特性関数（指示関数）

特性関数（指示関数）

実数空間の部分集合\(A\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\chi _{A}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x\in A\right) \\
0 & \left( if\ x\not\in A\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
\chi _{A}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。つまりこれは、\(x\)が集合\(A\)に属する場合にはその事実を\(1\)という数字で表現し、\(x\)が集合\(A\)に属さない場合にはその事実を\(0\)という数字で表現する関数です。このような関数を集合\(A\)に関する特性関数（characteristic function of the set \(A\)）や指示関数（indicator function）などと呼びます。

特性関数を用いた可測集合の特徴づけ

実数空間とルベーグ可測集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)が与えられた状況においてルベーグ可測集合\(A\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選び、この可測集合\(A\)に関する特性関数\begin{equation*}\chi _{A}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、これはルベーグ可測関数になることが保証されます。可測集合に関する特性関数は可測であるということです。

上の命題の逆の主張もまた成り立ちます。つまり、集合\(A\subset \mathbb{R} \)に関する特性関数\(\chi _{A}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が可測である場合、この集合\(A\)がルベーグ可測であることが保証されるということです。

以上の2つの命題より、集合\(A\)が可測集合であることと、その集合\(A\)に関する特性関数\(\chi _{A}\)が可測関数であることは必要十分であることが明らかになりました。

ボレル集合に関する特性関数に関しても同様の議論が成立します。具体的には以下の通りです。

実数空間とボレル集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)が与えられた状況においてボレル集合\(A\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選び、このボレル集合\(A\)に関する特性関数\begin{equation*}\chi _{A}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、これはボレル可測関数になることが保証されます。逆に、ボレル集合から定義される特性関数はボレル可測です。証明は先の命題と同様です。

空集合に関する特性関数

空集合\(\phi \subset \mathbb{R} \)に関する特性関数\begin{equation*}\chi _{\phi }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は\(0\)だけを値としてとる定数関数です。つまり、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} :\chi _{\phi }\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。

全区間に関する特性関数

全区間\(\mathbb{R} \subset \mathbb{R} \)に関する特性関数\begin{equation*}\chi _{\mathbb{R} }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は\(1\)だけを値としてとる定数関数です。つまり、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} :\chi _{\mathbb{R} }\left( x\right) =1
\end{equation*}が成り立ちます。

包含関係と特性関数

2つの集合\(A,B\subset \mathbb{R} \)の間に\(A\subset B\)が成り立つものとします。それぞれの集合に関する特性関数\begin{eqnarray*}\chi _{A} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
\chi _{B} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}を定義すると、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :\chi _{A}\left( x\right) \leq \chi _{B}\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\chi _{A}\leq \chi _{B}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(A\)が\(B\)の部分事象である場合、\(\chi _{A}\)が定める値は\(\chi _{B}\)が定める値以下になります。

補集合と特性関数

集合\(A\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、その補集合\(A^{c}=\mathbb{R} \backslash A\subset \mathbb{R} \)をとり、両者に関する特性関数\begin{eqnarray*}\chi _{A} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
\chi _{A^{c}} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}を定義します。これらの間には以下の関係\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :\chi _{A^{c}}\left( x\right) =1-\chi _{A}\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\chi _{A^{c}}=1-\chi _{A}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\chi _{A}+\chi _{A^{c}}=1
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、集合\(A\)の特性関数が定める値と補集合\(A^{c}\)の特性関数が定める値の和は定数関数\(1\)です。

共通部分と特性関数

2つの集合\(A,B\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で共通部分\(A\cap B\subset \mathbb{R} \)をとり、これらの集合に関する特性関数\begin{eqnarray*}\chi _{A} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
\chi _{B} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
\chi _{A\cap B} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}をそれぞれ定義します。これらの間には以下の関係\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :\chi _{A\cap B}\left( x\right) =\min \left\{ \chi _{A}\left( x\right) ,\chi
_{B}\left( x\right) \right\}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\chi _{A\cap B}=\min \left\{ \chi _{A},\chi _{B}\right\}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、共通部分\(A\cap B\)の特性関数が定める値は、個々の集合の特性関数が定める値の最小値と一致します。同時に、以下の関係\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} :\chi _{A\cap B}\left( x\right) =\chi _{A}\left( x\right) \cdot \chi
_{B}\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\chi _{A\cap B}=\chi _{A}\cdot \chi _{B}
\end{equation*}もまた成り立ちます。共通部分の特性関数が定める値は、個々の集合の特性関数が定める値の積と一致します。

和集合（非交和）と特性関数

2つの集合\(A,B\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で和集合\(A\cup B\subset \mathbb{R} \)をとり、これらの集合に関する特性関数\begin{eqnarray*}\chi _{A} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
\chi _{B} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
\chi _{A\cup B} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}をそれぞれ定義します。これらの間には以下の関係\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :\chi _{A\cup B}\left( x\right) =\max \left\{ \chi _{A}\left( x\right) ,\chi
_{B}\left( x\right) \right\}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\chi _{A\cup B}=\max \left\{ \chi _{A},\chi _{B}\right\}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、和集合\(A\cup B\)の特性関数が定める値は、個々の集合の特性関数が定める値の最大値と一致します。特に、\(A\)と\(B\)が互いに素である場合には、すなわち、\begin{equation*}A\cap B=\phi
\end{equation*}である場合には、以下の関係\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :\chi _{A\cup B}\left( x\right) =\chi _{A}\left( x\right) +\chi _{B}\left(
x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\chi _{A\cup B}=\chi _{A}+\chi _{B}
\end{equation*}もまた成り立ちます。互いに素な集合の和集合の特性関数が定める値は、個々の集合の特性関数が定める値の和と一致します。

互いに素な集合\(A,B\)の和集合を非交和と呼び、これを、\begin{equation*}A\sqcup B
\end{equation*}で表記します。この表記を踏まえると、先の主張を、\begin{equation*}
\chi _{A\sqcup B}=\chi _{A}+\chi _{B}
\end{equation*}と表現できます。つまり、非交和の特性関数が定める値は、個々の集合の特性関数が定める値の和と一致します。

演習問題