集合族演算における分配律
前節までに、集合族の共通部分と和集合を定義しました。本節では、それらが満たす基本法則を学びます。これらの法則は二つの集合に対する集合演算の法則をそのまま一般化したものであり、分配律やド・モルガンの法則などが集合族についても成立します。
集合演算における分配律とは、集合\(A,B,C\)を任意に選んだときに、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ A\cap \left( B\cup C\right) &=&\left( A\cap B\right) \cup
\left( A\cap C\right) \\
\left( b\right) \ A\cup \left( B\cap C\right) &=&\left( A\cup B\right) \cap
\left( A\cup C\right)
\end{eqnarray*}が成り立つという主張ですが、集合族演算に関しても同様の性質が成り立ちます。
}\right) &=&\bigcup_{\lambda \in \Lambda }\left( A\cap B_{\lambda }\right)
\\
\left( b\right) \ A\cup \left( \bigcap_{\lambda \in \Lambda }B_{\lambda
}\right) &=&\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\left( A\cup B_{\lambda }\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。
\end{equation*}である場合、命題の主張は、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ A\cap \left( B_{1}\cup B_{2}\right) &=&\left( A\cap
B_{1}\right) \cup \left( A\cap B_{2}\right) \\
\left( b\right) \ A\cup \left( B_{1}\cap B_{2}\right) &=&\left( A\cup
B_{1}\right) \cap \left( A\cup B_{2}\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは集合演算における分配律に他なりません。つまり、集合族演算に関する分配律は集合族演算に関する分配律の一般化です。
集合演算における後ろからの分配律とは、集合\(A,B,C\)を任意に選んだときに、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \left( A\cup B\right) \cap C &=&\left( A\cap C\right) \cup
\left( B\cap C\right) \\
\left( b\right) \ \left( A\cap B\right) \cup C &=&\left( A\cup C\right) \cap
\left( B\cup C\right)
\end{eqnarray*}がいずれも成り立つという主張ですが、集合族演算に関しても同様の性質が成り立ちます。
\cap B &=&\bigcup_{\lambda \in \Lambda }\left( A_{\lambda }\cap B\right) \\
\left( b\right) \ \left( \bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\right)
\cup B &=&\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\left( A_{\lambda }\cup B\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。
\end{equation*}である場合、命題の主張は、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \left( A_{1}\cup A_{2}\right) \cap B &=&\left( A_{1}\cap
B\right) \cup \left( A_{2}\cap B\right) \\
\left( b\right) \ \left( A_{1}\cap A_{2}\right) \cup B &=&\left( A_{1}\cup
B\right) \cap \left( A_{2}\cup B\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは集合演算における分配律に他なりません。つまり、集合族演算に関する後ろからの分配律は集合族演算に関する後ろからの分配律の一般化です。
集合族演算における一般化された分配律
集合族演算に関する分配律を以下のように一般化することもできます。
\cap \left( \bigcup_{\mu \in M}B_{\mu }\right) &=&\bigcup_{\mu \in M}\left(
\bigcup_{\lambda \in \Lambda }\left( A_{\lambda }\cap B_{\mu }\right)
\right) \\
\left( b\right) \ \left( \bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\right)
\cup \left( \bigcap_{\mu \in M}B_{\mu }\right) &=&\bigcap_{\mu \in M}\left(
\bigcup_{\lambda \in \Lambda }\left( A_{\lambda }\cup B_{\mu }\right)
\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。
集合族演算におけるド・モルガンの法則
集合演算におけるド・モルガンの法則とは、集合\(A,B,C\)を任意に選んだときに、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \left( A\cap B\right) ^{c} &=&A^{c}\cup B^{c} \\
\left( b\right) \ \left( A\cup B\right) ^{c} &=&A^{c}\cap B^{c}
\end{eqnarray*}がいずれも成り立つという主張ですが、集合族演算に関しても同様の性質が成り立ちます。
^{c} &=&\bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }^{c} \\
\left( b\right) \ \left( \bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\right)
^{c} &=&\bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }^{c}
\end{eqnarray*}が成り立つ。
\end{equation*}である場合、命題の主張は、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \left( A_{1}\cap A_{2}\right) ^{c} &=&A_{1}^{c}\cup
A_{2}^{c} \\
\left( b\right) \ \left( A_{1}\cup A_{2}\right) ^{c} &=&A_{1}^{c}\cap
A_{2}^{c}
\end{eqnarray*}となりますが、これは集合演算におけるド・モルガンの法則に他なりません。つまり、集合族演算に関するド・モルガンの法則は集合族演算に関するド・モルガンの法則の一般化です。
集合族と差集合
集合族の共通部分との差集合や、集合族の和集合との差集合については以下が成り立ちます。
全体集合を\(U\)とし、\(\left\{A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を\(U\)の部分集合からなる集合族とし、\(B\)を\(U\)の部分集合とする。この場合、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ B\backslash \left( \bigcap_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda }\right) =\bigcup_{\lambda \in \Lambda }\left( B\backslash
A_{\lambda }\right) \\
&&\left( b\right) \ B\backslash \left( \bigcup_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda }\right) =\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\left( B\backslash
A_{\lambda }\right) \\
&&\left( c\right) \ \left( \bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\right)
\backslash B=\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\left( A_{\lambda }\backslash
B\right) \\
&&\left( d\right) \ \left( \bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\right)
\backslash B=\bigcup_{\lambda \in \Lambda }\left( A_{\lambda }\backslash
B\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。
単調性
複数の集合族の要素の間に一方的な包含関係が成り立つ場合、共通部分や和集合をとっても包含関係は保存されます。
\end{equation*}が成り立つものとする。この場合、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda } &\subset
&\bigcap_{\lambda \in \Lambda }B_{\lambda } \\
\left( b\right) \ \bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda } &\subset
&\bigcup_{\lambda \in \Lambda }B_{\lambda }
\end{eqnarray*}が成り立つ。
包含関係との相互作用
複数の集合族の添字集合の間に包含関係が成り立つ場合、共通部分や和集合に関しても一定の包含関係が成り立ちます。
\end{equation*}を満たす集合\(\Gamma \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda } &\subset
&\bigcap_{\lambda \in \Gamma }A_{\lambda } \\
\left( b\right) \ \bigcup_{\lambda \in \Gamma }A_{\lambda } &\subset
&\bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{eqnarray*}が成り立つ。
演習問題
\right) ^{c}=\left( \bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }^{c}\right)
\cup B^{c}
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
^{c}=\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\left( A\cap B_{\lambda }^{c}\right)
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
\bigcup_{\mu \in M}B_{\mu }\right) =\bigcup_{\lambda \in \Lambda }\left(
A_{\lambda }\backslash \bigcup_{\mu \in M}B_{\mu }\right)
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
