集合の補集合に対してさらにその補集合を考えることができますが、これはもとの集合と等しい集合です。補集合が満たすこのような性質を反射律と呼びます。

2019年3月11日:公開

反射律

集合\(X\)の補集合\(X^{c}\)に対してさらにその補集合\(\left( X^{c}\right) ^{c}\)を考えることができますが、これは\(X\)と等しい集合です。補集合が満たすこのような性質を反射律(reflexive law)と呼びます。

命題(反射律)
任意の集合\(X\)に対して以下が成り立つ。\begin{equation*}
(X^{c})^{c}=X
\end{equation*}
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反射律を繰り返し適用する

集合\(X\)に対して\((X^{c})^{c}\)だけでなく、\(\left( (X^{c})^{c}\right) ^{c}\)、\(\left( \left( (X^{c})^{c}\right) ^{c}\right) ^{c}\)、\(\cdots \)などを考えることもできます。しかし、反射律を繰り返し適用すれば、それらはいずれも\(X\)もしくは\(X^{c}\)と等しいことが示されます。例えば、\(\left( (X^{c})^{c}\right) ^{c}\)に関しては、\begin{equation*}
\left( (X^{c})^{c}\right) ^{c}=X^{c}
\end{equation*}となりますし、\(\left( \left( (X^{c})^{c}\right) ^{c}\right) ^{c}\)に関しては、\begin{equation*}
\left( \left( (X^{c})^{c}\right) ^{c}\right) ^{c}=(X^{c})^{c}=X
\end{equation*}となります。以降についても同様です。

次回はベキ等律と呼ばれる集合演算の性質について学びます。
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