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DIFFERENTIATION OF FUNCTIONS

1変数関数の微分

OVERVIEW

1変数関数の微分

1変数関数の微分の概念を定義した上で、微分の基本性質や初等関数の微分、平均値の定理、高階の微分、テイラーの定理などについて学びます。これらの知識は後に1変数関数を目的関数とする最適化について学ぶ上での基盤になります。

TABLE OF CONTENTS

目次

DERIVATIVE

微分

1変数関数の微分を定義します。

関数の微分

実数空間の部分集合上に定義された関数が定義域上の点において微分可能であることの意味を定義します。また、関数を微分することの直感的な意味を解説します。

瞬間変化率としての微分

1変数関数の微分係数は瞬間変化率として解釈可能です。具体例を挙げると、瞬間の速さや数直線上を移動する物体の瞬間速度、限界費用などは微分係数として表現されます。

線型近似としての関数の微分

関数を微分することとは、その関数をシンプルな1次式で近似する(線型近似)ことを意味します。その意味をランダウの記号や無限小などの概念を用いて解説します。

微分の様々な表現

増分を使わない微分の表現、ライプニッツ流の微分の表現、および微分商などについて解説します。

ONE-SIDED DERIVATIVE

片側微分

関数の片側微分を定義します。

関数の片側微分(半微分・右側微分・左側微分)

関数の点における微分係数は極限を用いて定義されますが、その点が区間の境界点である場合などには通常の意味での極限が定義不可能であるため、片側極限を用いて微分可能性を定義します。このようにして定義された微分係数を片側微分係数と呼びます。

片側微分を用いた微分可能性の判定

関数が点において右側微分可能かつ左側微分可能であるとともに左右の片側微分係数が一致することは、その関数がその点において微分可能であることと必要十分であるとともに、その場合、微分係数は片側微分係数と一致します。

微分可能性と導関数

関数が微分可能な定義域上のそれぞれの点に対して、そこでの微分係数(もしくは片側微分係数)を像として定める関数を導関数と呼びます。

PROPERTIES OF DERIVATIVE

微分の基本性質

微分の基本的な性質について解説します。

関数の微分可能性と連続性の関係

微分可能な関数は連続であり、右側微分可能な関数は右側連続であり、左側微分可能な関数は左側連続です。一方、これらの逆は成立するとは限りません。

定数関数の微分

1変数の定数関数は微分可能であり、導関数は0のみを値としてとります。

関数の和の微分

微分可能な関数どうしの和として定義される関数もまた微分可能です。

関数の差の微分

微分可能な関数どうしの差として定義される関数もまた微分可能です。

関数の積の微分

微分可能な関数どうしの積として定義される関数もまた微分可能です。

関数の商の微分

微分可能な関数どうしの商として定義される関数もまた微分可能です。

多項式関数の微分

多項式関数は任意の点において微分可能であることを示すとともに、多項式関数の導関数を特定します。

有理関数の微分

有理関数(多項式関数どうしの商として定義される関数)は微分可能であることを示すとともに、その微分係数および導関数を求める方法を解説します。

合成関数の微分

微分可能な関数どうしを合成して得られる関数もまた微分可能です。合成関数を微分する方法を解説します。

逆関数の微分

逆関数が微分可能であるための条件や、逆関数を微分する方法、また、逆関数の微分を用いて関数を微分する方法などについて解説します。

DERIVATIVE OF ELEMENTARY FUNCTIONS

初等関数の微分

代表的な関数の微分について解説するとともに、それらの知識を利用してより広範な関数を微分する方法を解説します。

自然指数関数の微分

自然指数関数は全区間上で微分可能であるとともに、その導関数はもとの自然指数関数と一致します。

一般の指数関数の微分

自然指数関数に限定されない一般の指数関数もまた全区間上で微分可能であることを示すとともに、その導関数を求める方法を解説します。

自然対数関数の微分

自然対数関数は定義域上の任意の点において微分可能であることを示すとともに、その導関数を求める方法を解説します。

一般の対数関数の微分

自然対数関数とは限らない一般の対数関数もまた定義域上の任意の点において微分可能であることを示すとともに、その導関数を求める方法を解説します。

自然数ベキ関数の微分

自然数ベキ関数(累乗関数)が微分可能であることを示すとともに、その微分係数や導関数を求める方法を解説します。

整数ベキ関数の微分

整数ベキ関数(累乗関数)が微分可能であることを示すとともに、その微分係数や導関数を求める方法を解説します。

無理関数の微分

無理関数はゼロとは異なる定義域上の点において微分可能です。無理関数を微分する方法を解説します。

有理数ベキ関数の微分

有理数ベキ関数はゼロとは異なる定義域上の点において微分可能です。有理数ベキ関数を微分する方法を解説します。

絶対値関数の微分

絶対値関数はゼロとは異なる定義域上の点において微分可能です。絶対値関数や絶対値関数との合成関数を微分する方法を解説します。

HIGHER ORDER DERIVATIVE

高階の微分

関数が微分可能である場合には導関数が得られますが、さらに導関数が微分可能である場合には導関数の導関数が得られます。

関数の高階微分

関数の導関数が微分可能である場合には導関数の導関数が得られますがこれを2階の導関数と呼びます。同様に、3階の導関数、4階の導関数なども定義可能です。これらを高階の導関数と呼びます。

関数の定数倍の高階微分

高階微分可能な関数の定数倍として定義される関数もまた高階微分であるとともに、その高階微分係数はもとの関数の高階微分係数の定数倍と一致します。

関数の和の高階微分

高階微分可能な関数どうしの和として定義される関数もまた高階微分であるとともに、その高階微分係数はもとの関数の高階微分係数の和と一致します。

関数の連続微分可能性

関数が微分可能であることに加えて導関数が連続である場合、その関数は連続微分可能であると言います。連続微分可能な関数は微分可能ですが、その逆は成立するとは限りません。

MEAN VALUE THEOREM

平均値の定理

平均値の定理について解説します。

ロルの定理

有界な閉区間上に定義された連続関数が定義域の内部において微分可能であるとともに定義域の端点において等しい値をとる場合、その関数は定義域の内部に停留点を持つことが保証されます。これをロルの定理と呼びます。

1変数関数に関する逆関数定理

関数が全単射でない場合でも、一定の条件のもとでは、関数の定義域を点の近傍に制限することにより局所的な逆関数の存在を保証できるとともに、その逆関数を微分できます。

ラグランジュの平均値の定理

有界な閉区間上に定義された連続関数が定義域の内部において微分可能である場合には、そのグラフの両端の点を結んだ線分と平行な接線をグラフ上に引くことができます。

微分可能な関数の値の増減

区間上に定義された微分可能な関数を対象とした場合、その導関数を観察することにより、もとの関数の値の挙動(定数関数・単調関数・狭義単調関数)に関する情報を得ることができます。

コーシーの平均値の定理

コーシーの平均値の定理とは、有界閉区間上に定義された2つの関数について、関数の値の区間を通じた変化量と瞬間的な変化量の関係を規定する命題です。コーシーの平均値の定理はラグランジュの平均値の定理の一般化です。

TAYLOR'S THEOREM

テイラーの定理

関数を微分することとは、もとの複雑な関数をシンプルな1次の多項式で近似することを意味します。それとは逆に、微分可能な関数を多項式によって近似することで近似の精度を高めようとするのがテイラーの定理の背景にある考え方です。

関数のテイラー近似多項式

関数を微分することとは複雑な関数を1次の多項式関数によって近似することを意味します。それとは逆に、微分可能な関数を高次の多項式関数を用いて近似することで近似の精度を高める考え方もあります。

1変数関数のテイラー展開(マクローリン展開)

テイラーの定理は関数の値が有限次数の多項式と剰余項の和として表せることを保証する命題ですが、次数が限りなく大きくなるにつれて剰余項はゼロへ収束する場合、関数の値を無限次数の多項式として表現できます。

RELATED KNOWLEDGE

関連知識

REQUIRED KNOWLEDGE

前提知識

本節を学ぶ上で以下の知識が役に立ちます。

関数の定義

実数空間もしくはその部分集合を定義域とし、実数空間を終集合とする写像を関数と呼びます。言い換えると、関数とはそれぞれの実数に対して実数を1つずつ定める規則です。

数直線の位相

実数空間すなわち数直線の位相に関するテキストと演習問題です。実数空間上の開集合や閉集合など、位相を規定する概念について解説します。

ADVANCED KNOWLEDGE

発展知識

本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での基礎になります。

ベクトル値関数の微分

曲線(1変数のベクトル値関数)について、その微分を定義した上で、微分に関して成り立つ様々な性質を解説します。

多変数関数の微分

多変数関数(スカラー場)について、偏微分、方向微分、全微分などの様々な微分概念を定義するとともに、これらの微分概念の性質について解説します。

関数の最適化

与えられた制約条件のもとで関数の値を最大化または最小化する変数の値を求めることを最適化と呼びます。ここでは微分可能な関数を対象とする様々な最適化問題の解法を解説します。

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