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集合族演算の法則

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集合族演算における分配律

集合演算における分配律とは、集合\(A,B,C\)を任意に選んだときに、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ A\cap \left( B\cup C\right) &=&\left( A\cap B\right) \cup
\left( A\cap C\right) \\
\left( b\right) \ A\cup \left( B\cap C\right) &=&\left( A\cup B\right) \cap
\left( A\cup C\right)
\end{eqnarray*}が成り立つという主張ですが、集合族演算に関しても同様の性質が成り立ちます。

命題(分配律)
集合\(A\)と集合族\(\left\{ B_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)がそれぞれ任意に与えられたとき、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ A\cap \left( \bigcup_{\lambda \in \Lambda }B_{\lambda
}\right) &=&\bigcup_{\lambda \in \Lambda }\left( A\cap B_{\lambda }\right)
\\
\left( b\right) \ A\cup \left( \bigcap_{\lambda \in \Lambda }B_{\lambda
}\right) &=&\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\left( A\cup B_{\lambda }\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。

証明

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例(分配律)
上の命題において集合族\(\left\{ B_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の添字集合が、\begin{equation*}\Lambda =\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}である場合、命題の主張は、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ A\cap \left( B_{1}\cup B_{2}\right) &=&\left( A\cap
B_{1}\right) \cup \left( A\cap B_{2}\right) \\
\left( b\right) \ A\cup \left( B_{1}\cap B_{2}\right) &=&\left( A\cup
B_{1}\right) \cap \left( A\cup B_{2}\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは集合演算における分配律に他なりません。つまり、集合族演算に関する分配律は集合演算に関する分配律の一般化です。

集合演算における後ろからの分配律とは、集合\(A,B,C\)を任意に選んだときに、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \left( A\cup B\right) \cap C &=&\left( A\cap C\right) \cup
\left( B\cap C\right) \\
\left( b\right) \ \left( A\cap B\right) \cup C &=&\left( A\cup C\right) \cap
\left( B\cup C\right)
\end{eqnarray*}がいずれも成り立つという主張ですが、集合族演算に関しても同様の性質が成り立ちます。

命題(後ろからの分配律)
集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)と集合\(B\)がそれぞれ任意に与えられたとき、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \left( \bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\right)
\cap B &=&\bigcup_{\lambda \in \Lambda }\left( A_{\lambda }\cap B\right) \\
\left( b\right) \ \left( \bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\right)
\cup B &=&\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\left( A_{\lambda }\cup B\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。

証明

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例(後ろからの分配律)
上の命題において集合族\(\left\{ B_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の添字集合が、\begin{equation*}\Lambda =\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}である場合、命題の主張は、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \left( A_{1}\cup A_{2}\right) \cap B &=&\left( A_{1}\cap
B\right) \cup \left( A_{2}\cap B\right) \\
\left( b\right) \ \left( A_{1}\cap A_{2}\right) \cup B &=&\left( A_{1}\cup
B\right) \cap \left( A_{2}\cup B\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは集合演算における分配律に他なりません。つまり、集合族演算に関する後ろからの分配律は集合演算に関する後ろからの分配律の一般化です。

 

集合族演算におけるド・モルガンの法則

集合演算におけるド・モルガンの法則とは、集合\(A,B,C\)を任意に選んだときに、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \left( A\cap B\right) ^{c} &=&A^{c}\cup B^{c} \\
\left( b\right) \ \left( A\cup B\right) ^{c} &=&A^{c}\cap B^{c}
\end{eqnarray*}がいずれも成り立つという主張ですが、集合族演算に関しても同様の性質が成り立ちます。

命題(ド・モルガンの法則)
集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)が任意に与えられたとき、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \left( \bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\right)
^{c} &=&\bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }^{c} \\
\left( b\right) \ \left( \bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\right)
^{c} &=&\bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }^{c}
\end{eqnarray*}が成り立つ。

証明

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例(ド・モルガンの法則)
上の命題において集合族\(\left\{ B_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の添字集合が、\begin{equation*}\Lambda =\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}である場合、命題の主張は、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \left( A_{1}\cap A_{2}\right) ^{c} &=&A_{1}^{c}\cup
A_{2}^{c} \\
\left( b\right) \ \left( A_{1}\cup A_{2}\right) ^{c} &=&A_{1}^{c}\cap
A_{2}^{c}
\end{eqnarray*}となりますが、これは集合演算におけるド・モルガンの法則に他なりません。つまり、集合族演算に関するド・モルガンの法則は集合族演算に関するド・モルガンの法則の一般化です。

次回からは直積集合について学びます。

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