関数の微分の定義
実数空間の部分集合上に定義された関数が定義域上の点において微分可能であることの意味を定義します。また、関数を微分することの直感的な意味を解説します。
TABLE OF CONTENTS
目次
DERIVATIVE
微分
1変数関数の微分を定義します。
瞬間変化率としての微分
1変数関数の微分係数は瞬間変化率として解釈可能です。具体例を挙げると、瞬間の速さや数直線上を移動する物体の瞬間速度、限界費用などは微分係数として表現されます。
線型近似としての関数の微分（関数のグラフの接線）
関数を微分することとは、その関数をシンプルな1次式で近似する（線型近似）ことを意味します。その意味をランダウの記号や無限小などの概念を用いて解説します。
微分の様々な表現（微分商）
増分を使わない微分の表現、ライプニッツ流の微分の表現、および微分商などについて解説します。
ONE-SIDED DERIVATIVE
片側微分
関数の片側微分を定義します。
関数の片側微分（半微分・右側微分・左側微分）
関数の点における微分係数は極限を用いて定義されますが、その点が区間の境界点である場合などには通常の意味での極限が定義不可能であるため、片側極限を用いて微分可能性を定義します。このようにして定義された微分係数を片側微分係数と呼びます。
片側微分を用いた微分可能性の判定
関数が点において右側微分可能かつ左側微分可能であるとともに左右の片側微分係数が一致することは、その関数がその点において微分可能であることと必要十分であるとともに、その場合、微分係数は片側微分係数と一致します。
微分可能性と導関数
関数が微分可能な定義域上のそれぞれの点に対して、そこでの微分係数（もしくは片側微分係数）を像として定める関数を導関数と呼びます。
PROPERTIES OF DERIVATIVE
微分の基本性質
微分の基本的な性質について解説します。
1変数関数の微分可能性と連続性の関係
微分可能な関数は連続であり、右側微分可能な関数は右側連続であり、左側微分可能な関数は左側連続です。一方、これらの主張の逆は成立するとは限りません。
定数関数の微分
1変数の定数関数は微分可能であり、導関数は0のみを値としてとります。
恒等関数の微分
恒等関数は微分可能であり、導関数は1のみを値としてとります。
関数の定数倍の微分（定数倍の法則）
微分可能な関数の定数倍として定義される関数もまた微分可能です。
関数の和の微分（和の法則）
微分可能な関数どうしの和として定義される関数もまた微分可能です。
関数の差の微分（差の法則）
微分可能な関数どうしの差として定義される関数もまた微分可能です。
関数の積の微分（積の法則）
微分可能な関数どうしの積として定義される関数もまた微分可能です。
関数の商の微分
微分可能な関数どうしの商として定義される関数もまた微分可能です。
多項式関数の微分
多項式関数は任意の点において微分可能であることを示すとともに、多項式関数の導関数を特定します。
有理関数の微分
有理関数（多項式関数どうしの商として定義される関数）は微分可能であることを示すとともに、その微分係数および導関数を求める方法を解説します。
合成関数の微分（連鎖公式）
微分可能な関数どうしを合成して得られる関数もまた微分可能です。合成関数を微分する方法を解説します。
逆関数の微分
逆関数が微分可能であるための条件や、逆関数を微分する方法、また、逆関数の微分を用いて関数を微分する方法などについて解説します。
DERIVATIVE OF ELEMENTARY FUNCTIONS
初等関数の微分
代表的な関数の微分について解説するとともに、それらの知識を利用してより広範な関数を微分する方法を解説します。
自然指数関数の微分
自然指数関数は全区間上で微分可能であるとともに、その導関数はもとの自然指数関数と一致します。
一般の指数関数の微分
自然指数関数に限定されない一般の指数関数もまた全区間上で微分可能であることを示すとともに、その導関数を求める方法を解説します。
自然対数関数の微分
自然対数関数は定義域上の任意の点において微分可能であることを示すとともに、その導関数を求める方法を解説します。
一般の対数関数の微分
自然対数関数とは限らない一般の対数関数もまた定義域上の任意の点において微分可能であることを示すとともに、その導関数を求める方法を解説します。
自然数ベキ関数の微分
自然数ベキ関数（累乗関数）が微分可能であることを示すとともに、その微分係数や導関数を求める方法を解説します。
整数ベキ関数の微分
整数ベキ関数（累乗関数）が微分可能であることを示すとともに、その微分係数や導関数を求める方法を解説します。
無理関数の微分
無理関数はゼロとは異なる定義域上の点において微分可能です。無理関数を微分する方法を解説します。
有理数ベキ関数の微分
有理数ベキ関数はゼロとは異なる定義域上の点において微分可能です。有理数ベキ関数を微分する方法を解説します。
絶対値関数の微分
絶対値関数はゼロとは異なる定義域上の点において微分可能です。絶対値関数や絶対値関数との合成関数を微分する方法を解説します。
実数ベキ関数（実数指数の累乗関数）の微分
実数ベキ関数は定義域上において微分可能です。実数ベキ関数や実数ベキ関数との合成関数を微分する方法を解説します。
正弦関数（sin関数）の微分
正弦関数（sin関数）は定義域上の任意の点において微分可能です。正弦関数を微分する方法を解説します。
余弦関数（cos関数）の微分
余弦（cos）関数は定義域上の任意の点において微分可能です。余弦関数を微分する方法を解説します。
正接関数（tan関数）の微分
正接関数（tan関数）は定義域上の任意の点において微分可能です。正接関数を微分する方法を解説します。
逆正弦関数（arcsin関数）の微分
逆正弦関数（arcsin関数）は定義域の任意の内点において微分可能です。逆正弦関数を微分する方法を解説します。
逆余弦関数（arccos関数）の微分
逆余弦関数（arccos関数）は定義域の任意の内点において微分可能です。逆余弦関数を微分する方法を解説します。
逆正接関数（arctan関数）の微分
逆正接関数（arctan関数）は定義域上の任意の点において微分可能です。逆正接関数を微分する方法を解説します。
双曲線正弦関数（sinh関数）の微分
双曲線正弦関数（sinh関数）は定義域上の任意の点において微分可能です。双曲線正弦関数を微分する方法を解説します。
対数微分法
与えられた関数が複数の関数の積の形である場合、商の形である場合、累乗の形である場合などには、その関数の自然対数をとってから微分することにより、導関数を容易に求めることができます。このような手法を対数微分法と呼びます。
HIGHER ORDER DERIVATIVE
高階の微分
関数が微分可能である場合には導関数が得られますが、さらに導関数が微分可能である場合には導関数の導関数が得られます。
関数の高階微分
関数の導関数が微分可能である場合には導関数の導関数が得られますがこれを2階の導関数と呼びます。同様に、3階の導関数、4階の導関数なども定義可能です。これらを高階の導関数と呼びます。
関数の定数倍の高階微分
高階微分可能な関数の定数倍として定義される関数もまた高階微分であるとともに、その高階微分係数はもとの関数の高階微分係数の定数倍と一致します。
関数の和の高階微分
高階微分可能な関数どうしの和として定義される関数もまた高階微分であるとともに、その高階微分係数はもとの関数の高階微分係数の和と一致します。
関数の差の高階微分
高階微分可能な関数どうしの差として定義される関数もまた高階微分であるとともに、その高階微分係数はもとの関数の高階微分係数の差と一致します。
関数の積の高階微分（ライプニッツの公式）
高階微分可能な関数どうしの積として定義される関数もまた高階微分であり、その高階導関数はライプニッツの公式と呼ばれる命題より導出可能です。
関数の連続微分可能性
関数が微分可能であることに加えて導関数が連続である場合、その関数は連続微分可能であると言います。連続微分可能な関数は微分可能ですが、その逆は成立するとは限りません。
微分作用素（微分演算子）
高階微分可能な1変数関数に関して一般的な議論を行う準備として、微分作用素と呼ばれる概念を導入します。
MEAN VALUE THEOREM
平均値の定理
平均値の定理について解説します。
ロルの定理
有界な閉区間上に定義された連続関数が定義域の内部において微分可能であるとともに定義域の端点において等しい値をとる場合、その関数は定義域の内部に停留点を持つことが保証されます。これをロルの定理と呼びます。
1変数関数に関する逆関数定理
関数が全単射でない場合でも、一定の条件のもとでは、関数の定義域を点の近傍に制限することにより局所的な逆関数の存在を保証できるとともに、その逆関数を微分できます。
ラグランジュの平均値の定理
有界な閉区間上に定義された連続関数が定義域の内部において微分可能である場合には、そのグラフの両端の点を結んだ線分と平行な接線をグラフ上に引くことができます。
縮小関数の不動点定理（縮小写像の原理）
リプシッツ定数が1より小さいリプシッツ関数を縮小関数と呼びます。縮小関数の定義域が完備集合であり、なおかつ値域が定義域の部分集合である場合、その関数は不動点を持ちます。
微分を用いた絶対連続性の判定方法
有界閉区間上に定義された関数が定義域上で連続であり、定義域の内部である有界開区間上で微分可能であり、なおかつ導関数が有界である場合、その関数は絶対連続になることが保証されます。
微分可能な関数の値の増減
区間上に定義された微分可能な関数を対象とした場合、その導関数を観察することにより、もとの関数の値の挙動（定数関数・単調関数・狭義単調関数）に関する情報を得ることができます。
コーシーの平均値の定理
コーシーの平均値の定理とは、有界閉区間上に定義された2つの関数について、関数の値の区間を通じた変化量と瞬間的な変化量の関係を規定する命題です。コーシーの平均値の定理はラグランジュの平均値の定理の一般化です。
TAYLOR'S THEOREM
テイラーの定理
関数を微分することとは、もとの複雑な関数をシンプルな1次の多項式で近似することを意味します。それとは逆に、微分可能な関数を多項式によって近似することで近似の精度を高めようとするのがテイラーの定理の背景にある考え方です。
1変数関数のテイラー近似多項式
関数を微分することとは複雑な関数を1次の多項式関数によって近似することを意味します。それとは逆に、微分可能な関数を高次の多項式関数を用いて近似することで近似の精度を高める考え方もあります。
1変数関数に関するテイラーの定理（マクローリンの定理）と漸近展開
関数が高階微分可能である場合に、その関数をテイラーの近似多項式によって近似できることの根拠を与えるのがテイラーの定理です。
テイラーの定理の一般化（ロッシュ-シュレミルヒの剰余項）
テイラーの定理に関連して、ラグランジュの剰余項を一般化したロッシュ-シュレミルヒの剰余項と、その特殊例であるコーシーの剰余項について解説します。
1変数関数のテイラー展開（マクローリン展開）
テイラーの定理は関数の値が有限次数の多項式と剰余項の和として表せることを保証する命題ですが、次数が限りなく大きくなるにつれて剰余項はゼロへ収束する場合、関数の値を無限次数の多項式として表現できます。
自然指数関数の高階微分とテイラー展開（マクローリン展開）
自然指数関数はテイラー（マクローリン）展開可能です。自然指数関数のテイラー（マクローリン）級数を特定します。
一般の指数関数の高階微分とテイラー展開（マクローリン展開）
自然指数関数とは限らない指数関数がテイラー（マクローリン）展開可能であるための条件と特定するとともに、そのテイラー（マクローリン）級数を特定します。
自然対数関数の高階微分とテイラー展開（マクローリン展開）
自然対数関数にはテイラーの定理を適用できる一方、点0において定義されていないためマクローリンの定理を適用できません。関数 ln(x+1) は点0において定義されており、マクローリン展開可能です。
実数ベキ関数の高階微分とテイラー展開（マクローリン展開）
実数ベキ関数にはテイラーの定理を適用できる一方、点0において定義されていないためマクローリンの定理を適用できません。関数 (x+1)^p は点0において定義されており、マクローリン展開可能です。
正弦関数（sin関数）の高階微分とテイラー展開（マクローリン展開）
正弦関数（sin関数）はテイラー（マクローリン）展開可能です。正弦関数のテイラー（マクローリン）級数を特定します。
余弦関数（cos関数）の高階微分とテイラー展開（マクローリン展開）
余弦関数（cos関数）はテイラー（マクローリン）展開可能です。余弦関数のテイラー（マクローリン）級数を特定します。
正接関数（tan関数）の高階微分とマクローリン展開
正接関数（tan関数）はマクローリン展開可能です。正弦関数（sin関数）と余弦関数（cos関数）のマクローリン級数を用いて正接関数のマクローリン級数を特定する方法を解説します。
LIMIT OF FUNCTION AND DERIVATIVE
関数の極限と微分
微分を用いて関数の極限を評価する方法について解説します。
0/0型のロピタルの定理（微分を用いた不定形の極限の解消）
2つの関数の商の極限が0/0型の不定形である場合でも、一定の条件を満たす場合には、微分を用いてその極限を特定できます。
∞/∞型のロピタルの定理（微分を用いた不定形の極限の解消）
2つの関数の商の極限が∞/∞型の不定形である場合でも、一定の条件を満たす場合には、微分を用いてその極限を特定できます。
テイラー展開や漸近展開を用いた不定形の極限の解消
与えられた関数の極限が不定形である場合でも、その関数を構成する関数の中にテイラー展開ないし漸近展開可能であるものが存在する場合、テイラー展開ないし漸近展開した上で極限をとれば、不定形を解消できることがあります。
APPROXIMATIONS
近似値と微分
微分を用いて近似値を求める方法について解説します。
マクローリンの定理を用いた近似値の誤差の評価
マクローリンの定理を用いて近似値を求める手法、および要求された精度に応えるために必要な計算量を見積もる方法について解説します。
ニュートン法を用いた近似値計算
ニュートン法とは方程式の近似解を求めるためのアルゴリズムです。ニュートン法の手順を解説するとともに、ニュートン法が有効であるための条件およびその根拠について解説します。
DERIVATIVE FOR PARAMETRIC CURVES
媒介変数曲線と微分
平面上に存在する曲線が媒介変数表示されている状況において、曲線上に存在する点のx座標とy座標の関係を微分を用いて評価する方法を解説します。
媒介変数曲線の微分
平面上に存在する曲線が媒介変数表示されている状況において、曲線上に存在する点のx座標とy座標の値の関係を微分を用いて評価する方法を解説します。
円と円弧の微分
平面上に存在する円が媒介変数表示されている状況において、円上に存在する点のx座標とy座標の値の関係を微分を用いて評価する方法を解説します。
楕円と楕円弧の微分
平面上に存在する楕円が媒介変数表示されている状況において、楕円上に存在する点のx座標とy座標の値の関係を微分を用いて評価する方法を解説します。
サイクロイドの微分
平面上に存在するサイクロイドが媒介変数表示されている状況において、サイクロイド上に存在する点のx座標とy座標の値の関係を微分を用いて評価する方法を解説します。
OPTIMIZATION
1変数関数の最適化
1変数関数の極大値や最大値、極小値や最小値を特定する方法について解説します。
1変数関数の大域的最適解（最大値・最小値）
関数の値を最大化するような点が定義域上に存在する場合、そのような点を最大点や大域的最大点と呼びます。また、関数が最大点に対して定める値を最大値や大域的最大値と呼びます。最小化についても同様です。
1変数関数の局所最適解（極大値・極小値）
関数の値を最大化するような点が定義域上に存在しない場合でも、変数がとり得る値を限定することにより、その範囲内において関数の値を最大化するような点が存在する状況は起こり得ます。そのような点を極大点や局所的最大点と呼びます。また、関数が極大点に対して定める値を極大値や大域的最大値と呼びます。最小化問題についても同様です。
微分を用いた1変数関数の最大化問題の解法（局所最大化のための条件）
微分を用いて1変数関数の最大値や極大値を求める方法について解説します。
微分を用いた1変数関数の最小化問題の解法（局所最小化のための条件）
微分を用いて1変数関数の最小値や極小値を求める方法について解説します。
高階微分や漸近展開を用いた1変数関数の極値判定
高階微分や漸近展開を用いることにより、ある点が関数の極大点や極小点であること・ないことを判定する方法について解説します。これは局所最適化のための十分条件の一般化です。
微分を用いた方程式の実数解の個数判定
微分を用いて方程式の実数解の個数を判定する方法について解説します。
ADVANCED KNOWLEDGE
発展知識
本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での基礎になります。
ベクトル値関数の微分
曲線（1変数のベクトル値関数）について、その微分を定義した上で、微分に関して成り立つ様々な性質を解説します。
多変数関数の微分
多変数関数（スカラー場）について、偏微分、方向微分、全微分などの様々な微分概念を定義するとともに、これらの微分概念の性質について解説します。
関数の最適化
与えられた制約条件のもとで関数の値を最大化または最小化する変数の値を求めることを最適化と呼びます。ここでは微分可能な関数を対象とする様々な最適化問題の解法を解説します。
