OVERVIEW
本節で学ぶ内容
1変数関数の微分について学びます。具体的には、微分の概念を定義した上で、微分の基本性質や初等関数の微分、平均値の定理、高階の微分、テイラーの定理などについて学びます。これらの知識は後に1変数関数を目的関数とする最適化について学ぶ上での基盤になります。
OUTLINE
TABLE OF CONTENTS
目次
SECTION 1
微分
1変数関数の微分を定義します。
瞬間変化率としての微分
1変数関数の微分係数は瞬間変化率として解釈可能です。具体例を挙げると、瞬間の速さや数直線上を移動する物体の瞬間速度、限界費用などは微分係数として表現されます。
関数の片側微分（半微分）
関数の点における微分係数は極限を用いて定義されますが、その点が区間の境界点である場合などには通常の意味での極限が定義不可能であるため、片側極限を用いて微分可能性を定義します。このようにして定義された微分係数を片側微分係数と呼びます。
片側微分を用いた微分可能性の判定
関数が点において右側微分可能かつ左側微分可能であるとともに左右の片側微分係数が一致することは、その関数がその点において微分可能であることと必要十分であるとともに、その場合、微分係数は片側微分係数と一致します。
SECTION 2
微分の基本性質
微分に関して議論を行う上で最低限必要となる性質について解説します。
SECTION 3
初等関数の微分
代表的な関数の微分について解説するとともに、それらの知識を利用してより広範な関数を微分する方法を解説します。
SECTION 4
高階の微分
関数が微分可能である場合には導関数が得られますが、さらに導関数が微分可能である場合には導関数の導関数が得られます。
関数の高階微分
関数の導関数が微分可能である場合には導関数の導関数が得られますがこれを2階の導関数と呼びます。同様に、3階の導関数、4階の導関数なども定義可能です。これらを高階の導関数と呼びます。
関数の積の高階微分（ライプニッツの公式）
高階微分可能な関数どうしの積として定義される関数もまた高階微分であり、その高階導関数はライプニッツの公式と呼ばれる命題より導出可能です。
関数の連続微分可能性
関数が微分可能であることに加えて導関数が連続である場合、その関数は連続微分可能であると言います。連続微分可能な関数は微分可能ですが、その逆は成立するとは限りません。
SECTION 5
平均値の定理
準備中です。
ロルの定理
有界な閉区間上に定義された連続関数が定義域の内部において微分可能であるとともに定義域の端点において等しい値をとる場合、その関数は定義域の内部に停留点を持つことが保証されます。これをロルの定理と呼びます。
1変数関数に関する逆関数定理
関数が全単射でない場合でも、一定の条件のもとでは、関数の定義域を点の近傍に制限することにより局所的な逆関数の存在を保証できるとともに、その逆関数を微分できます。
ラグランジュの平均値の定理
有界な閉区間上に定義された連続関数が定義域の内部において微分可能である場合には、そのグラフの両端の点を結んだ線分と平行な接線をグラフ上に引くことができます。
微分可能な関数の値の増減
区間上に定義された微分可能な関数を対象とした場合、その導関数を観察することにより、もとの関数の値の挙動（定数関数・単調関数・狭義単調関数）に関する情報を得ることができます。
コーシーの平均値の定理
コーシーの平均値の定理とは、有界閉区間上に定義された2つの関数について、関数の値の区間を通じた変化量と瞬間的な変化量の関係を規定する命題です。コーシーの平均値の定理はラグランジュの平均値の定理の一般化です。
SECTION 6
テイラーの定理
関数を微分することとは、もとの複雑な関数をシンプルな1次の多項式で近似することを意味します。それとは逆に、微分可能な関数を多項式によって近似することで近似の精度を高めようとするのがテイラーの定理の背景にある考え方です。
関数のテイラー近似多項式
関数を微分することとは複雑な関数を1次の多項式関数によって近似することを意味します。それとは逆に、微分可能な関数を高次の多項式関数を用いて近似することで近似の精度を高める考え方もあります。
1変数関数に関するテイラーの定理（マクローリンの定理）
関数が高階微分可能である場合に、その関数をテイラーの近似多項式によって近似できることの根拠を与えるのがテイラーの定理です。
1変数関数のテイラー展開（マクローリン展開）
テイラーの定理は関数の値が有限次数の多項式と剰余項の和として表せることを保証する命題ですが、次数が限りなく大きくなるにつれて剰余項はゼロへ収束する場合、関数の値を無限次数の多項式として表現できます。
一般の指数関数の高階微分とテイラー展開（マクローリン展開）
自然指数関数とは限らない指数関数がテイラー（マクローリン）展開可能であるための条件と特定するとともに、そのテイラー（マクローリン）級数を特定します。
自然対数関数の高階微分とテイラー展開（マクローリン展開）
自然対数関数にはテイラーの定理を適用できる一方、点0において定義されていないためマクローリンの定理を適用できません。関数 ln(x+1) は点0において定義されており、マクローリン展開可能です。
正弦関数（sin関数）の高階微分とテイラー展開（マクローリン展開）
正弦関数（sin関数）はテイラー（マクローリン）展開可能です。正弦関数のテイラー（マクローリン）級数を特定します。
余弦関数（cos関数）の高階微分とテイラー展開（マクローリン展開）
余弦関数（cos関数）はテイラー（マクローリン）展開可能です。余弦関数のテイラー（マクローリン）級数を特定します。
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関連知識
REQUIRED KNOWLEDGE
必須知識
本節の内容を理解するためには以下の分野の知識が必要です。
ADVANCED KNOWLEDGE
発展知識
本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での土台になります。
