集合族演算における分配律
集合演算における分配律とは、集合\(A,B,C\)を任意に選んだときに、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ A\cap \left( B\cup C\right) &=&\left( A\cap B\right) \cup
\left( A\cap C\right) \\
\left( b\right) \ A\cup \left( B\cap C\right) &=&\left( A\cup B\right) \cap
\left( A\cup C\right)
\end{eqnarray*}が成り立つという主張ですが、集合族演算に関しても同様の性質が成り立ちます。
}\right) &=&\bigcup_{\lambda \in \Lambda }\left( A\cap B_{\lambda }\right)
\\
\left( b\right) \ A\cup \left( \bigcap_{\lambda \in \Lambda }B_{\lambda
}\right) &=&\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\left( A\cup B_{\lambda }\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。
\end{equation*}である場合、命題の主張は、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ A\cap \left( B_{1}\cup B_{2}\right) &=&\left( A\cap
B_{1}\right) \cup \left( A\cap B_{2}\right) \\
\left( b\right) \ A\cup \left( B_{1}\cap B_{2}\right) &=&\left( A\cup
B_{1}\right) \cap \left( A\cup B_{2}\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは集合演算における分配律に他なりません。つまり、集合族演算に関する分配律は集合演算に関する分配律の一般化です。
集合演算における後ろからの分配律とは、集合\(A,B,C\)を任意に選んだときに、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \left( A\cup B\right) \cap C &=&\left( A\cap C\right) \cup
\left( B\cap C\right) \\
\left( b\right) \ \left( A\cap B\right) \cup C &=&\left( A\cup C\right) \cap
\left( B\cup C\right)
\end{eqnarray*}がいずれも成り立つという主張ですが、集合族演算に関しても同様の性質が成り立ちます。
\cap B &=&\bigcup_{\lambda \in \Lambda }\left( A_{\lambda }\cap B\right) \\
\left( b\right) \ \left( \bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\right)
\cup B &=&\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\left( A_{\lambda }\cup B\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。
\end{equation*}である場合、命題の主張は、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \left( A_{1}\cup A_{2}\right) \cap B &=&\left( A_{1}\cap
B\right) \cup \left( A_{2}\cap B\right) \\
\left( b\right) \ \left( A_{1}\cap A_{2}\right) \cup B &=&\left( A_{1}\cup
B\right) \cap \left( A_{2}\cup B\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは集合演算における分配律に他なりません。つまり、集合族演算に関する後ろからの分配律は集合演算に関する後ろからの分配律の一般化です。
集合族演算におけるド・モルガンの法則
集合演算におけるド・モルガンの法則とは、集合\(A,B,C\)を任意に選んだときに、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \left( A\cap B\right) ^{c} &=&A^{c}\cup B^{c} \\
\left( b\right) \ \left( A\cup B\right) ^{c} &=&A^{c}\cap B^{c}
\end{eqnarray*}がいずれも成り立つという主張ですが、集合族演算に関しても同様の性質が成り立ちます。
^{c} &=&\bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }^{c} \\
\left( b\right) \ \left( \bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\right)
^{c} &=&\bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }^{c}
\end{eqnarray*}が成り立つ。
\end{equation*}である場合、命題の主張は、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \left( A_{1}\cap A_{2}\right) ^{c} &=&A_{1}^{c}\cup
A_{2}^{c} \\
\left( b\right) \ \left( A_{1}\cup A_{2}\right) ^{c} &=&A_{1}^{c}\cap
A_{2}^{c}
\end{eqnarray*}となりますが、これは集合演算におけるド・モルガンの法則に他なりません。つまり、集合族演算に関するド・モルガンの法則は集合族演算に関するド・モルガンの法則の一般化です。
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