集合の補集合は集合であるため、さらにその補集合をとることができます。そして、この集合はもとの集合と等しいことが保証されます。補集合が満たすこのような性質を反射律と呼びます。
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反射律

集合\(A\)を任意に選んだとき、その補集合\(A^{c}\)は集合であるため、さらにその補集合\(\left( A^{c}\right) ^{c}\)もまた集合です。このとき、全体集合の任意の要素\(x\in U\)について、\begin{eqnarray*}
x\in \left( A^{c}\right) ^{c} &\Leftrightarrow &x\in A^{c}\quad \because
\text{補集合の定義} \\
&\Leftrightarrow &x\in A\quad \because \text{補集合の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left( A^{c}\right) ^{c}=A
\end{equation*}が成り立ちます。集合の補集合の補集合をとるともとの集合に戻るということです。補集合\(c\)が満たすこの性質を反射律(reflexive law)と呼びます。

命題(反射律)
任意の集合\(A\)に対して以下が成り立つ。\begin{equation*}
(A^{c})^{c}=A
\end{equation*}
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例(反射律)
全体集合が\(U=\{1,2,3,4,5,6\}\)であるとき、集合\(A=\{1,3,5\}\)について、\begin{eqnarray*}
A^{c} &=&U\backslash A=\left\{ 2,4,6\right\} \\
\left( A^{c}\right) ^{c} &=&U\backslash A^{c}=\left\{ 1,3,5\right\}
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( A^{c}\right) ^{c}=A\)が成り立ちます。この結果は上の命題と整合的です。
例(反射律)
全体集合が\(U=\left[ 0,1\right] \)であるとき、集合\(A=\left[ 0,\frac{1}{2}\right] \)について、\begin{eqnarray*}
A^{c} &=&U\backslash A=\left( \frac{1}{2},1\right] \\
\left( A^{c}\right) ^{c} &=&U\backslash A^{c}=\left[ 0,\frac{1}{2}\right] \end{eqnarray*}となるため、\(\left( A^{c}\right) ^{c}=A\)が成り立ちます。この結果は上の命題と整合的です。
例(反射律)
集合\(A\)が、\begin{equation*}
A=\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ x\text{は偶数}\right\}
\end{equation*}として与えられるとき、その補集合は、\begin{eqnarray*}
A^{c} &=&\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ x\text{は偶数ではない}\right\}
\\
&=&\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ x\text{は奇数}\right\}
\end{eqnarray*}であり、さらにその補集合は、\begin{eqnarray*}
\left( A^{c}\right) ^{c} &=&\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ x\text{は奇数ではない}\right\}
\\
&=&\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ x\text{は偶数}\right\}
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( A^{c}\right) ^{c}=A\)が成り立ちます。この結果は上の命題と整合的です。

 

反射律の一般化

集合\(A\)の補集合の補集合\(\left( A^{c}\right) ^{c}\)は集合であるため、さらにその補集合\(\left( \left( A^{c}\right) ^{c}\right) ^{c}\)や、さらにその補集合\(\left( \left( \left( A^{c}\right) ^{c}\right) ^{c}\right) ^{c}\)なども集合です。反射律を繰り返し適用すれば、それらはいずれも\(A\)もしくは\(A^{c}\)と等しくなります。具体的には、\begin{eqnarray*}
\left( A^{c}\right) ^{c} &=&A \\
\left( \left( A^{c}\right) ^{c}\right) ^{c} &=&A^{c} \\
\left( \left( \left( A^{c}\right) ^{c}\right) ^{c}\right) ^{c} &=&A
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。以降についても同様です。

例(反射律の一般化)
集合\(A\)が、\begin{equation*}
A=\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と内包的に定義されているものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
A^{c} &=&\left\{ x\in U\ |\ \lnot P\left( x\right) \right\} \\
\left( A^{c}\right) ^{c} &=&\left\{ x\in U\ |\ \lnot \lnot P\left( x\right)
\right\} =\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \right\} =A \\
\left( \left( A^{c}\right) ^{c}\right) ^{c} &=&\left\{ x\in U\ |\ \lnot
\lnot \lnot P\left( x\right) \right\} =\left\{ x\in U\ |\ \lnot P\left(
x\right) \right\} =A^{c} \\
\left( \left( \left( A^{c}\right) ^{c}\right) ^{c}\right) ^{c} &=&\left\{
x\in U\ |\ \lnot \lnot \lnot \lnot P\left( x\right) \right\} =\left\{ x\in
U\ |\ P\left( x\right) \right\} =A
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

次回はベキ等律と呼ばれる集合演算の性質について学びます。

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