします。要素\(x\in U\)を任意に選んで固定します。すると極限の定義より、それに対して何らかの番号\(N\)が存在して、\(n\geq N\)を満たす任意の番号\(n\)について、\begin{equation}x\in A_{n}\Leftrightarrow x\in A \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。これは何を意味するのでしょうか。\(x\)は\(\left\{A_{n}\right\} \)の要素であるそれぞれの集合\(A_{n}\)に属すか属さないかのどちらか一方です。つまり、それぞれの\(n\)について\(x\in A_{n}\)または\(x\not\in A_{n}\)のどちらか一方が成り立ちます。したがって、\(x\)の立場から見ると、集合列\(\left\{ A_{n}\right\} \)は、\begin{equation*}\bigcirc ,\times ,\bigcirc ,\bigcirc ,\times ,\cdots
\end{equation*}のような所属・非所属の列として表されます。もし、この列がある番号\(N\)以降ずっと、\begin{equation*}\bigcirc ,\bigcirc ,\bigcirc ,\cdots
\end{equation*}となるならば、\(\left( 1\right) \)より、\(x\)は極限集合\(A\)に属することになります。さらに、\(n\geq N\)を満たす任意の番号\(n\)について、\begin{equation}x\not\in A_{n}\Leftrightarrow x\not\in A \quad \cdots (2)
\end{equation}もまた成り立つため、ある番号\(N\)以降ずっと、\begin{equation*}\times ,\times ,\times ,\cdots
\end{equation*}となるならば、\(\left( 2\right) \)より、\(x\)は極限集合\(A\)に属さないことになります。このように、それぞれの要素\(x\in U\)について、\(\left\{ A_{n}\right\} \)への最終的な所属・非所属の状態を記録したものが極限集合\(A\)です。つまり、集合列\(\left\{ A_{n}\right\} \)の極限\(A\)の定義\begin{equation*}\forall x\in U,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\Rightarrow \left( x\in A_{n}\Leftrightarrow x\in A\right) \right]
\end{equation*}は、\(x\)が\(\left\{ A_{n}\right\} \)に最終的に属し続けるならば\(A\)に属し、最終的に属さなくなるならば\(A\)に属さないという考え方を定式化したものになっています。
以上の定義では、任意の要素\(x\)について、\(\left\{ A_{n}\right\} \)への所属・非所属が最終的に安定することを要求しています。極限集合は「最後に残る要素を集めた集合」ではありません。途中で何度集合から出入りしたかではなく、最終的に所属状態が安定するかどうかだけを見ます。逆に、途中で何度も所属・非所属を繰り返す要素\(x\)が存在する場合には\(\left\{A_{n}\right\} \)の極限は存在しません。つまり、集合列の極限は存在するとは限らないということです。後ほど具体例を提示します。
\end{equation*}であるものとします。つまり、\begin{eqnarray*}
A_{1} &=&\left\{ 1\right\} \\
A_{2} &=&\left\{ 1,2\right\} \\
A_{3} &=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}です。この集合列の極限が\(\mathbb{N} \)であることを示します。つまり、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{N} ,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\Rightarrow \left( x\in A_{n}\Leftrightarrow x\in \mathbb{N} \right) \right] \end{equation*}を示すことが目標です。\(x\in \mathbb{N} \)を任意に選びます。\(x\)は自然数であるため、\(N\)として\(x\)自身を採用できます。つまり、\begin{equation*}N=x
\end{equation*}です。すると、\(n\geq N\)すなわち\(n\geq x\)を満たす任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}x &\in &\left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} \quad \because n\geq x \\
&=&A_{n}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。また、\begin{equation*}
x\in \mathbb{N} \end{equation*}もまた成り立ちます。したがって、\(n\geq N\)を満たす任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}x\in A_{n}\Leftrightarrow x\in \mathbb{N} \end{equation*}が成り立つため証明が完了しました。つまり、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }A_{n}=\mathbb{N} \end{equation*}です。全体集合\(\mathbb{N} \)の要素であるそれぞれの自然数\(x\)は最初から\(A_{n}=\left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} \)に属しているとは限りません。しかし、\(n\)が\(N\ \left(=x\right) \)以上になった時点からは常に\(A_{n}\)に属し続けます。このように、所属が安定する時点\(N\)は要素\(x\)によって異なりますが、すべての自然数は最終的に集合族に属し続けます。そのため、すべての自然数を集めた\(\mathbb{N} \)が極限になります。
集合列の極限は存在するとは限らない
集合列の極限は存在するとは限りません。以下の例より明らかです。
\begin{array}{cc}
\left\{ 0\right\} & \left( if\ n\text{が奇数}\right) \\
\phi & \left( if\ n\text{が偶数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。つまり、\begin{eqnarray*}
A_{1} &=&\left\{ 0\right\} \\
A_{2} &=&\phi \\
A_{3} &=&\left\{ 0\right\} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}です。この集合列が極限を持たないことを示すために、極限\(A\subset \left\{ 0\right\} \)が存在するものと仮定して矛盾を導きます。仮定より、\begin{equation*}\forall x\in \left\{ 0\right\} ,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\Rightarrow \left( x\in A_{n}\Leftrightarrow x\in A\right) \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\Rightarrow \left( 0\in A_{n}\Leftrightarrow 0\in A\right) \right] \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。\(A\subset\left\{ 0\right\} \)ゆえに\(A=\left\{ 0\right\} \)と\(A=\phi \)の2つの可能性があります。\(A=\left\{ 0\right\} \)の場合には\(0\in A\)が成り立ちます。その一方で、どのような\(N\)を選んでも、\(N\)以上の偶数\(n\)が存在するとともに\(A_{n}=\phi \)であるため\(0\not\in A_{n}\)を得ます。これは\(\left( 1\right) \)と矛盾です。続いて、\(A=\phi \)の場合には\(0\in A\)は成り立ちません。その一方で、どのような\(N\)を選んでも、\(N\)以上の奇数\(n\)が存在するとともに\(A_{n}=\left\{ 0\right\} \)であるため\(0\in A_{n}\)を得ます。これは\(\left( 1\right) \)と矛盾です。いずれの場合にも矛盾が導かれたため、背理法より、\(A\)は\(\left\{A_{n}\right\} \)の極限ではありません。したがって、\(\left\{ A_{n}\right\} \)は極限を持たないことが明らかになりました。全体集合\(\left\{ 0\right\} \)の要素である\(0\)の各\(A_{n}\)への所属状態は、\begin{equation*}\bigcirc ,\times ,\bigcirc ,\times ,\bigcirc ,\cdots
\end{equation*}と永遠に変化するため、所属・非所属がいつまでも安定しません。このような要素\(0\)が存在することは、集合列\(\left\{ A_{n}\right\} \)の極限が存在しないことを意味します。
集合列の極限が存在しないことと、集合列の極限が空集合であることは区別する必要があります。以下は極限が空集合であるような集合列の例です。
\end{equation*}と定義されているものとします。この集合列の極限は、\begin{equation*}
A=\phi
\end{equation*}です（演習問題）。
上極限と下極限を用いた極限の特徴づけ
集合列\(\left\{ A_{n}\right\} \)の上極限は、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}=\bigcap\limits_{n=1}^{+\infty
}\bigcup\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k}
\end{equation*}と定義され、下極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n}=\bigcup\limits_{n=1}^{+\infty
}\bigcap\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k}
\end{equation*}と定義されます。上極限と下極限は必ず存在する一方で、両者は一致するとは限りません。その一方で、両者が一致することは、すなわち、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n}
\end{equation*}が成り立つことは、集合列\(\left\{ A_{n}\right\} \)の極限が存在するための必要十分条件です。しかもこの場合、極限・上極限・下極限が一致します。つまり、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }A_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\sup
A_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n}
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}が成り立つことは、\(\left\{ A_{n}\right\} \)の極限が存在するための必要十分条件である。さらに\(\left\{ A_{n}\right\} \)の極限が存在する場合には、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }A_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\sup
A_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n}
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}であるものとします。先に示したように、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }A_{n}=\mathbb{N} \end{equation*}ですが、同じことを先の命題を用いて示します。上極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n} &=&\bigcap\limits_{n=1}^{+\infty
}\bigcup\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k} \\
&=&\bigcap\limits_{n=1}^{+\infty }\bigcup\limits_{k=n}^{+\infty }\left\{
1,2,\cdots ,k\right\} \\
&=&\bigcap\limits_{n=1}^{+\infty }\bigcup\limits_{k=1}^{+\infty }\left\{
1,2,\cdots ,k\right\} \\
&=&\bigcup\limits_{k=1}^{+\infty }\left\{ 1,2,\cdots ,k\right\} \\
&=&\mathbb{N} \end{eqnarray*}であり、下極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n} &=&\bigcup\limits_{n=1}^{+\infty
}\bigcap\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k} \\
&=&\bigcup\limits_{n=1}^{+\infty }\bigcap\limits_{k=n}^{+\infty }\left\{
1,2,\cdots ,k\right\} \\
&=&\bigcup\limits_{n=1}^{+\infty }\left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} \\
&=&\mathbb{N} \end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n}=\mathbb{N} \end{equation*}であり、したがって先の命題より、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }A_{n}=\mathbb{N} \end{equation*}を得ます。
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n} &=&\bigcap\limits_{n=1}^{+\infty
}\bigcup\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k} \\
&=&\bigcap\limits_{n=1}^{+\infty }\bigcup\limits_{k=n}^{+\infty }\left[ 0,k\right] \\
&=&\bigcap\limits_{n=1}^{+\infty }\bigcup\limits_{k=1}^{+\infty }\left[ 0,k\right] \\
&=&\bigcup\limits_{k=1}^{+\infty }\left[ 0,k\right] \\
&=&\mathbb{R} _{+}
\end{eqnarray*}であり、下極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n} &=&\bigcup\limits_{n=1}^{+\infty
}\bigcap\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k} \\
&=&\bigcup\limits_{n=1}^{+\infty }\bigcap\limits_{k=n}^{+\infty }\left[ 0,k\right] \\
&=&\bigcup\limits_{n=1}^{+\infty }\left[ 0,n\right] \\
&=&\mathbb{R} _{+}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n}=\mathbb{R} _{+}
\end{equation*}であり、したがって先の命題より、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }A_{n}=\mathbb{R} _{+}
\end{equation*}を得ます。
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n} &=&\bigcap\limits_{n=1}^{+\infty
}\bigcup\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k} \\
&=&\bigcap\limits_{n=1}^{+\infty }\bigcup\limits_{k=n}^{+\infty }\left[ 0,\frac{1}{k}\right] \\
&=&\bigcap\limits_{n=1}^{+\infty }\left[ 0,\frac{1}{n}\right] \\
&=&\left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}であり、下極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n} &=&\bigcup\limits_{n=1}^{+\infty
}\bigcap\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k} \\
&=&\bigcup\limits_{n=1}^{+\infty }\bigcap\limits_{k=n}^{+\infty }\left[ 0,\frac{1}{k}\right] \\
&=&\bigcup\limits_{n=1}^{+\infty }\bigcap\limits_{k=1}^{+\infty }\left[ 0,\frac{1}{k}\right] \\
&=&\bigcap\limits_{k=1}^{+\infty }\left[ 0,\frac{1}{k}\right] \\
&=&\left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\inf
A_{n}=\left\{ 0\right\}
\end{equation*}であり、したがって先の命題より、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }A_{n}=\left\{ 0\right\}
\end{equation*}を得ます。
\end{equation*}を満たす場合には、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\inf
A_{n}=\bigcup\limits_{k=1}^{+\infty }A_{k}
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }A_{n}=\bigcup\limits_{k=1}^{+\infty }A_{k}
\end{equation*}が成り立ちます。また、\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が単調減少列である場合には、すなわち、\begin{equation*}A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots
\end{equation*}を満たす場合には、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\inf
A_{n}=\bigcap\limits_{n=1}^{+\infty }A_{n}
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }A_{n}=\bigcap\limits_{n=1}^{+\infty }A_{n}
\end{equation*}が成り立ちます。
先の命題は集合列の極限が存在するための必要十分条件を与えているため、集合列の極限が存在しないことを示す際にも使えます。つまり、集合列\(\left\{ A_{n}\right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}\not=\lim_{n\rightarrow \infty }\inf
A_{n}
\end{equation*}が成り立つ場合、\(\left\{A_{n}\right\} \)の極限は存在しません。
\begin{array}{cc}
\left\{ 0\right\} & \left( if\ n\text{が奇数}\right) \\
\phi & \left( if\ n\text{が偶数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。先に示したように\(\left\{ A_{n}\right\} \)の極限は存在しませんが、同じことを先の命題を用いて示します。上極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n} &=&\bigcap\limits_{n=1}^{+\infty
}\bigcup\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k} \\
&=&\bigcap\limits_{n=1}^{+\infty }\left\{ 0\right\} \\
&=&\left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}であり、下極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n} &=&\bigcup\limits_{n=1}^{+\infty
}\bigcap\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k} \\
&=&\bigcup\limits_{n=1}^{+\infty }\phi \\
&=&\phi
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}\not=\lim_{n\rightarrow \infty }\inf
A_{n}
\end{equation*}であり、したがって先の命題より\(\left\{ A_{n}\right\} \)の極限は存在しません。
集合列の極限の一意性
集合列の極限が存在する場合、それは一意的に定まります。つまり、集合列が異なる2つの集合へ収束する事態は起こり得ません。
演習問題
\end{equation*}と定義されているものとします。定義にもとづいて極限を求めてください。
\end{equation*}と定義されているものとします。この集合列の上極限と下極限をそれぞれ求めてください。また、極限が存在する場合にはそれを求めてください。
\end{equation*}と定義されているものとします。この集合列の上極限と下極限をそれぞれ求めてください。また、極限が存在する場合にはそれを求めてください。
\end{equation*}が成り立つものとします。つまり、両者は有限個の項を除いて一致します。その上で、\(\left\{ A_{n}\right\} \)と\(\left\{B_{n}\right\} \)の極限がともに存在する場合には、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }A_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }B_{n}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\begin{array}{cl}
\left\{ 1\right\} & \left( if\ n=1,2,3\right) \\
\phi & \left( if\ n\geq 4\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定義されているものとします。極限を求めてください。
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