区間の集合族
区間の長さと、その区間を分割して得られる小区間の長さの関係は、数直線の部分集合どうしの外延量の関係として捉えることができます。つまり、「区間の長さ」という外延量は数直線の部分集合族に導入されるということです。この集合族は集合半環としての性質を満たします。
TABLE OF CONTENTS
目次
SECTION 1
区間の長さ
外延量は測度と呼ばれる概念として定式化されます。本稿の目的は測度について解説することですが、まずは、測度を導入し得る最も基本的な場である実数空間（数直線）の部分集合族について考えます。
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SECTION 2
区間塊の長さ
数直線上には有界な区間というクラスには属さない点集合が存在するため、区間の長さでは、区間よりも広いクラスの点集合の外延量を計測できないことになります。このような問題を解消するためには、区間の集合族よりも広いクラスの集合族を導入します。
SECTION 3
ルベーグ測度
数直線上には区間塊というクラスには属さない点集合が存在するため、区間塊の長さでは、区間塊よりも広いクラスの点集合の外延量を計測できないことになります。このような問題を解消するためには、区間塊の集合族よりも広いクラスの集合族を導入します。
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REQUIRED KNOWLEDGE
必須知識
以下の分野の知識があると本節の内容を円滑に学習できます。
実数の定義
実数を無限小数として定義する場合、実数に関する議論はすべて無限小数に関する議論として行うことになり面倒です。そこで代替的な方法として公理主義的なアプローチのもとで実数を定義します。ここでは実数を特徴づける公理について解説します。
ADVANCED KNOWLEDGE
発展知識
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