集合 X,Y の少なくとも一方に属する要素からなる集合を X と Y の和集合と呼びます。 X が命題関数 P(x) から、集合 Y が命題関数 Q(x) からそれぞれ内包的に定義されるとき、X と Y の和集合とは 2 つの命題 P(x),Q(x) の少なくとも一方が真になるような要素 x からなる集合です。

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和集合

集合演算子\(\cup \)を和集合(union)と呼び、集合\(A,B\)に\(\cup \)を作用させることで得られる集合を\(A\)と\(B\)の和集合(union of \(A\ \)and \(B\))と呼び、これを\(A\cup B\)と表記します。全体集合\(U\)と集合\(A,B\)が与えられたとき、\(A\)と\(B\)の和集合とは、\(A\)と\(B\)の少なくとも一方に属する要素からなる集合\begin{equation*}
A\cup B=\left\{ x\in U\ |\ x\in A\ \vee \ x\in B\right\}
\end{equation*}として定義されます。このとき、任意の\(x\in U\)に対して、\begin{equation*}
x\in A\cup B\ \Leftrightarrow \ \left( x\in A\ \vee \ x\in B\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

例(和集合)
集合\(A=\{1,2,4,6,a\}\)と集合\(B=\{4,a,b,c,d,e\}\)の和集合は\(A\cup B=\{1,2,4,6,a,b,c,d,e\}\)です。
例(和集合)
集合\(A=\{1,2,3\}\)と集合\(B=\{4,5,6\}\)の和集合は\(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}\)です。
例(和集合)
集合\(A=\left[ 0,2\right] \)と集合\(B=\left[ 1,3\right] \)の和集合は\(A\cup B=\left[ 0,3\right] \)です。

 

和集合の内包的表現

集合\(A,B\)が命題関数を用いて、\begin{eqnarray}
A &=&\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \right\} \tag{1} \\
B &=&\left\{ x\in U\ |\ Q\left( x\right) \right\} \tag{2}
\end{eqnarray}と内包的に定義されているものとします。このとき、任意の\(x\in U\)に対して、\begin{eqnarray*}
x\in A\cup B &\Leftrightarrow &\left( x\in A\vee x\in B\right) \quad
\because \cup \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \vee Q\left( x\right) \quad \because A,B\text{の定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立つため、\(A\)と\(B\)の和集合を、\begin{equation}
A\cup B=\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \vee Q\left( x\right) \right\}
\tag{3}
\end{equation}と表現することもできます。つまり、全体集合\(U\)に属する要素の中でも、命題\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)の少なくとも一方が真になるような要素\(x\)からなる集合が\(A\cup B\)です。和集合\(\cup \)という集合演算は、論理和\(\vee \)という論理演算から間接的に定義される概念です。

論理和ついて復習する

全体集合\(U\)は下図において長方形の領域として表されます。集合\(A\)は命題関数\(P\left( x\right) \)から\(\left( 1\right) \)のように、集合\(B\)は命題関数\(Q\left( x\right)\)から\(\left( 2\right) \)のようにそれぞれ内包的に定義されるとき、\(A\)は\(P\left( x\right)\)の真理集合\(\phi \left( P\right) \)と一致し、\(B\)は\(Q\left( x\right) \)の真理集合\(\phi \left( Q\right) \)と一致します。和集合\(A\cup B\)は下図ではグレーの領域として表されますが、これは論理和\(P\left( x\right) \vee Q\left( X\right) \)の真理集合\(\phi \left( P\vee Q\right) \)である\(\left( 3\right) \)と一致します。

図:和集合
図:和集合
例(和集合)
集合\(A,B\)が、\begin{align*}
A& =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 1<x<10\right\} \\
B& =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 4\leq x\leq 15\right\}
\end{align*}としてそれぞれ与えられているとき、それらの和集合は、\begin{eqnarray*}
A\cup B &=&\{x\in \mathbb{R} \ |\ 1<x<10\ \vee \ 4\leq x\leq 15\} \\
&=&\{x\in \mathbb{R} \ |\ 1<x\leq 15\} \\
&=&(1,15] \end{eqnarray*}となります。
例(和集合)
集合\(A,B\)が、\begin{align*}
A& =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}-1=0\right\} \\
B& =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -1<x<1\right\}
\end{align*}としてそれぞれ与えられているとき、それらの和集合は、\begin{eqnarray*}
A\cup B &=&\{x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}-1=0\ \vee \ -1<x<1\} \\
&=&\{x\in \mathbb{R} \ |\ -1\leq x\leq 1\} \\
&=&\left[ -1,1\right] \end{eqnarray*}となります。
例(和集合)
集合\(A\)と空集合\(\phi \)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \right\} \\
\phi &=&\left\{ x\in U\ |\ \bot \right\}
\end{eqnarray*}と内包的に定義されているものとします。ただし、\(\bot \)は恒偽式です。このとき、任意の\(x\in U\)について、\begin{eqnarray*}
x\in A\cup \phi &\Leftrightarrow &x\in A\vee x\in \phi \quad \because \cup
\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \vee \bot \quad \because A,\phi \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \\
&\Leftrightarrow &x\in A\quad \because A\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(A\cup \phi =A\)が成り立ちます。同様にして、\(A\cup U=U\)であることが示されます。

 

和集合による包含関係の定義

全体集合を\(U\)とします。集合\(A,B\)が\(A\cup B=B\)を満たす場合、任意の\(x\in U\)に対して、\begin{eqnarray*}
x\in A &\Rightarrow &x\in A\cup B\quad \because A\subset A\cup B \\
&\Leftrightarrow &x\in B\quad \because A\cup B=B
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(A\subset B\)が成り立つことを意味します。また、逆に、\(A\subset B\)から\(A\cup B=B\)を導くこともできます(演習問題にします)。

命題(和集合による包含関係の定義)
集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\(A\cup B=B\)が成り立つことは、\(A\subset B\)が成り立つための必要十分条件である。
証明を見る(プレミアム会員限定)

上の命題の意味を以下に視覚化しました。下図では\(A\subset B\)が成り立っています。和集合\(A\cup B\)は下図のグレーの領域であり、これは\(B\)と一致しています。

図:包含関係と和集合
図:包含関係と和集合

この命題は、包含関係\(\subset \)という概念が、和集合\(\cup \)という集合演算から間接的に定義可能であることを示唆します。つまり、\(\cup \)が与えられたとき、任意の集合\(A,B\)に対して、\begin{equation*}
A\subset B\ \Leftrightarrow \ A\cup B=B
\end{equation*}を満たすものとして\(\subset \)を定義できるということです。

 

包含関係による和集合の定義

和集合\(\cup \)が与えられれば、そこから間接的に包含関係\(\subset \)を定義できることが明らかになりましたが、実はその逆も成立します。

命題(包含関係による和集合の定義)
任意の集合\(A,B,C\)について以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ A\subset A\cup B \\
&&\left( b\right) \ B\subset A\cup B \\
&&\left( c\right) \ (A\subset C)\ \wedge \ (B\subset C)\ \Rightarrow \ A\cup
B\subset C
\end{eqnarray*}
証明を見る(プレミアム会員限定)

集合\(A,B\)を任意に選ぶと、\(\left( a\right) \)と\(\left( b\right) \)より、それらはともに和集合\(A\cup B\)の部分集合です。さらに、\(A\)と\(B\)の双方を部分集合として持つ集合\(C\)を任意に選ぶと、\(\left( c\right) \)より、\(C\)は必ず\(A\cup B\)を部分集合として持ちます。したがって、上の命題は、和集合\(A\cup B\)は\(A\)と\(B\)の両方を部分集合として持つ集合の中でも最小の集合であることを意味します。

この事実は、和集合\(\cup \)という集合演算が、包含関係\(\subset \)から間接的に定義可能な概念であることを示唆します。つまり、\(\subset \)が与えられたとき、集合\(A,B\)をについて、「\(A\)と\(B\)の両方を部分集合として持つ集合の中でも最小の集合」として\(A\cup B\)を定義できるということです。

次回は差集合について学びます。

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