対称差

集合 A,B のどちらか一方だけに属する要素からなる集合を A と B の対称差と呼びます。集合 A が命題関数 P(x) から、集合 B が命題関数 Q(x) から内包的に定義されるとき、A と B の対称差は P(x) と Q(x) のどちらか一方だけが真になるような要素 x からなる集合です。

対称差

2つの集合を比較するとき、一方にだけ属し、両方には属さない要素を取り出したい場合があります。例えば、「数学を履修している学生」の集合と「経済学を履修している学生」の集合が与えられたとき、どちらか一方だけを履修している学生全体を考えることができます。

このように、2つの集合のうち、どちらか一方だけに属する要素からなる集合を対称差（symmetric difference）と呼びます。対称差は、2つの集合の異なる部分を抽出する集合演算であり、論理学における排他的論理和に対応します。

2つの集合\(A,B\)に集合演算子\(\triangle \)を作用することにより得られる、\begin{equation*}A\triangle B
\end{equation*}もまた集合です。\(\triangle \)は対称差（symmetric difference）と呼ばれる集合演算子であり、集合\(A\triangle B\)を\(A\)と\(B\)の対称差（symmetric difference of \(A\) and \(B\)）と呼びます。

全体集合\(U\)と集合\(A,B\)が与えられたとき、\(A\)と\(B \)の対称差は、\(A\)には属する一方で\(B\)には属さない\(U\)の要素と、\(B\)には属する一方で\(A\)には属さない\(U\)の要素を集めることにより得られる集合\begin{equation*}A\triangle B=\left\{ x\in U\ |\ \left( x\in A\wedge x\not\in B\right) \vee
\left( x\in B\wedge x\not\in A\right) \right\}
\end{equation*}として定義されます。このとき、\begin{eqnarray*}
A\triangle B &=&\left\{ x\in U\ |\ \left( x\in A\wedge x\not\in B\right)
\vee \left( x\in B\wedge x\not\in A\right) \right\} \quad \because \text{対称差の定義} \\
&=&\left\{ x\in U\ |\ x\in A\wedge x\not\in B\right\} \cup \left\{ x\in U\
|\ x\in B\wedge x\not\in A\right\} \quad \because \text{和集合の定義} \\
&=&\left( A\backslash B\right) \cup \left( B\backslash A\right) \quad
\because \text{差集合の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
A\triangle B=\left( A\backslash B\right) \cup \left( B\backslash A\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

例（対称差）

以下の2つの集合\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
B &=&\left\{ 2,3,4\right\}
\end{eqnarray*}の対称差は、\begin{eqnarray*}
A\triangle B &=&\left( A\backslash B\right) \cup \left( B\backslash A\right)
\\
&=&\left( \left\{ 1,2,3\right\} \backslash \left\{ 2,3,4\right\} \right)
\cup \left( \left\{ 2,3,4\right\} \backslash \left\{ 1,2,3\right\} \right) \\
&=&\left\{ 1\right\} \cup \left\{ 4\right\} \\
&=&\left\{ 1,4\right\}
\end{eqnarray*}となります。

例（対称差）

以下の2つの集合\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ 1,2,4,6,a\right\} \\
B &=&\left\{ 4,a,b,c,d,e\right\}
\end{eqnarray*}の対称差は、\begin{eqnarray*}
A\triangle B &=&\left( A\backslash B\right) \cup \left( B\backslash A\right)
\\
&=&\left( \left\{ 1,2,4,6,a\right\} \backslash \left\{ 4,a,b,c,d,e\right\}
\right) \cup \left( \left\{ 4,a,b,c,d,e\right\} \backslash \left\{
1,2,4,6,a\right\} \right) \\
&=&\left\{ 1,2,6\right\} \cup \left\{ b,c,d,e\right\} \\
&=&\left\{ 1,2,6,b,c,d,e\right\}
\end{eqnarray*}となります。

例（対称差）

以下の2つの集合\begin{eqnarray*}
A &=&\left[ 0,2\right] \\
B &=&\left[ 1,3\right] \end{eqnarray*}に注目します。つまり、\(A\)は\(0\)以上\(2\)以下のすべての実数からなる集合であり、\(B\)は\(1\)以上\(3\)以下のすべての実数からなる集合です。これらの集合の対称差は、\begin{eqnarray*}A\triangle B &=&\left( A\backslash B\right) \cup \left( B\backslash A\right)
\\
&=&\left( \left[ 0,2\right] \backslash \left[ 1,3\right] \right) \cup \left( \left[ 1,3\right] \backslash \left[ 0,2\right] \right) \\
&=&[0,1)\cup (2,3] \end{eqnarray*}となります。

例（対称差）

以下の2つの集合\begin{eqnarray*}
A &=&\left[ 0,2\right] \\
B &=&\left( 1,3\right)
\end{eqnarray*}に注目します。つまり、\(A\)は\(0\)以上\(2\)以下のすべての実数からなる集合であり、\(B\)は\(1\)より大きく\(3\)より小さいすべての実数からなる集合です。これらの集合の対称差は、\begin{eqnarray*}A\triangle B &=&\left( A\backslash B\right) \cup \left( B\backslash A\right)
\\
&=&\left( \left[ 0,2\right] \backslash \left( 1,3\right) \right) \cup \left(
\left( 1,3\right) \backslash \left[ 0,2\right] \right) \\
&=&\left[ 0,1\right] \cup \left( 2,3\right)
\end{eqnarray*}となります。

対称差の内包的表現

全体集合が\(U\)である状況を想定します。集合\(A\)は以下の条件\begin{equation*}\forall x\in U:\left[ x\in A\Leftrightarrow P\left( x\right) \right] \end{equation*}を満たす命題関数\(P\left(x\right) \)の真理集合として表現可能です。つまり、全体集合\(U\)に属する要素の中でも命題\(P\left( x\right) \)が真になるような要素\(x\)からなる集合が\(A\)であり、\begin{equation*}A=\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と表現できるということです。

2つの集合\(A,B\)がそれぞれ命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)を用いて内包的に定義されている場合、それらの対称差\(A\triangle B\)はどのような命題関数を用いて内包的に表現されるでしょうか。集合\(A,B\)がそれぞれ、\begin{eqnarray}A &=&\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \right\} \quad \cdots (1) \\
B &=&\left\{ x\in U\ |\ Q\left( x\right) \right\} \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}と定義されているものとします。対称差の定義より、任意の\(x\in U\)について、\begin{equation}x\in A\triangle B\Leftrightarrow \left( x\in A\wedge x\not\in B\right) \vee
\left( x\in B\wedge x\not\in A\right) \quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立ちます。以上を踏まえると、任意の\(x\in U\)について、\begin{eqnarray*}x\in A\triangle B &\Leftrightarrow &\left( x\in A\wedge x\not\in B\right)
\vee \left( x\in B\wedge x\not\in A\right) \quad \because \left( 3\right) \\
&\Leftrightarrow &\left( P\left( x\right) \wedge \lnot Q\left( x\right)
\right) \vee \left( Q\left( x\right) \wedge \lnot P\left( x\right) \right)
\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \veebar Q\left( x\right) \quad \because
\text{排他的論理和の定義}
\end{eqnarray*}となるため、以下の命題\begin{equation*}
\forall x\in U:\left[ x\in A\triangle B\Leftrightarrow P\left( x\right)
\veebar Q\left( x\right) \right] \end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、対称差\(A\triangle B\)は命題関数\(P\left( x\right)\veebar Q\left( x\right) \)の真理集合として表現されるため、\begin{equation*}A\triangle B=\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \veebar Q\left( x\right)
\right\}
\end{equation*}となります。全体集合\(U\)に属する要素の中でも命題\(P\left( x\right) \veebar Q\left( x\right) \)が真、すなわち命題\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)のどちらか一方だけが真になるような要素\(x\)からなる集合が\(A\triangle B\)です。対称差\(\triangle \)という集合演算は排他的論理和\(\veebar \)という論理演算から間接的に定義可能であるということです。

命題（対称差の内包的定義）

全体集合が\(U\)であるものとする。集合\(A,B\)が変数\(x\in U\)に関する命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)を用いて、\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \right\} \\
B &=&\left\{ x\in U\ |\ Q\left( x\right) \right\}
\end{eqnarray*}とそれぞれ表現されている場合、対称差\(A\triangle B\)は、\begin{equation*}A\triangle B=\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \veebar Q\left( x\right)
\right\}
\end{equation*}と定まる。

つまり、集合\(A,B\)が命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)を用いてそれぞれ表現されている場合、命題関数\(P\left( x\right) \veebar Q\left( x\right) \)を特定すれば、対称差\(A\triangle B\)を特定できるということです。

先の命題の主張を視覚的に表現したものが以下の図です。

図：対称差

全体集合\(U\)が上の長方形の領域として描かれているものとします。集合\(A\)が命題関数\(P\left( x\right) \)から内包的に定義されているとき、\(A\)は命題\(P\left( x\right) \)が真になるような値\(x\in U\)からなる集合、すなわち\(P\left(x\right) \)の真理集合\(\phi \left( P\right) \)と一致します。同様に、集合\(B\)が命題関数\(Q\left( x\right) \)から内包的に定義されているとき、\(B\)は\(Q\left( x\right) \)の真理集合\(\phi\left( Q\right) \)と一致します。一方、対称差\(A\triangle B\)は論理式\(P\left( x\right) \veebar Q\left( x\right) \)の真理集合\(\phi \left( P\veebar Q\right) \)と一致し、これは上図においてグレーの領域として描かれています。

例（対称差）

全体集合はすべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)であるものとします。集合\(A,B\)が、\begin{align*}A& =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 1<x<10\right\} \\
B& =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 4\leq x\leq 15\right\}
\end{align*}と内包的に定義されているものとします。対称差は、\begin{equation*}
A\triangle B=\{x\in \mathbb{R} \ |\ 1<x<10\veebar 4\leq x\leq 15\}
\end{equation*}となります。もしくは、差集合の定義より、\begin{eqnarray*}
A\backslash B &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 1<x<4\right\} \\
B\backslash A &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 10\leq x\leq 15\right\}
\end{eqnarray*}であることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
A\triangle B &=&\left( A\backslash B\right) \cup \left( B\backslash A\right)
\quad \because \text{対称差の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 1<x<4\vee 10\leq x\leq 15\right\} \quad \because \text{和集合の定義}
\end{eqnarray*}となります。

補集合・共通部分・和集合を用いた対称差の定義

対称差を以下のように表現することもできます。

命題（補集合・共通部分・和集合を用いた対称差の定義）

全体集合が\(U\)であるものとする。集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\triangle B=\left( A\cap B^{c}\right) \cup \left( A^{c}\cap B\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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先の命題は、対称差\(\triangle \)という概念が補集合\(c\)と共通部分\(\cap \)と和集合\(\cup \)という集合演算から間接的に定義可能であることを示唆します。つまり、\(c,\cap ,\cup \)が与えられたとき、任意の集合\(A,B\)に対して、\begin{equation*}A\triangle B=(A\cap B^{c})\cup (A^{c}\cap B)
\end{equation*}を満たすものとして対称差\(\triangle \)を定義できるということです。したがって、補集合と共通部分と和集合さえ定義されていれば対称差を新たな集合演算として定義する必要はありません。とは言え、対称差を独立した集合演算として定義しておくと便利であるため引き続き対称差を利用します。

共通部分・和集合・差集合を用いた対称差の定義

対称差を以下のように表現することもできます。

命題（共通部分・和集合・差集合を用いた対称差の定義）

全体集合が\(U\)であるものとする。集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\triangle B=\left( A\cup B\right) \backslash \left( A\cap B\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\triangle B=\left( A\cup B\right) \backslash \left( A\cap B\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。\(A\cup B\)は\(A,B\)の少なくとも一方に属する要素からなる集合であり、\(A\cap B\)は\(A,B\)の両方に属する要素からなる集合です。したがって、差集合\(\left( A\cup B\right) \backslash \left( A\cap B\right) \)をとれば\(A,B\)の少なくとも一方に属するが両方に属さない集合、すなわち\(A\triangle B\)が得られます。以上が先の命題の解釈です。

対称差の交換法則

差集合に関しては交換法則\begin{equation*}
A\backslash B=B\backslash A
\end{equation*}は成り立つとは限りませんが、対称差については交換法則が常に成り立ちます。

命題（対称差の交換法則）

全体集合が\(U\)であるものとする。集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\triangle B=B\triangle A
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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同じ集合との対称差

同じ集合どうしの対称差をとると空集合が得られます。なぜなら、要素が同じ集合の一方だけに属する事態は起こり得ないからです。

命題（同じ集合との対称差）

全体集合が\(U\)であるものとする。集合\(A\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}A\triangle A=\phi
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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空集合や全体集合との対称差

空集合との対称差をとっても集合として変化せず、全体集合との対称差をとると補集合が得られます。

命題（空集合や全体集合との対称差）

全体集合が\(U\)であるものとする。集合\(A\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A\triangle \phi =A \\
&&\left( b\right) \ A\triangle U=A^{c}
\end{eqnarray*}が成り立つ。

証明

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対称差による集合の相等の特徴づけ

集合\(A,B\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}A=B\Leftrightarrow A\triangle B=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。実際、対称差は2つの集合の食い違っている部分を集めた集合であるため、食い違いが存在しないことと、2つの集合が等しいことは必要十分です。

命題（対称差による集合の相等の特徴づけ）

全体集合が\(U\)であるものとする。集合\(A,B\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}A=B\Leftrightarrow A\triangle B=\phi
\end{equation*}が成り立つ。

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演習問題

問題（対称差と包含関係）

全体集合が\(U\)であるものとします。集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\triangle B\subset A\cup B
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題（補集合との対称差）

全体集合が\(U\)であるものとします。集合\(A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\triangle A^{c}=U
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題（対称差と差集合）

全体集合が\(U\)であるものとします。集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\backslash B=A\triangle \left( A\cap B\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題（対称差に関する結合法則）

全体集合が\(U\)であるものとします。集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( A\triangle B\right) \triangle C=A\triangle \left( B\triangle C\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題（対称差に関する打消しの法則）

全体集合が\(U\)であるものとします。集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( A\triangle B\right) \triangle B=A
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題（対称差と補集合）

全体集合が\(U\)であるものとします。集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A^{c}\triangle B^{c}=A\triangle B
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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