教材一覧
DIFFERENTIATION OF FUNCTIONS

関数の微分

OVERVIEW

本節で学ぶ内容

1変数関数の微分について学びます。具体的には、微分の概念を定義した上で、微分の基本性質や初等関数の微分、平均値の定理、高階の微分、テイラーの定理などについて学びます。これらの知識は後に1変数関数を目的関数とする最適化について学ぶ上での基盤になります。
TABLE OF CONTENTS

目次

SECTION 1

微分

命題論理の基本単位である「論理式」と呼ばれる概念を形式的に定義します。

関数の微分

実数空間の部分集合上に定義された関数が定義域上の点において微分可能であることの意味を定義します。また、関数を微分することの直感的な意味を解説します。

Read More »

線型近似としての微分

関数を微分することとは、その関数をシンプルな1次式で近似する(線型近似)ことを意味します。その意味をランダウの記号や無限小などの概念を用いて解説します。

Read More »

関数の片側微分(半微分)

関数の点における微分係数は極限を用いて定義されますが、その点が区間の境界点である場合などには通常の意味での極限が定義不可能であるため、片側極限を用いて微分可能性を定義します。このようにして定義された微分係数を片側微分係数と呼びます。

Read More »

片側微分を用いた微分可能性の判定

関数が点において右側微分可能かつ左側微分可能であるとともに左右の片側微分係数が一致することは、その関数がその点において微分可能であることと必要十分であるとともに、その場合、微分係数は片側微分係数と一致します。

Read More »

導関数

関数が微分可能な定義域上のそれぞれの点に対して、そこでの微分係数(もしくは片側微分係数)を像として定める関数を導関数と呼びます。

Read More »
SECTION 2

微分の基本性質

微分に関して議論を行う上で最低限必要となる性質について解説します。

微分可能性と連続性

微分可能な関数は連続であり、右側微分可能な関数は右側連続であり、左側微分可能な関数は左側連続です。一方、これらの逆は成立するとは限りません。

Read More »

有理関数の微分

有理関数(多項式関数どうしの商として定義される関数)は微分可能であることを示すとともに、その微分係数および導関数を求める方法を解説します。

Read More »

合成関数の微分

微分可能な関数を合成して得られる関数もまた微分可能です。合成関数の微分公式と、合成関数を微分する際に役立つ連鎖公式について解説します。

Read More »
SECTION 3

初等関数の微分

代表的な関数の微分について解説するとともに、それらの知識を利用してより広範な関数を微分する方法を解説します。

指数関数の微分

自然指数関数は任意の点において微分可能であることを示すとともに、その導関数はもとの自然指数関数と一致します。また、自然指数関数と微分可能な関数の合成関数について、その導関数を特定します。

Read More »

自然数ベキ関数の微分

自然数ベキ関数が微分可能であることを示すとともに、その微分係数や導関数を求める方法を解説します。自然数ベキ関数は任意の点において微分可能であるため、微分可能な関数と自然数ベキ関数の合成関数は微分可能であることが保証されるとともに、その導関数を連鎖公式により求めることができます。

Read More »

整数ベキ関数の微分

整数ベキ関数(特に負整数ベキ関数)が微分可能であることを示すとともに、その微分係数や導関数を求める方法を解説します。整数ベキ関数は微分可能であるため、微分可能な関数と整数ベキ関数の合成関数は微分可能であることが保証されるとともに、その導関数を連鎖公式により求めることができます。

Read More »

無理関数の微分

無理関数は正の実数であるような任意の点において微分可能です。したがって、正の実数を値としてとる関数と無理関数の合成関数は微分可能です。

Read More »

正弦関数の微分

正弦関数は数直線上の任意の点において微分可能であるとともに、その導関数は余弦関数と一致します。したがって、任意の微分可能な関数と正弦関数の合成関数もまた微分可能です。

Read More »

余弦関数の微分

余弦(コサイン)関数は数直線上の任意の点において微分可能であるとともに、その導関数は正弦(サイン)関数に負の記号をつけたものと一致します。したがって、任意の微分可能な関数と余弦関数の合成関数もまた微分可能です。

Read More »
SECTION 4

平均値の定理

準備中です。

SECTION 5

高階の微分

準備中です。

SECTION 6

テイラーの定理

準備中です。

RELATED KNOWLEDGE

関連知識

REQUIRED KNOWLEDGE

必須知識

本節の内容を理解するためには以下の分野の知識が必要です。

関数

実数空間もしくはその部分集合を定義域とし、実数空間を終集合とする写像を関数と呼びます。言い換えると、関数とはそれぞれの実数に対して実数を1つずつ定める規則です。

READ MORE »

直線の位相

実数空間すなわち数直線の位相に関するテキストと演習問題です。実数空間上の開集合や閉集合など、位相を規定する概念について解説します。

READ MORE »
ADVANCED KNOWLEDGE

発展知識

本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での土台になります。

スカラー場の微分

スカラー場(多変数関数)について、その微分(偏微分・方向微分・全微分)を定義した上で、微分に関して成り立つ様々な性質を解説します。

READ MORE »

ワイズの理念とサービス内容

REGISTER

プレミアム会員登録

CONTACT

メールフォーム