問題
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結果
回答者 | 正解者 |
5名 | 3名 |
解答
命題変数\(P_{1},P_{2},P_{3}\)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}
P_{1} &:&\text{1号室には入居者がいる} \\
P_{2} &:&\text{2号室には入居者がいる} \\
P_{3} &:&\text{3号室には入居者がいる}
\end{eqnarray*}と定義します。このとき、「この中の1室だけには入居者がおり、他の2室は空いている」ことは、以下の論理式\begin{equation}
\left( P_{1}\wedge \lnot P_{2}\wedge \lnot P_{3}\right) \vee \left( \lnot
P_{1}\wedge P_{2}\wedge \lnot P_{3}\right) \vee \left( \lnot P_{1}\wedge
\lnot P_{2}\wedge P_{3}\right) \tag{1}
\end{equation}として定式化されます。また、3人のスタッフによる発言をそれぞれ定式化すると、\begin{equation*}
\lnot P_{1},\quad \lnot P_{2},\quad P_{2},
\end{equation*}となるため、「3人の中の1人は正しいことを言っており、他の2人は間違ったことを言っている」ことは、以下の論理式\begin{equation*}
\left( \lnot P_{1}\wedge \lnot \lnot P_{2}\wedge \lnot P_{2}\right) \vee
\left( \lnot \lnot P_{1}\wedge \lnot P_{2}\wedge \lnot P_{2}\right) \vee
\left( \lnot \lnot P_{1}\wedge \lnot \lnot P_{2}\wedge P_{2}\right)
\end{equation*}として定式化されますが、これを同値変形すると、二重否定より、\begin{equation*}
\left( \lnot P_{1}\wedge P_{2}\wedge \lnot P_{2}\right) \vee \left(
P_{1}\wedge \lnot P_{2}\wedge \lnot P_{2}\right) \vee \left( P_{1}\wedge
P_{2}\wedge P_{2}\right)
\end{equation*}となり、ベキ等律および矛盾律より、\begin{equation*}
\left( \lnot P_{1}\wedge \bot \right) \vee \left( P_{1}\wedge \lnot
P_{2}\right) \vee \left( P_{1}\wedge P_{2}\right)
\end{equation*}となり(\(\bot \)は恒偽式)、恒等律より、\begin{equation}
\left( P_{1}\wedge \lnot P_{2}\right) \vee \left( P_{1}\wedge P_{2}\right)
\tag{2}
\end{equation}となります。\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)がともに真になるような解釈は存在するでしょうか。
$$\begin{array}{ccccc}
\hline
P_{1} & P_{2} & P_{3} & \left( 1\right) & \left( 2\right) \\
\hline
1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
\end{array}$$
上の真理値表より、以下の解釈\begin{equation*}
\left( P_{1},P_{2},P_{3}\right) =\left( 1,0,0\right)
\end{equation*}においてのみ\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)がともに真になります。つまり、\(P_{1}\)は真である一方で\(P_{2}\)と\(P_{3}\)は偽ですが、これは1号室に入居者がいる一方で、2号室と3号室は空いていることを意味します。したがって、空いているのは2号室と3号室であることが明らかになりました。
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