お気に入り
WIIS
ログイン
会員登録
ホーム › 数学 › 集合論 › 集合

集合列の上極限・下極限・極限の性質

〈　集合列の極限（収束する集合列）
確認テスト I（集合）　〉
集合列の上極限・下極限・極限が満たす基本性質を解説します。包含関係の保存、補集合・共通部分・和集合・差集合・対称差との関係を証明し、それぞれの等号・包含関係が成り立つ条件や反例も紹介します。
関連教材

包含関係の保存

前節までに、集合列の上極限・下極限・極限を定義し、極限が存在するための必要十分条件を学びました。しかし、極限を定義しただけでは十分ではありません。解析学において数列の極限が四則演算と両立することが重要であるように、集合列の極限についても、和集合・共通部分・補集合などの集合演算とどのような関係にあるのかを調べる必要があります。本節では、集合列の極限が包含関係や集合演算に対してどのように振る舞うのかを明らかにします。

まず、集合列の包含関係は極限をとっても保たれます。

命題（包含関係の保存）

集合列\(\left\{ A_{n}\right\} ,\left\{ B_{n}\right\} \)の項の間に以下の関係\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :A_{n}\subset B_{n}
\end{equation*}が成り立つものとする。この場合、以下が成り立つ。

  1. \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}\subset\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sup B_{n}\)
  2. \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n}\subset\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\inf B_{n}\)
  3. \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }A_{n}\)と\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }B_{n}\)がともに存在するならば\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty}A_{n}\subset \lim\limits_{n\rightarrow \infty }B_{n}\)が成り立つ。
証明

会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】

 

補集合との関係

集合列の補集合については以下が成り立ちます。

命題（補集合との関係）

集合列\(\left\{ A_{n}\right\} ,\left\{ A_{n}^{c}\right\} \)の間には以下が成り立つ。

  1. \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}^{c}=\left(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n}\right) ^{c}\)
  2. \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n}^{c}=\left(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}\right) ^{c}\)
  3. \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }A_{n}\)が存在するならば\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty}A_{n}^{c}\)もまた存在するとともに\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }A_{n}^{c}=\left(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }A_{n}\right) ^{c}\)が成り立つ。
証明

会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】

 

共通部分との関係

集合列の共通部分については以下が成り立ちます。

命題（共通部分との関係）
集合列\(\left\{ A_{n}\right\} ,\left\{ B_{n}\right\} \)の間には以下が成り立つ。

  1. \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sup \left( A_{n}\cap B_{n}\right)\subset \lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}\cap \lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sup B_{n}\)
  2. \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\inf \left( A_{n}\cap B_{n}\right)=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n}\cap \lim\limits_{n\rightarrow \infty }\inf B_{n}\)
  3. \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }A_{n}\)と\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }B_{n}\)が存在するならば\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( A_{n}\cap B_{n}\right) =\lim\limits_{n\rightarrow \infty }A_{n}\cap\lim\limits_{n\rightarrow \infty }B_{n}\)が成り立つ。
証明

会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】

先の命題において、\begin{equation*}
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sup \left( A_{n}\cap B_{n}\right) \subset
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}\cap \lim\limits_{n\rightarrow
\infty }\sup B_{n}
\end{equation*}が成り立つことが示されましたが、逆向きの包含関係は成立するとは限りません。つまり、\begin{equation*}
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}\cap \lim\limits_{n\rightarrow
\infty }\sup B_{n}\subset \lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sup \left(
A_{n}\cap B_{n}\right)
\end{equation*}は成立するとは限りません。以下の例より明らかです。

例（共通部分と上極限）
集合列\(\left\{ A_{n}\right\} ,\left\{ B_{n}\right\} \)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}A_{n} &=&\left\{
\begin{array}{cc}
\left\{ 1\right\} & \left( if\ n\text{は偶数}\right) \\
\phi & \left( if\ n\text{は奇数}\right)
\end{array}\right. \\
B_{n} &=&\left\{
\begin{array}{cc}
\phi & \left( if\ n\text{は偶数}\right) \\
\left\{ 1\right\} & \left( if\ n\text{は奇数}\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}と与えられているものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}\cap \lim\limits_{n\rightarrow
\infty }\sup B_{n}\subset \lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sup \left(
A_{n}\cap B_{n}\right)
\end{equation*}は成り立ちません（演習問題）。

 

和集合との関係

集合列の和集合については以下が成り立ちます。

命題（和集合との関係）

集合列\(\left\{ A_{n}\right\} ,\left\{ B_{n}\right\} \)の間には以下が成り立つ。

  1. \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sup \left( A_{n}\cup B_{n}\right)=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}\cup \lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sup B_{n}\)
  2. \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\inf \left( A_{n}\cup B_{n}\right)\supset \lim\limits_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n}\cup\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\inf B_{n}\)
  3. \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }A_{n}\)と\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }B_{n}\)が存在するならば\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( A_{n}\cup B_{n}\right) =\lim\limits_{n\rightarrow \infty }A_{n}\cup \lim\limits_{n\rightarrow \infty }B_{n}\)が成り立つ。
証明

会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】

先の命題において、\begin{equation*}
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\inf \left( A_{n}\cup B_{n}\right) \supset
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n}\cup \lim\limits_{n\rightarrow
\infty }\inf B_{n}
\end{equation*}が成り立つことが示されましたが、逆向きの包含関係は成立するとは限りません。つまり、\begin{equation*}
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\inf \left( A_{n}\cup B_{n}\right) \subset
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n}\cup \lim\limits_{n\rightarrow
\infty }\inf B_{n}
\end{equation*}は成立するとは限りません。以下の例より明らかです。

例（和集合と下極限）
集合列\(\left\{ A_{n}\right\} ,\left\{ B_{n}\right\} \)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}A_{n} &=&\left\{
\begin{array}{cc}
\left\{ 1\right\} & \left( if\ n\text{は偶数}\right) \\
\phi & \left( if\ n\text{は奇数}\right)
\end{array}\right. \\
B_{n} &=&\left\{
\begin{array}{cc}
\phi & \left( if\ n\text{は偶数}\right) \\
\left\{ 1\right\} & \left( if\ n\text{は奇数}\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}と与えられているものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\inf \left( A_{n}\cup B_{n}\right) \subset
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n}\cup \lim\limits_{n\rightarrow
\infty }\inf B_{n}
\end{equation*}は成り立ちません（演習問題）。

 

差集合との関係

集合列の差集合については以下が成り立ちます。

命題（差集合との関係）

集合列\(\left\{ A_{n}\right\} ,\left\{ B_{n}\right\} \)の極限がともに存在する場合には集合列\(\left\{ A_{n}\backslash B_{n}\right\} \)の極限が存在し、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( A_{n}\backslash B_{n}\right)
=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }A_{n}\backslash \lim\limits_{n\rightarrow
\infty }B_{n}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】

 

対称差との関係

集合列の対称差については以下が成り立ちます。

命題（対称差との関係）

集合列\(\left\{ A_{n}\right\} ,\left\{ B_{n}\right\} \)の極限がともに存在する場合には集合列\(\left\{ A_{n}\triangle B_{n}\right\} \)の極限が存在し、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( A_{n}\triangle B_{n}\right)
=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }A_{n}\triangle \lim\limits_{n\rightarrow
\infty }B_{n}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】

 

演習問題

問題（共通部分と上極限）
集合列\(\left\{ A_{n}\right\} ,\left\{ B_{n}\right\} \)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}A_{n} &=&\left\{
\begin{array}{cc}
\left\{ 1\right\} & \left( if\ n\text{は偶数}\right) \\
\phi & \left( if\ n\text{は奇数}\right)
\end{array}\right. \\
B_{n} &=&\left\{
\begin{array}{cc}
\phi & \left( if\ n\text{は偶数}\right) \\
\left\{ 1\right\} & \left( if\ n\text{は奇数}\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}と与えられているものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}\cap \lim\limits_{n\rightarrow
\infty }\sup B_{n}\subset \lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sup \left(
A_{n}\cap B_{n}\right)
\end{equation*}が成り立たないことを示してください。

解答を見る

会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】

問題（和集合と下極限）
集合列\(\left\{ A_{n}\right\} ,\left\{ B_{n}\right\} \)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}A_{n} &=&\left\{
\begin{array}{cc}
\left\{ 1\right\} & \left( if\ n\text{は偶数}\right) \\
\phi & \left( if\ n\text{は奇数}\right)
\end{array}\right. \\
B_{n} &=&\left\{
\begin{array}{cc}
\phi & \left( if\ n\text{は偶数}\right) \\
\left\{ 1\right\} & \left( if\ n\text{は奇数}\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}と与えられているものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\inf \left( A_{n}\cup B_{n}\right) \subset
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n}\cup \lim\limits_{n\rightarrow
\infty }\inf B_{n}
\end{equation*}が成り立たないことを示してください。

解答を見る

会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】

〈　集合列の極限（収束する集合列）
確認テスト I（集合）　〉
関連教材

この教材についての議論

この教材について質問したり、他の学習者と議論したりするには会員登録とログインが必要です。

  • 会員はコメントを投稿できます
  • 他のユーザーへの返信も可能です
  • 過去の議論を検索・閲覧できます
  • 投稿内容は後から編集できます
会員登録

WIISでは、年齢・性別・学歴・職業・社会的立場などにかかわらず、すべてのユーザーが「学ぶ人」として対等であると考えています。

ここは知識を競う場所ではなく、互いの考えを尊重しながら理解を深めていくための場です。質問や意見の表明はもちろん、分からないことを率直に尋ねることも歓迎します。

建設的で安心できる学習環境を維持するため、投稿の前にガイドラインをご確認ください。

WIISのガイドライン

誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合には以下のフォームからご連絡をお願い致します。

ログイン

会員向けコンテンツです。

まだ会員登録がお済みでない方は、会員登録ページよりアカウントを作成してください。

会員登録はこちら
AIに質問
wiis専属チューター ×
本日の利用回数を確認中...
こんにちは！この教材の専属チューターです。数式の証明や概念の解説など、何でも聞いてください。

💡 教材のテキストや数式をドラッグ選択すると、自動的に下の入力欄に数式付きで引用されます！

このページの目次

WIIS

WIISは、教育・AI・コミュニティ・研究活動を通じて「学びと研究の循環」を育てる学習プラットフォームです。

WIISについて
数学
経済学
学ぶ
参加する
最近閲覧したページ