ルベーグ可測関数

ルベーグ測度空間は完備です。つまり、零集合であるようなルベーグ可測集合を任意に選んだとき、その任意の部分集合がルベーグ可測になります。したがって、ルベーグ可測関数とほとんどいたるところで等しい関数もまたルベーグ可測になります。

ルベーグ可測集合上に定義された連続な実数値関数や拡大実数値関数はルベーグ可測です。また、ボレル集合上に定義された連続な実数値関数や拡大実数値関数はボレル可測です。

ルベーグ可測関数とボレル可測関数の合成関数はルベーグ可測です。また、ボレル可測関数どうしの合成関数はボレル可測です。さらに、可測関数と連続関数の合成関数は可測関数です。

ルベーグ可測集合上に定義された単調関数はルベーグ可測関数です。また、ボレル集合上に定義された単調関数はボレル可測関数です。

ルベーグ可測関数の定数倍として定義される関数はルベーグ可測関数です。また、ボレル可測関数の定数倍として定義される関数はボレル可測関数です。

ルベーグ可測関数どうしの和として定義される関数はルベーグ可測関数です。また、ボレル可測関数どうしの和として定義される関数はボレル可測関数です。

ルベーグ可測関数どうしの差として定義される関数はルベーグ可測関数です。また、ボレル可測関数どうしの差として定義される関数はボレル可測関数です。

ルベーグ可測関数どうしの積として定義される関数はルベーグ可測関数です。また、ボレル可測関数どうしの積として定義される関数はボレル可測関数です。

ルベーグ可測関数どうしの商として定義される関数はルベーグ可測関数です。また、ボレル可測関数どうしの商として定義される関数はボレル可測関数です。

有限個のルベーグ可測関数から定義される最大値関数と最小値関数はルベーグ可測です。また、有限個のボレル可測関数から定義される最大値関数と最小値関数はボレル可測です。

可算個の可測関数の値の上限や下限を値として定める写像は可測関数ないし拡大実数値可測関数です。また、可算個の拡大実数値可測関数の値の上限や下限を値として定める写像は拡大実数値可測関数です。

ルベーグ可測関数列の各点極限もまたルベーグ可測関数です。特に、ルベーグ測度空間は完備であるため、ほとんどいたるところで各点収束するルベーグ可測関数列の極限もまたルベーグ可測関数になります。

可測関数列の一様極限もまた可測関数です。つまり、可測関数列が何らかの関数へ一様収束する場合、その極限もまた可測関数になります。

カントール集合の要素はいずれも小数点以下が0または2であるような3進数として一意的に表現されますが、それを2進数に変換する関数をカントール関数と呼びます。カントール関数は全射かつ単調増加かつ連続です。