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LEBESGUE MEASUREBLE FUNCTION

ルベーグ可測関数

OVERVIEW

ルベーグ可測関数

ルベーグ集合上に定義された関数によるボレル集合の逆像がルベーグ可測であることが保証される場合、そのような関数をルベーグ可測関数と呼びます。代表的な可測関数について、その性質を解説します。
TABLE OF CONTENTS

目次

LEBESGUE MEASURABLE FUNCTION

ルベーグ可測関数

ルベーグ可測関数やボレル可測関数などの概念を定義します。

ルベーグ可測関数の定義

ルベーグ集合上に定義された関数によるボレル集合の逆像がルベーグ可測であることが保証される場合、そのような関数はルベーグ可測であると言います。

拡大実数値ルベーグ可測関数の定義

ルベーグ集合上に定義された拡大実数値関数によるボレル集合の逆像がルベーグ可測であることが保証される場合、そのような関数はルベーグ可測であると言います。

ボレル可測関数の定義

ボレル集合上に定義された関数によるボレル集合の逆像がボレル可測であることが保証される場合、そのような関数はボレル可測であると言います。

拡大実数値ボレル可測関数の定義

ボレル集合上に定義された拡大実数値関数によるボレル集合の逆像がボレル可測であることが保証される場合、そのような関数はボレル可測であると言います。

BASIC PROPERTIES OF MEASURABLE FUNCTION

可測関数の基本性質

可測関数の基本的な性質について解説します。

ルベーグ可測関数とほとんど至るところで等しい関数

ルベーグ測度空間は完備です。つまり、零集合であるようなルベーグ可測集合を任意に選んだとき、その任意の部分集合がルベーグ可測になります。したがって、ルベーグ可測関数とほとんどいたるところで等しい関数もまたルベーグ可測になります。

連続関数はルベーグ可測関数

ルベーグ可測集合上に定義された連続な実数値関数や拡大実数値関数はルベーグ可測です。また、ボレル集合上に定義された連続な実数値関数や拡大実数値関数はボレル可測です。

単調関数はルベーグ可測関数

ルベーグ可測集合上に定義された単調関数はルベーグ可測関数です。また、ボレル集合上に定義された単調関数はボレル可測関数です。

カントール関数(カントール・ルベーグ関数)

カントール集合の要素はいずれも小数点以下が0または2であるような3進数として一意的に表現されますが、それを2進数に変換する関数をカントール関数と呼びます。カントール関数は全射かつ単調増加かつ連続です。

SIMPLE FUNCTION

単関数

単関数と呼ばれるクラスの可測関数について解説します。単関数はルベーグ積分を定義する際に重要な役割を果たします。

特性関数(指示関数)の定義と具体例

実数空間の部分集合が与えられれば、変数がその集合に属する場合には1を返し、変数がその集合に属さない場合には0を返す関数が定義可能です。これを特性関数と呼びます。特性関数が可測であることと、特性関数を定義する集合が可測であることは必要十分です。

単関数の定義と具体例

ルベーグ可測集合上に定義された実数値関数がルベーグ可測であるとともに、その値域が有限集合である場合、そのような関数を単関数と呼びます。

EXERCISE

確認テスト

ルベーグ可測関数に関する確認テストです。
RELATED KNOWLEDGE

関連知識

REQUIRED KNOWLEDGE

前提知識

本節を学ぶ上で以下の知識が役に立ちます。

ルベーグ測度

長さや面積、体積などはいずれも同一種類の小さい量を加え合わせることでより大きな量をつくることができるという意味において外延的な量です。一般に、外延量は測度と呼ばれる概念として一般化されます。ここでは実数空間(数直線)の部分集合を測定対象とするルベーグ測度について解説します。

ADVANCED KNOWLEDGE

発展知識

本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での基礎になります。

ルベーグ積分

ルベーグ積分とは測度論を用いてより一般的な関数に対して積分を定義する手法です。ルベーグ積分を用いることにより、リーマン積分では積分できなかった様々な関数が積分可能になります。

ディニ微分

微分を一般化したディニ微分と呼ばれる微分概念を導入するとともに、ルベーグ積分との関係について解説します。

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