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LEBESGUE MEASURE

ルベーグ可測関数

OVERVIEW

ルベーグ測度とは何か?

長さや面積、体積などはいずれも同一種類の小さい量を加え合わせることでより大きな量をつくることができるという意味において外延的な量です。一般に、外延量は測度と呼ばれる概念として一般化されます。ここでは実数空間(数直線)の部分集合を測定対象とするルベーグ測度について解説します。
TABLE OF CONTENTS

目次

SECTION 1

区間の長さ

外延量は測度と呼ばれる概念として定式化されます。本稿の目的は測度について解説することですが、まずは、測度を導入し得る最も基本的な場である実数空間(数直線)の部分集合族について考えます。

区間の集合族

区間の長さと、その区間を分割して得られる小区間の長さの関係は、数直線の部分集合どうしの外延量の関係として捉えることができます。つまり、「区間の長さ」という外延量は数直線の部分集合族に導入されるということです。この集合族は集合半環としての性質を満たします。

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区間の長さ

区間の外延量を表現する集合関数を定義します。この集合関数はσ-加法測度としての性質を満たすことを示します。

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SECTION 2

区間塊の長さ

数直線上には有界な区間というクラスには属さない点集合が存在するため、区間の長さでは、区間よりも広いクラスの点集合の外延量を計測できないことになります。このような問題を解消するためには、区間の集合族よりも広いクラスの集合族を導入します。

SECTION 3

ルベーグ測度

数直線上には区間塊というクラスには属さない点集合が存在するため、区間塊の長さでは、区間塊よりも広いクラスの点集合の外延量を計測できないことになります。このような問題を解消するためには、区間塊の集合族よりも広いクラスの集合族を導入します。
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必須知識

以下の分野の知識があると本節の内容を円滑に学習できます。

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