相等関係は同値関係

集合が等しいことを表す相等関係は反射律、推移律、対称律を満たす同値関係です。

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相等関係は同値関係

集合が等しいことを表す相等関係\(=\)は以下の性質を満たします。

命題(相等関係は同値関係)
任意の集合\(X,Y,Z\)について以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X=X \\
&&\left( b\right) \ (X=Y\ \wedge \ Y=Z)\ \Rightarrow \ X=Z \\
&&\left( c\right) \ X=Y\ \Rightarrow \ Y=X
\end{eqnarray*}
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性質\(\left( a\right) \)は、任意の集合は自身と等しいことを意味します。相等関係が満たすこの性質を反射律(reflexive law)と呼びます。性質\(\left( b\right) \)は、\(X\)が\(Y\)と等しく、\(Y\)が\(Z\)と等しい場合には、\(X\)と\(Z\)が等しいことを意味します。相等関係が満たすこの性質を推移律(transitive law)と呼びます。性質\(\left( c\right) \)は、\(X\)と\(Y\)が等しい場合には\(Y\)と\(X\)が等しいことを意味しますが、この性質を対称律(symmetric law)と呼びます。相等関係がこれらの性質を満たすことは、相等関係が同値関係(equivalence relation)と呼ばれる二項関係(binary relation)であることを意味します。二項関係や同値関係については追って説明します。

二項関係について学ぶ 同値関係について学ぶ

次回は反射律と呼ばれる集合演算の性質について学びます。
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