通常の集合演算に関して成り立つ法則が、集合族の集合演算においても成り立ちます。ここでは集合族演算に関する結合律、分配律、ド・モルガンの法則を示します。

結合律 分配律 ド・モルガンの法則

2019年3月14日:公開

結合律

通常の集合演算に関して成り立つ法則が、集合族の集合演算においても成り立ちます。1 つ目は結合律です。

命題(結合律)
任意の集合族\(\{X_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\)と集合\(Y\)について以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \left( \bigcap_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\right) \cap Y=\bigcap_{\lambda \in \Lambda }(X_{\lambda }\cap Y) \\
&&\left( b\right) \ \left( \bigcup_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\right) \cup Y=\bigcup_{\lambda \in \Lambda }(X_{\lambda }\cup Y)
\end{eqnarray*}
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分配律

2 つ目は分配律です。

命題(分配律)
任意の集合族\(\{X_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\)と集合\(Y\)について以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \left( \bigcup_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\right) \cap Y=\bigcup_{\lambda \in \Lambda }(X_{\lambda }\cap Y) \\
&&\left( b\right) \ \left( \bigcap_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\right) \cup Y=\bigcap_{\lambda \in \Lambda }(X_{\lambda }\cup Y)
\end{eqnarray*}
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ド・モルガンの法則

3 つ目はド・モルガンの法則です。

命題(ド・モルガンの法則)
任意の集合族\(\{X_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\)と集合\(Y\)について以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \left( \bigcup_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\right) ^{c}=\bigcap_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }^{c} \\
&&\left( b\right) \ \left( \bigcap_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\right) ^{c}=\bigcup_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }^{c}
\end{eqnarray*}
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次回からは直積集合について学びます。
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