和集合

和集合

2つの集合\(A,B\)に集合演算子\(\cup \)を作用することで得られる、\begin{equation*}A\cup B
\end{equation*}もまた集合です。\(\cup \)は和集合（union）と呼ばれる集合演算子であり、集合\(A\cup B\)を\(A\)と\(B\)の和集合（union of \(A\ \)and \(B\)）と呼びます。

全体集合が\(U\)であるものとします。集合\(A,B\)が与えられたとき、それらの和集合\(A\cup B\)とは、\(U\)の要素の中でも\(A\)または\(B\)の少なくとも一方に属するものからなる集合\begin{equation*}A\cup B=\left\{ x\in U\ |\ x\in A\vee x\in B\right\}
\end{equation*}として定義されます。つまり、\(A\)に属する一方で\(B\)に属さない要素、\(A\)に属さない一方で\(B\)に属する要素、\(A\)と\(B\)の両方に属する要素はいずれも和集合\(A\cup B\)の要素です。

定義より、以下の関係\begin{equation*}
\forall x\in U:\left[ x\in A\cup B\Leftrightarrow \left( x\in A\vee x\in
B\right) \right] \end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(x\)が和集合\(A\cup B\)の要素であることと、\(x\)が\(A\)または\(B\)の少なくとも一方の要素であることは必要十分です。このとき、\begin{equation*}\forall x\in U:\left[ x\not\in A\cup B\Leftrightarrow \left( x\not\in
A\wedge x\not\in B\right) \right] \end{equation*}もまた成り立ちます。つまり、\(x\)が和集合\(A\cup B\)の要素ではないことと、\(x\)が\(A\)と\(B\)のどちらの要素でもないことは必要十分です。

和集合の内包的表現

全体集合が\(U\)である状況を想定します。集合\(A\)は以下の条件\begin{equation*}\forall x\in U:\left[ x\in A\Leftrightarrow P\left( x\right) \right] \end{equation*}を満たす命題関数\(P\left(x\right) \)の真理集合として表現可能です。つまり、全体集合\(U\)に属する要素の中でも命題\(P\left( x\right) \)が真になるような要素\(x\)からなる集合が\(A\)であり、\begin{equation*}A=\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と表現できるということです。

2つの集合\(A,B\)がそれぞれ命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)を用いて内包的に定義されている場合、それらの和集合\(A\cup B\)はどのような命題関数を用いて内包的に表現されるでしょうか。集合\(A,B\)がそれぞれ、\begin{eqnarray}A &=&\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \right\} \quad \cdots (1) \\
B &=&\left\{ x\in U\ |\ Q\left( x\right) \right\} \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}と定義されているものとします。和集合の定義より、任意の\(x\in U\)について、\begin{equation}x\in A\cup B\Leftrightarrow x\in A\vee x\in B \quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立ちます。以上を踏まえると、任意の\(x\in U\)について、\begin{eqnarray*}x\in A\cup B &\Leftrightarrow &x\in A\vee x\in B\quad \because \left(
3\right) \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \vee Q\left( x\right) \quad \because
\left( 1\right) ,\left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、以下の命題\begin{equation*}
\forall x\in U:\left[ x\in A\cup B\Leftrightarrow P\left( x\right) \vee
Q\left( x\right) \right] \end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、和集合\(A\cup B\)は論理和\(P\left( x\right) \vee Q\left(x\right) \)の真理集合として表現されるため、\begin{equation*}A\cup B=\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \vee Q\left( x\right) \right\}
\end{equation*}となります。全体集合\(U\)に属する要素の中でも命題\(P\left( x\right) \vee Q\left( x\right) \)が真、すなわち2つの命題\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)の少なくとも一方が真になるような要素\(x\)からなる集合が\(A\cup B\)です。和集合\(\cup \)という集合演算は論理和\(\vee \)から間接的に定義可能であるということです。

つまり、集合\(A,B\)が命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)を用いてそれぞれ表現されている場合、それらの論理和\(P\left( x\right) \vee Q\left( x\right) \)をとれば、和集合\(A\cup B\)を特定できるということです。

上の命題の主張を視覚的に表現したものが以下の図です。

全体集合\(U\)が上の長方形の領域として描かれているものとします。集合\(A\)が命題関数\(P\left( x\right) \)から内包的に定義されているとき、\(A\)は命題\(P\left( x\right) \)が真になるような値\(x\in U\)からなる集合、すなわち\(P\left(x\right) \)の真理集合\(\phi \left( P\right) \)と一致します。同様に、集合\(B\)が命題関数\(Q\left( x\right) \)から内包的に定義されているとき、\(B\)は\(Q\left( x\right) \)の真理集合\(\phi\left( Q\right) \)と一致します。一方、和集合\(A\cup B\)は論理和\(P\left( x\right) \vee Q\left( x\right) \)の真理集合\(\phi \left( P\vee Q\right) \)と一致し、これは上図においてグレーの領域として描かれています。

空集合や全体集合との和集合

全体集合\(U\)は恒真式\(\top \)を用いて内包的に表現され、空集合\(\phi \)は恒偽式\(\bot \)を用いて内包的に表現されます。つまり、\begin{eqnarray*}U &=&\left\{ x\in U\ |\ \top \right\} \\
\phi &=&\left\{ x\in U\ |\ \bot \right\}
\end{eqnarray*}です。以上の事実を用いると、全体集合や空集合との和集合に関する以下の命題が導かれます。つまり、集合が与えられたとき、全体集合との和集合をとると全体集合が得られ、空集合との和集合をとっても集合として変化しません。

補集合との和集合

集合\(A\)を任意に選んだ上で、その補集合\(A^{c}\)をとります。補集合\(A^{c}\)は集合\(A\)に属さない要素からなる集合であるため、全体集合\(U\)に属する任意の要素は\(A\)または\(A^{c}\)のどちらか一方に属するため、\begin{equation*}A\cup A^{c}=U
\end{equation*}を得ます。集合と補集合の和集合は全体集合であるということです。

和集合を用いた包含関係の定義

全体集合を\(U\)とします。集合\(A,B\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}A\subset B\Leftrightarrow A\cup B=B
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、\(A\)が\(B\)の部分集合であることと、\(A\)と\(B\)の和集合が\(B\)と一致することは必要十分です。

上の命題は、包含関係\(\subset \)という概念が和集合\(\cup \)という集合演算から間接的に定義可能であることを示唆します。つまり、\(\cup \)が与えられたとき、任意の集合\(A,B\)に対して、\begin{equation*}A\subset B\Leftrightarrow A\cup B=B
\end{equation*}を満たすものとして\(\subset \)を定義できるということです。

包含関係を用いた和集合の定義

和集合\(\cup \)が与えられればそこから間接的に包含関係\(\subset \)を定義できることが明らかになりましたが、実はその逆も成立します。まずは以下の命題を示します。

集合\(A,B\)を任意に選ぶと、\(\left( a\right) \)と\(\left( b\right) \)より、それらはともに和集合\(A\cup B\)の部分集合になります。さらに、\(A\)と\(B \)の双方を部分集合として持つ集合\(C\)を任意に選ぶと、\(\left( c\right) \)より、\(C\)は必ず\(A\cup B\)を部分集合として持ちます。したがって、上の命題は、和集合\(A\cup B\)は\(A\)と\(B\)の両方を部分集合として持つ集合の中でも最小の集合であることを示唆します。この事実は、和集合\(\cup \)という集合演算が包含関係\(\subset \)から間接的に定義可能な概念であることを示唆します。つまり、\(\subset \)が与えられたとき、集合\(A,B\)をについて、「\(A\)と\(B\)の両方を部分集合として持つ集合の中でも最小の集合」として\(A\cup B\)を定義できるということです。

演習問題