集合族演算の法則

通常の集合演算に関して成り立つ法則が、集合族の集合演算においても成り立ちます。ここでは集合族演算に関する結合律、分配律、ド・モルガンの法則を示します。
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結合律

集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)と集合\(B\)をそれぞれ任意に選びます。全体集合の要素\(x\in U\)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}
x\in \left( \bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\right) \cap B
&\Leftrightarrow &x\in \bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\wedge x\in
B\quad \because \cap \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\left( \forall \lambda \in \Lambda :x\in A_{\lambda
}\right) \wedge x\in B\quad \because \cap \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\forall \lambda \in \Lambda :x\in A_{\lambda }\cap B\quad
\because \cap \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &x\in \bigcap_{\lambda \in \Lambda }\left( A_{\lambda }\cap
B\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left( a\right) \ \left( \bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\right)
\cap B=\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\left( A_{\lambda }\cap B\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。また、\(\left( b\right) \)に対して双対原理を適用することにより、\begin{equation*}
\left( b\right) \ \left( \bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\right)
\cup B=\bigcup_{\lambda \in \Lambda }\left( A_{\lambda }\cup B\right)
\end{equation*}を得ます。これを集合族演算に関する結合律(associative law)と呼びます。

命題(結合律)
集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)と集合\(B\)をそれぞれ任意に選んだとき以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \left( \bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\right)
\cap B &=&\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\left( A_{\lambda }\cap B\right) \\
\left( b\right) \ \left( \bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\right)
\cup B &=&\bigcup_{\lambda \in \Lambda }\left( A_{\lambda }\cup B\right)
\end{eqnarray*}
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例(結合律)
集合族\(\mathfrak{A}\)の要素である集合が添字付けられていない場合、上の命題の主張は、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \left( \bigcap_{A\in \mathfrak{A}}A\right) \cap B
&=&\bigcap_{A\in \mathfrak{A}}\left( A\cap B\right) \\
\left( b\right) \ \left( \bigcup_{A\in \mathfrak{A}}A\right) \cup B
&=&\bigcup_{A\in \mathfrak{A}}\left( A\cup B\right)
\end{eqnarray*}と表現できます。

 

分配律

集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)と集合\(B\)をそれぞれ任意に選びます。全体集合の要素\(x\in U\)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}
x\in \left( \bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\right) \cap B
&\Leftrightarrow &x\in \bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\wedge x\in
B\quad \because \cap \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\left( \exists \lambda \in \Lambda :x\in A_{\lambda
}\right) \wedge x\in B\quad \because \cup \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists \lambda \in \Lambda :x\in A_{\lambda }\cap B\quad
\because \cap \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &x\in \bigcup_{\lambda \in \Lambda }\left( A_{\lambda }\cap
B\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left( a\right) \ \left( \bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\right)
\cap B=\bigcup_{\lambda \in \Lambda }\left( A_{\lambda }\cap B\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。また、\(\left( b\right) \)に対して双対原理を適用することにより、\begin{equation*}
\left( b\right) \ \left( \bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\right)
\cup B=\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\left( A_{\lambda }\cup B\right)
\end{equation*}を得ます。これを集合族演算に関する分配律(distributive law)と呼びます。

命題(分配律)
集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)と集合\(B\)をそれぞれ任意に選んだとき以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \left( \bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\right)
\cap B &=&\bigcup_{\lambda \in \Lambda }\left( A_{\lambda }\cap B\right) \\
\left( b\right) \ \left( \bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\right)
\cup B &=&\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\left( A_{\lambda }\cup B\right)
\end{eqnarray*}
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例(分配律)
集合族\(\mathfrak{A}\)の要素である集合が添字付けられていない場合、上の命題の主張は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \left( \bigcup_{A\in \mathfrak{A}}A\right) \cap
B=\bigcup_{A\in \mathfrak{A}}\left( A\cap B\right) \\
&&\left( b\right) \ \left( \bigcap_{A\in \mathfrak{A}}A\right) \cup
B=\bigcap_{A\in \mathfrak{A}}\left( A\cup B\right)
\end{eqnarray*}と表現できます。

以下のように、後ろからも分配可能であることが同様にして示されます。

命題(後ろからの分配)

集合\(A\)と集合族\(\left\{ B_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)をそれぞれ任意に選んだとき以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ A\cap \left( \bigcup_{\lambda \in \Lambda }B_{\lambda
}\right) &=&\bigcup_{\lambda \in \Lambda }\left( A\cap B_{\lambda }\right)
\\
\left( b\right) \ A\cup \left( \bigcap_{\lambda \in \Lambda }B_{\lambda
}\right) &=&\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\left( A\cup B_{\lambda }\right)
\end{eqnarray*}

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例(後ろからの分配)
集合族\(\mathfrak{A}\)の要素である集合が添字付けられていない場合、上の命題の主張は、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ A\cap \left( \bigcup_{B\in \mathfrak{A}}B\right)
&=&\bigcup_{B\in \mathfrak{A}}\left( A\cap B\right) \\
\left( b\right) \ A\cup \left( \bigcap_{B\in \mathfrak{A}}B\right)
&=&\bigcap_{B\in \mathfrak{A}}\left( A\cup B\right)
\end{eqnarray*}と表現できます。

 

ド・モルガンの法則

集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選びます。全体集合の要素\(x\in U\)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}
x\in \left( \bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\right) ^{c}
&\Leftrightarrow &\lnot \left( x\in \bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda
}\right) \quad \because c\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\lnot \left( \forall \lambda \in \Lambda :x\in A_{\lambda
}\right) \quad \because \cap \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists \lambda \in \Lambda :x\not\in A_{\lambda } \\
&\Leftrightarrow &\exists \lambda \in \Lambda :x\in A_{\lambda }^{c}\quad
\because c\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &x\in \bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }^{c}\quad
\because \cup \text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left( a\right) \ \left( \bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\right)
^{c}=\bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }^{c}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。また、\(\left( b\right) \)に対して双対原理を適用することにより、\begin{equation*}
\left( b\right) \ \left( \bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\right)
^{c}=\bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }^{c}
\end{equation*}を得ます。これを集合族演算に関するド・モルガンの法則(De Morgan’s law)と呼びます。

命題(ド・モルガンの法則)
集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選んだとき以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \left( \bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\right)
^{c} &=&\bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }^{c} \\
\left( b\right) \ \left( \bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\right)
^{c} &=&\bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }^{c}
\end{eqnarray*}
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例(ド・モルガンの法則)
集合族\(\mathfrak{A}\)の要素である集合が添字付けられていない場合、上の命題の主張は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \left( \bigcap_{A\in \mathfrak{A}}A\right)
^{c}=\bigcup_{A\in \mathfrak{A}}A^{c} \\
&&\left( b\right) \ \left( \bigcap_{A\in \mathfrak{A}}A\right)
^{c}=\bigcap_{A\in \mathfrak{A}}A^{c}
\end{eqnarray*}と表現できます。

次回からは直積集合について学びます。

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