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和集合

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和集合

集合演算子\(\cup \)を和集合(union)と呼び、集合\(A,B\)に\(\cup \)を作用させることで得られる集合を\(A\)と\(B\)の和集合(union of \(A\ \)and \(B\))と呼び、これを\(A\cap B\)と表記します。全体集合\(U\)と集合\(A,B\)が与えられたとき、\(A\)と\(B\)の和集合とは、\(A\)と\(B\)の少なくとも一方に属する\(U\)の要素からなる集合\begin{equation*}A\cup B=\left\{ x\in U\ |\ x\in A\vee x\in B\right\}
\end{equation*}として定義されます。このとき、任意の\(x\in U\)に対して、\begin{equation*}x\in A\cup B\ \Leftrightarrow \ \left( x\in A\vee x\in B\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

例(和集合)
集合\(A=\{1,2,4,6,a\}\)と集合\(B=\{4,a,b,c,d,e\}\)の和集合は\(A\cup B=\{1,2,4,6,a,b,c,d,e\}\)です。
例(和集合)
集合\(A=\{1,2,3\}\)と集合\(B=\{4,5,6\}\)の和集合は\(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}\)です。
例(和集合)
集合\(A=\left[ 0,2\right] \)と集合\(B=\left[ 1,3\right] \)の和集合は\(A\cup B=\left[ 0,3\right] \)です。
例(和集合)
集合\(A\)を任意に選んだ上で、その補集合\(A^{c}\)をとります。補集合の定義より、\(A^{c}\)は全体集合\(U\)の要素の中でも\(A\)に属さないものからなる集合であるため、\begin{equation*}A\cup A^{c}=U
\end{equation*}という関係が成り立ちます(厳密な証明は演習問題にします)。

例(和集合)
全体集合\(U\)はすべての人間からなる集合であるものとします。\(A\)はすべての\(20\)歳以上の人間からなる集合であり、\(B\)はすべての男性からなる集合であるとき、\begin{eqnarray*}A\cup B &=&\left\{ x\in U\ |\ x\text{は}20\text{歳以上または男性}\right\} \\
A^{c}\cup B &=&\left\{ x\in U\ |\ x\text{は}19\text{歳以下または男性}\right\} \\
A\cup B^{c} &=&\left\{ x\in U\ |\ x\text{は}20\text{歳以上または非男性}\right\} \\
A^{c}\cup B^{c} &=&\left\{ x\in U\ |\ x\text{は}19\text{歳以下または非男性}\right\}
\end{eqnarray*}などとなります。

 

和集合の内包的表現

全体集合が\(U\)であるとします。このとき、議論の対象である2つの集合\(A,B\)を内包的に表現することは、何らかの命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left(x\right) \)を導入した上で、\(U\)の要素の中でも命題\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)が真になるようなものからなる集合\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \right\} \\
B &=&\left\{ x\in U\ |\ Q\left( x\right) \right\}
\end{eqnarray*}をそれぞれ考えることを意味します。では、これらの集合\(A,B\)の和集合\(A\cup B\)はどのような形で内包的に表現できるでしょうか。任意の\(x\in U\)に対して、\begin{eqnarray*}x\in A\cup B &\Leftrightarrow &x\in A\vee x\in B\quad \because \text{和集合の定義} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \vee Q\left( x\right) \quad \because A,B\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
A\cup B=\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \vee Q\left( x\right) \right\}
\end{equation*}となります。つまり、全体集合\(U\)に属する要素の中でも命題\(P\left(x\right) ,Q\left( x\right) \)の少なくとも一方が真になるような要素\(x\)からなる集合が\(A\cup B\)です。和集合\(\cup \)という集合演算は論理和\(\vee \)から間接的に定義可能であるということです。

図:和集合
図:和集合

同じことを視覚的に表現します。全体集合\(U\)が上の長方形の領域として描かれているものとします。集合\(A\)が命題関数\(P\left( x\right) \)から内包的に定義されているとき、\(A\)は命題\(P\left( x\right) \)が真になるような値\(x\in U\)からなる集合、すなわち\(P\left( x\right) \)の真理集合\(\phi \left( P\right) \)と一致します。同様に、集合\(B\)が命題関数\(Q\left( x\right) \)から内包的に定義されているとき、\(A\)は\(Q\left(x\right) \)の真理集合\(\phi \left( Q\right) \)と一致します。一方、和集合\(A\cup B\)は論理和\(P\left( x\right) \vee Q\left( x\right) \)の真理集合\(\phi \left( P\vee Q\right) \)と一致し、これは上図においてグレーの領域として描かれています。

例(和集合)
集合\(A,B\)が、\begin{align*}A& =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 1<x<10\right\} \\
B& =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 4\leq x\leq 15\right\}
\end{align*}と内包的に定義されているとき、それらの和集合は、\begin{eqnarray*}
A\cup B &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 1<x<10\vee 4\leq x\leq 15\right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 1<x\leq 15\right\} \\
&=&(1,15] \end{eqnarray*}となります。

例(和集合)
集合\(A,B\)が、\begin{align*}A& =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}-1=0\right\} \\
B& =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -1<x<1\right\}
\end{align*}と内包的に定義されているとき、それらの和集合は、\begin{eqnarray*}
A\cup B &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}-1=0\vee -1<x<1\right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left( x=1\vee x=-1\right) \vee -1<x<1\right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -1\leq x\leq 1\right\} \\
&=&\left[ -1,1\right] \end{eqnarray*}となります。

例(和集合)
集合\(A\)が任意に与えられたとき、任意の\(x\in U\)について、\begin{eqnarray*}x\in A\cup \phi &\Leftrightarrow &x\in A\vee x\in \phi \quad \because \text{和集合の定義} \\
&\Leftrightarrow &x\in A\quad \because x\in \phi \text{は恒偽式}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
A\cup \phi =A
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、任意の集合と空集合の和集合はもとの集合と一致します。同様にして、\begin{equation*}
A\cup U=U
\end{equation*}が成り立つことも示されます(演習問題にします)。つまり、任意の集合と全体集合の共通部分は全体集合と一致します。

 

和集合と部分集合の関係

全体集合を\(U\)とします。集合\(A,B\)が\(A\cup B=B\)を満たす場合、任意の\(x\in U\)に対して、\begin{eqnarray*}x\in A &\Rightarrow &x\in A\vee x\in B\quad \because \text{選言導入} \\
&\Leftrightarrow &x\in A\cup B\quad \because \text{和集合の定義} \\
&\Leftrightarrow &x\in B\quad \because A\cup B=B
\end{eqnarray*}となるため\(A\subset B\)が成り立ちます。逆に、\(A\subset B\)から\(A\cup B=B\)を導くこともできます(演習問題にします)。

命題(和集合による包含関係の定義)
集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\(A\cup B=B\)が成り立つことは、\(A\subset B\)が成り立つための必要十分条件である。
証明

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上の命題は、包含関係\(\subset \)という概念が和集合\(\cup \)という集合演算から間接的に定義可能であることを示唆します。つまり、\(\cap \)が与えられたとき、任意の集合\(A,B\)に対して、\begin{equation*}A\subset B\Leftrightarrow A\cup B=B
\end{equation*}を満たすものとして\(\subset \)を定義できるということです。

共通部分\(\cap \)が与えられればそこから間接的に包含関係\(\subset \)を定義できることが明らかになりましたが、実はその逆も成立します。まずは以下の命題を示します(演習問題にします)。

命題(包含関係による和集合の定義)
任意の集合\(A,B,C\)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A\subset A\cup B \\
&&\left( b\right) \ B\subset A\cup B \\
&&\left( c\right) \ (A\subset C)\wedge (B\subset C)\Rightarrow A\cup
B\subset C
\end{eqnarray*}が成り立つ。

証明

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集合\(A,B\)を任意に選ぶと、\(\left( a\right) \)と\(\left( b\right) \)より、それらはともに和集合\(A\cup B\)の部分集合になります。さらに、\(A\)と\(B\)の双方を部分集合として持つ集合\(C\)を任意に選ぶと、\(\left( c\right) \)より、\(C\)は必ず\(A\cup B\)を部分集合として持ちます。したがって、上の命題は、和集合\(A\cup B\)は\(A\)と\(B\)の両方を部分集合として持つ集合の中でも最小の集合であることを示唆します。この事実は、和集合\(\cup \)という集合演算が包含関係\(\subset \)から間接的に定義可能な概念であることを示唆します。つまり、\(\subset \)が与えられたとき、集合\(A,B\)をについて、「\(A\)と\(B\)の両方を部分集合として持つ集合の中でも最小の集合」として\(A\cup B\)を定義できるということです。

 

演習問題

問題(和集合)
全体集合\(U\)と集合\(A,B\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}U &=&\left\{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8\right\} \\
A &=&\left\{ 0,2,4,6,8\right\} \\
B &=&\left\{ 1,3,5,7\right\}
\end{eqnarray*}で与えられているとき、以下のそれぞれの集合を外延的に表記してください。

  1. \(A\cup A^{c}\)
  2. \(A\cup B\)
  3. \(A\cup B^{c}\)
  4. \(A^{c}\cup B^{c}\)
  5. \(\left( A\cup B\right) ^{c}\)
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問題(補集合との和集合)
任意の集合\(A\)について、\begin{equation*}A\cup A^{c}=U
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。ただし、\(U\)は全体集合です。
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問題(空集合や全体集合との和集合)
任意の集合\(A\)と全体集合\(U\)および空集合\(\phi \)の間には以下の関係\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A\cup \phi =A \\
&&\left( b\right) \ A\cup U=U
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを証明してください。

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問題(包含関係の特徴づけ)
集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\subset B\Leftrightarrow A^{c}\cup B=U
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。

証明

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次回は差集合について学びます。

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