問題1（15点）
問題（集合列の極限）
全体集合を、\begin{equation*}
U=\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}とし、集合列\(\left\{ A_{n}\right\} \)を、\begin{equation*}A_{n}=\left\{
\begin{array}{cc}
\left\{ 1,2\right\} & if\ n\equiv 0\ \left( \mathrm{mod}3\right) \\
\left\{ 2,3\right\} & if\ n\equiv 1\ \left( \mathrm{mod}3\right) \\
\left\{ 2,4\right\} & if\ n\equiv 2\ \left( \mathrm{mod}3\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}とします。以下の問いに答えてください（各5点）。
U=\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}とし、集合列\(\left\{ A_{n}\right\} \)を、\begin{equation*}A_{n}=\left\{
\begin{array}{cc}
\left\{ 1,2\right\} & if\ n\equiv 0\ \left( \mathrm{mod}3\right) \\
\left\{ 2,3\right\} & if\ n\equiv 1\ \left( \mathrm{mod}3\right) \\
\left\{ 2,4\right\} & if\ n\equiv 2\ \left( \mathrm{mod}3\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}とします。以下の問いに答えてください（各5点）。
- \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}\)を求めてください。
- \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n}\)を求めてください。
- \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }A_{n}\)は存在するでしょうか。
問題2（15点）
問題（集合列の極限）
集合列\(\left\{ A_{n}\right\} \)を、\begin{equation*}A_{n}=\left[ 0,1-\frac{1}{n}\right]
\end{equation*}と定義します。以下の問いに答えてください（各5点）。
- \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}\)を求めてください。
- \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n}\)を求めてください。
- \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }A_{n}\)は存在するでしょうか。
問題3（20点）
問題（包含関係と上極限・下極限）
集合列\(\left\{ A_{n}\right\} ,\left\{ B_{n}\right\} \)に対して、\begin{equation*}\exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow A_{n}\subset B_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}\subset
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup B_{n} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n}\subset
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf B_{n}
\end{eqnarray*}が成り立つことをともに証明してください（各10点）。
\end{equation*}が成り立つものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}\subset
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup B_{n} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n}\subset
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf B_{n}
\end{eqnarray*}が成り立つことをともに証明してください（各10点）。
問題4（15点）
問題（和集合と上極限・下極限）
集合列\(\left\{ A_{n}\right\} ,\left\{ B_{n}\right\} \)に対して、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\inf \left( A_{n}\cup B_{n}\right) =\left(
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n}\right) \cup \left( \lim_{n\rightarrow
\infty }\inf B_{n}\right)
\end{equation*}は常に成り立つでしょうか。成り立つ場合には証明を行い、成り立たない場合には反例を提示してください。
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n}\right) \cup \left( \lim_{n\rightarrow
\infty }\inf B_{n}\right)
\end{equation*}は常に成り立つでしょうか。成り立つ場合には証明を行い、成り立たない場合には反例を提示してください。
問題5（15点）
問題（部分列の収束可能性）
集合列\(\left\{ A_{n}\right\} \)が集合\(A\)へ収束するものとします。また、自然数列\(\left\{ l\left( n\right) \right\} \)が狭義単調増加であるものとします。つまり、\begin{equation*}l\left( 1\right) <l\left( 2\right) <l\left( 3\right) <\cdots
\end{equation*}です。このとき、\(\left\{A_{n}\right\} \)の部分列\(\left\{ A_{l\left( n\right)}\right\} \)すなわち、\begin{equation*}A_{l\left( 1\right) },A_{l\left( 2\right) },A_{l\left( 3\right) },\cdots
\end{equation*}もまた\(A\)へ収束することを証明してください。
\end{equation*}です。このとき、\(\left\{A_{n}\right\} \)の部分列\(\left\{ A_{l\left( n\right)}\right\} \)すなわち、\begin{equation*}A_{l\left( 1\right) },A_{l\left( 2\right) },A_{l\left( 3\right) },\cdots
\end{equation*}もまた\(A\)へ収束することを証明してください。
問題6（20点）
問題（偶数部分列と奇数部分列による収束判定）
集合列\(\left\{ A_{n}\right\} \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }A_{2n} &=&A \\
\lim_{n\rightarrow \infty }A_{2n-1} &=&A
\end{eqnarray*}がともに成り立つものとします。この場合、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }A_{n}=A
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\lim_{n\rightarrow \infty }A_{2n-1} &=&A
\end{eqnarray*}がともに成り立つものとします。この場合、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }A_{n}=A
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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