OVERVIEW
本節で学ぶ内容
1変数関数の微分について学びます。具体的には、微分の概念を定義した上で、微分の基本性質や初等関数の微分、平均値の定理、高階の微分、テイラーの定理などについて学びます。これらの知識は後に1変数関数を目的関数とする最適化について学ぶ上での基盤になります。
OUTLINE
TABLE OF CONTENTS
目次
SECTION 1
微分
命題論理の基本単位である「論理式」と呼ばれる概念を形式的に定義します。
関数の片側微分（半微分）
関数の点における微分係数は極限を用いて定義されますが、その点が区間の境界点である場合などには通常の意味での極限が定義不可能であるため、片側極限を用いて微分可能性を定義します。このようにして定義された微分係数を片側微分係数と呼びます。
片側微分を用いた微分可能性の判定
関数が点において右側微分可能かつ左側微分可能であるとともに左右の片側微分係数が一致することは、その関数がその点において微分可能であることと必要十分であるとともに、その場合、微分係数は片側微分係数と一致します。
SECTION 2
微分の基本性質
微分に関して議論を行う上で最低限必要となる性質について解説します。
SECTION 3
初等関数の微分
代表的な関数の微分について解説するとともに、それらの知識を利用してより広範な関数を微分する方法を解説します。
指数関数の微分
自然指数関数は任意の点において微分可能であることを示すとともに、その導関数はもとの自然指数関数と一致します。また、自然指数関数と微分可能な関数の合成関数について、その導関数を特定します。
自然数ベキ関数の微分
自然数ベキ関数が微分可能であることを示すとともに、その微分係数や導関数を求める方法を解説します。自然数ベキ関数は任意の点において微分可能であるため、微分可能な関数と自然数ベキ関数の合成関数は微分可能であることが保証されるとともに、その導関数を連鎖公式により求めることができます。
整数ベキ関数の微分
整数ベキ関数（特に負整数ベキ関数）が微分可能であることを示すとともに、その微分係数や導関数を求める方法を解説します。整数ベキ関数は微分可能であるため、微分可能な関数と整数ベキ関数の合成関数は微分可能であることが保証されるとともに、その導関数を連鎖公式により求めることができます。
正弦関数の微分
正弦関数は数直線上の任意の点において微分可能であるとともに、その導関数は余弦関数と一致します。したがって、任意の微分可能な関数と正弦関数の合成関数もまた微分可能です。
余弦関数の微分
余弦（コサイン）関数は数直線上の任意の点において微分可能であるとともに、その導関数は正弦（サイン）関数に負の記号をつけたものと一致します。したがって、任意の微分可能な関数と余弦関数の合成関数もまた微分可能です。
SECTION 4
高階の微分
関数が微分可能である場合には導関数が得られますが、さらに導関数が微分可能である場合には導関数の導関数が得られます。
高階の微分
関数の導関数が微分可能である場合には導関数の導関数が得られますがこれを2階の導関数と呼びます。同様に、3階の導関数、4階の導関数なども定義可能です。これらを高階の導関数と呼びます。
関数の積の高階微分（ライプニッツの公式）
高階微分可能な関数どうしの積として定義される関数もまた高階微分であり、その高階導関数はライプニッツの公式と呼ばれる命題より導出可能です。
SECTION 5
平均値の定理
準備中です。
ロルの定理
有界な閉区間上に定義された連続関数が定義域の内部において微分可能であるとともに定義域の端点において等しい値をとる場合、その関数は定義域の内部に停留点を持つことが保証されます。これをロルの定理と呼びます。
SECTION 6
テイラーの定理
準備中です。
RELATED KNOWLEDGE
関連知識
REQUIRED KNOWLEDGE
必須知識
本節の内容を理解するためには以下の分野の知識が必要です。
ADVANCED KNOWLEDGE
発展知識
本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での土台になります。
