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【挑戦問題】論理パズル「空いている部屋はどこか」

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問題

問題
あるマンションには「1号室」「2号室」「3号室」の3つの部屋があります。この中の1室だけには入居者がおり、他の2室は空いていることが分かっているものとします。ただ、実際にどの部屋が開いているかは分かりません。近所の不動産屋で聞いたところ、あるスタッフは「1号室は空いていますよ」と言い、別のスタッフは「2号室は空いていますよ」と言い、さらに別のスタッフは「2号室には入居者がいますよ」と言っています。この3人の中の1人は正しいことを言っており、他の2人は間違ったことを言っていることが分かっているものとします。ただし、誰の発言が正しいかは分かりません。以上の状況において、どの2部屋が空いているかを特定できるでしょうか。特定できる場合にはそのことを(命題論理の言語を用いて)論理的に示し、特定できない場合にはその理由を説明してください。

プレミアム会員の方は下部にあるメールフォーム(ログインすると表示されます)から答案を送ってください(手書きの答案を撮影した画像を送ることもできます)。答案の提出期限は2021年2月14日です。答案の提出期限は過ぎましたが、引き続きコメント欄に答案などを投稿していただくことは可能です。

 

結果

回答者 正解者
5名 3名

 

解答

命題変数\(P_{1},P_{2},P_{3}\)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}
P_{1} &:&\text{1号室には入居者がいる} \\
P_{2} &:&\text{2号室には入居者がいる} \\
P_{3} &:&\text{3号室には入居者がいる}
\end{eqnarray*}と定義します。このとき、「この中の1室だけには入居者がおり、他の2室は空いている」ことは、以下の論理式\begin{equation}
\left( P_{1}\wedge \lnot P_{2}\wedge \lnot P_{3}\right) \vee \left( \lnot
P_{1}\wedge P_{2}\wedge \lnot P_{3}\right) \vee \left( \lnot P_{1}\wedge
\lnot P_{2}\wedge P_{3}\right) \tag{1}
\end{equation}として定式化されます。また、3人のスタッフによる発言をそれぞれ定式化すると、\begin{equation*}
\lnot P_{1},\quad \lnot P_{2},\quad P_{2},
\end{equation*}となるため、「3人の中の1人は正しいことを言っており、他の2人は間違ったことを言っている」ことは、以下の論理式\begin{equation*}
\left( \lnot P_{1}\wedge \lnot \lnot P_{2}\wedge \lnot P_{2}\right) \vee
\left( \lnot \lnot P_{1}\wedge \lnot P_{2}\wedge \lnot P_{2}\right) \vee
\left( \lnot \lnot P_{1}\wedge \lnot \lnot P_{2}\wedge P_{2}\right)
\end{equation*}として定式化されますが、これを同値変形すると、二重否定より、\begin{equation*}
\left( \lnot P_{1}\wedge P_{2}\wedge \lnot P_{2}\right) \vee \left(
P_{1}\wedge \lnot P_{2}\wedge \lnot P_{2}\right) \vee \left( P_{1}\wedge
P_{2}\wedge P_{2}\right)
\end{equation*}となり、ベキ等律および矛盾律より、\begin{equation*}
\left( \lnot P_{1}\wedge \bot \right) \vee \left( P_{1}\wedge \lnot
P_{2}\right) \vee \left( P_{1}\wedge P_{2}\right)
\end{equation*}となり(\(\bot \)は恒偽式)、恒等律より、\begin{equation}
\left( P_{1}\wedge \lnot P_{2}\right) \vee \left( P_{1}\wedge P_{2}\right)
\tag{2}
\end{equation}となります。\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)がともに真になるような解釈は存在するでしょうか。

$$\begin{array}{ccccc}
\hline
P_{1} & P_{2} & P_{3} & \left( 1\right) & \left( 2\right) \\
\hline
1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

表:真理値表

上の真理値表より、以下の解釈\begin{equation*}
\left( P_{1},P_{2},P_{3}\right) =\left( 1,0,0\right)
\end{equation*}においてのみ\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)がともに真になります。つまり、\(P_{1}\)は真である一方で\(P_{2}\)と\(P_{3}\)は偽ですが、これは1号室に入居者がいる一方で、2号室と3号室は空いていることを意味します。したがって、空いているのは2号室と3号室であることが明らかになりました。

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