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ルベーグ可測関数

可測関数と連続関数の合成関数は可測関数

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  • ルベーグ可測関数とボレル可測関数の合成関数はルベーグ可測です。また、ボレル可測関数どうしの合成関数はボレル可測です。さらに、可測関数と連続関数の合成関数は可測関数です。

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ルベーグ可測関数とボレル可測関数の合成関数はルベーグ可測

実数空間とルベーグ可測集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)が与えられた状況においてルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選び、ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。

実数空間と実数空間上のボレル集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)が与えられた状況においてボレル集合\(Y\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選び、ボレル可測関数\begin{equation*}g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。

関数\(f\)の値域が関数\(g\)の定義域の部分集合である場合には、つまり、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}が成り立つ場合には合成写像\begin{equation*}
g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( f\left( x\right) \right)
\end{equation*}を定めます。

以上の状況において、この合成関数\(g\circ f\)もまたルベーグ可測関数になることが保証されます。

命題（ルベーグ可測関数とボレル可測関数の合成関数はルベーグ可測）
ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義されたルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と、ボレル集合\(Y\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)上に定義されたボレル可測関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。\(f\left( X\right) \subset Y\)の場合には合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であるとともに、これはルベーグ可測関数になる。
証明

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例（ルベーグ可測関数とボレル可測関数の合成関数はルベーグ可測）
全区間\(\mathbb{R} \)はルベーグ可測かつボレル可測であるため、全区間上に定義されたルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)とボレル可測関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)をとることができます。この場合、明らかに合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であるとともに、先の命題よりこれもまたルベーグ可測関数になります。

ボレル可測関数\(g\)が拡大実数値関数である場合にも同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

実数空間とルベーグ可測集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)が与えられた状況においてルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選び、ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。

実数空間と実数空間上のボレル集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)が与えられた状況においてボレル集合\(Y\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選び、拡大実数値ボレル可測関数\begin{equation*}g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義します。

関数\(f\)の値域が関数\(g\)の定義域の部分集合である場合には、つまり、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}が成り立つ場合には合成写像\begin{equation*}
g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( f\left( x\right) \right)
\end{equation*}を定めます。

以上の状況において、この合成関数\(g\circ f\)が拡大実数値ルベーグ可測関数になることが保証されます。

命題（ルベーグ可測関数とボレル可測関数の合成関数はルベーグ可測）
ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義されたルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と、ボレル集合\(Y\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)上に定義された拡大実数値ボレル可測関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が与えられているものとする。\(f\left( X\right) \subset Y\)の場合には合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が定義可能であるとともに、これは拡大実数値ルベーグ可測関数になる。
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例（ルベーグ可測関数とボレル可測関数の合成関数はルベーグ可測）
全区間\(\mathbb{R} \)はルベーグ可測かつボレル可測であるため、全区間上に定義されたルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)と拡大実数値ボレル可測関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)をとることができます。この場合、明らかに合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が定義可能であるとともに、先の命題よりこれは拡大実数値ルベーグ可測関数になります。

 

ボレル可測関数どうしの合成関数はボレル可測

実数空間と実数空間上のボレル集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)が与えられた状況においてボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選び、ボレル可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。

実数空間と実数空間上のボレル集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)が与えられた状況においてボレル集合\(Y\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選び、ボレル可測関数\begin{equation*}g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。

関数\(f\)の値域が関数\(g\)の定義域の部分集合である場合には、つまり、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}が成り立つ場合には合成写像\begin{equation*}
g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( f\left( x\right) \right)
\end{equation*}を定めます。

以上の状況において、この合成関数\(g\circ f\)もまたボレル可測関数になることが保証されます。

命題（ボレル可測関数どうしの合成関数はボレル可測）
ボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)上に定義されたボレル可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と、ボレル集合\(Y\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)上に定義されたボレル可測関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。\(f\left( X\right) \subset Y\)の場合には合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であるとともに、これはボレル可測関数になる。
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例（ボレル可測関数どうしの合成関数はボレル可測）
全区間\(\mathbb{R} \)はボレル可測であるため、全区間上に定義されたボレル可測関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)と同じくボレル可測関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)をとることができます。この場合、明らかに合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であるとともに、先の命題よりこれもまたボレル可測関数になります。

ボレル可測関数\(g\)が拡大実数値関数である場合にも同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

実数空間と実数空間上のボレル集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)が与えられた状況においてボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選び、ボレル可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。

実数空間と実数空間上のボレル集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)が与えられた状況においてボレル集合\(Y\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選び、拡大実数値ボレル可測関数\begin{equation*}g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義します。

関数\(f\)の値域が関数\(g\)の定義域の部分集合である場合には、つまり、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}が成り立つ場合には合成写像\begin{equation*}
g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( f\left( x\right) \right)
\end{equation*}を定めます。

以上の状況において、この合成関数\(g\circ f\)もまた拡大実数値ボレル可測関数になることが保証されます。

命題（ボレル可測関数どうしの合成関数はボレル可測）
ボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)上に定義されたボレル可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と、ボレル集合\(Y\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)上に定義された拡大実数値ボレル可測関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。\(f\left( X\right) \subset Y\)の場合には合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であるとともに、これは拡大実数値ボレル可測関数になる。
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例（ボレル可測関数どうしの合成関数はボレル可測）
全区間\(\mathbb{R} \)はボレル可測であるため、全区間上に定義されたボレル可測関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)と拡大実数値ボレル可測関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)をとることができます。この場合、明らかに合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が定義可能であるとともに、先の命題よりこれもまた拡大実数値ボレル可測関数になります。

 

ルベーグ可測関数と連続関数の合成関数はルベーグ可測

実数空間とルベーグ可測集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)が与えられた状況においてルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選び、ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。

実数空間と実数空間上のボレル集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)が与えられた状況においてボレル集合\(Y\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選び、関数\begin{equation*}g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。ただし、\(g\)は連続関数であるものとします。

関数\(f\)の値域が関数\(g\)の定義域の部分集合である場合には、つまり、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}が成り立つ場合には合成写像\begin{equation*}
g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( f\left( x\right) \right)
\end{equation*}を定めます。

ボレル集合上に定義された連続関数はボレル可測であるため、先の命題より、以上の状況においてこの合成関数\(g\circ f\)もまたルベーグ可測関数になることが保証されます。

命題（ルベーグ可測関数と連続関数の合成関数はルベーグ可測）
ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義されたルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と、ボレル集合\(Y\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)上に定義された連続関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。\(f\left( X\right) \subset Y\)の場合には合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であるとともに、これはルベーグ可測関数になる。
例（ルベーグ可測関数と連続関数の合成関数はルベーグ可測）
全区間\(\mathbb{R} \)はルベーグ可測かつボレル可測であるため、全区間上に定義されたルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)と連続関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)をとることができます。この場合、明らかに合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であるとともに、先の命題よりこれもまたルベーグ可測関数になります。

連続関数\(g\)が拡大実数値関数である場合にも同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

実数空間とルベーグ可測集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)が与えられた状況においてルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選び、ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。

実数空間と実数空間上のボレル集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)が与えられた状況においてボレル集合\(Y\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選び、拡大実数値関数\begin{equation*}g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義します。ただし、\(g\)は連続関数であるものとします。

関数\(f\)の値域が関数\(g\)の定義域の部分集合である場合には、つまり、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}が成り立つ場合には合成写像\begin{equation*}
g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( f\left( x\right) \right)
\end{equation*}を定めます。

ボレル集合上に定義された拡大実数値連続関数は拡大実数値ボレル可測関数であるため、先の命題より、以上の状況においてこの合成関数\(g\circ f\)もまた拡大実数値ルベーグ可測関数になることが保証されます。

命題（ルベーグ可測関数と連続関数の合成関数はルベーグ可測）
ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義されたルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と、ボレル集合\(Y\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)上に定義された連続関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が与えられているものとする。\(f\left( X\right) \subset Y\)の場合には合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が定義可能であるとともに、これは拡大実数値ルベーグ可測関数になる。
例（ルベーグ可測関数と連続関数の合成関数はルベーグ可測）
全区間\(\mathbb{R} \)はルベーグ可測かつボレル可測であるため、全区間上に定義されたルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)と連続関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)をとることができます。この場合、明らかに合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が定義可能であるとともに、先の命題よりこれもまた拡大実数値ルベーグ可測関数になります。

 

ボレル可測関数と連続関数の合成関数はボレル可測

実数空間と実数空間上のボレル集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)が与えられた状況においてボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選び、ボレル可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。

実数空間と実数空間上のボレル集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)が与えられた状況においてボレル集合\(Y\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選び、関数\begin{equation*}g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。ただし、\(g\)は連続関数であるものとします。

関数\(f\)の値域が関数\(g\)の定義域の部分集合である場合には、つまり、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}が成り立つ場合には合成写像\begin{equation*}
g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( f\left( x\right) \right)
\end{equation*}を定めます。

ボレル集合上に定義された連続関数はボレル可測であるため、先の命題より、以上の状況においてこの合成関数\(g\circ f\)もまたボレル可測関数になることが保証されます。

命題（ボレル可測関数と連続関数の合成関数はボレル可測）
ボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)上に定義されたボレル可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と、ボレル集合\(Y\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)上に定義された連続関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。\(f\left( X\right) \subset Y\)の場合には合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であるとともに、これはボレル可測関数になる。
例（ボレル可測関数と連続関数の合成関数はボレル可測）
全区間\(\mathbb{R} \)はルベーグ可測かつボレル可測であるため、全区間上に定義されたボレル可測関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)と連続関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)をとることができます。この場合、明らかに合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であるとともに、先の命題よりこれもまたボレル可測関数になります。

連続関数\(g\)が拡大実数値関数である場合にも同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

実数空間と実数空間上のボレル集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)が与えられた状況においてボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選び、ボレル可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。

実数空間と実数空間上のボレル集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)が与えられた状況においてボレル集合\(Y\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選び、拡大実数値関数\begin{equation*}g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義します。ただし、\(g\)は連続関数であるものとします。

関数\(f\)の値域が関数\(g\)の定義域の部分集合である場合には、つまり、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}が成り立つ場合には合成写像\begin{equation*}
g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( f\left( x\right) \right)
\end{equation*}を定めます。

ボレル集合上に定義された連続な拡大実数値関数は拡大実数値ボレル可測関数であるため、先の命題より、以上の状況においてこの合成関数\(g\circ f\)もまた拡大実数値ボレル可測関数になることが保証されます。

命題（ボレル可測関数と連続関数の合成関数はボレル可測）
ボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)上に定義されたボレル可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と、ボレル集合\(Y\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)上に定義された連続関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が与えられているものとする。\(f\left( X\right) \subset Y\)の場合には合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が定義可能であるとともに、これは拡大実数値ボレル可測関数になる。
例（ボレル可測関数と連続関数の合成関数はボレル可測）
全区間\(\mathbb{R} \)はルベーグ可測かつボレル可測であるため、全区間上に定義されたボレル可測関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)と連続関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)をとることができます。この場合、明らかに合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が定義可能であるとともに、先の命題よりこれもまた拡大実数値ボレル可測関数になります。

 

演習問題

問題（可測関数と正弦関数の合成関数）
以下の関数\begin{equation*}
\sin \left( x^{2}+x+1\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はルベーグ可測ないしボレル可測でしょうか。議論してください。

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問題（可測関数と余弦関数の合成関数）
以下の関数\begin{equation*}
\cos \left( \frac{1}{x}\right) :\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はルベーグ可測ないしボレル可測でしょうか。議論してください。

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問題（可測関数と指数関数の合成関数）
以下の関数\begin{equation*}
e^{x^{2}+x+1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はルベーグ可測ないしボレル可測でしょうか。議論してください。

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問題（可測関数と対数関数の合成関数）
以下の関数\begin{equation*}
\ln \left( x+1\right) :\mathbb{R} \supset \left( -1,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はルベーグ可測ないしボレル可測でしょうか。議論してください。

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問題（ルベーグ可測関数どうしの合成関数）
ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義されたルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と、ルベーグ可測集合\(Y\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義されたルベーグ可測関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。\(f\left( X\right) \subset Y\)の場合には合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能ですが、この合成関数もまたルベーグ可測関数になることが保証されるでしょうか。議論してください。
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関連知識
ルベーグ可測関数の定義

ルベーグ集合上に定義された関数によるボレル集合の逆像がルベーグ可測であることが保証される場合、そのような関数はルベーグ可測であると言います。
拡大実数値ルベーグ可測関数の定義

ルベーグ集合上に定義された拡大実数値関数によるボレル集合の逆像がルベーグ可測であることが保証される場合、そのような関数はルベーグ可測であると言います。
ボレル可測関数の定義

ボレル集合上に定義された関数によるボレル集合の逆像がボレル可測であることが保証される場合、そのような関数はボレル可測であると言います。
合成関数

関数 f の値域が関数 g の定義域の部分集合である場合には、f の定義域のそれぞれの値 x に対して g(f(x)) を定めるような関数が定義可能であり、これを f と g の合成写像と呼びます。
拡大実数値ボレル可測関数の定義

ボレル集合上に定義された拡大実数値関数によるボレル集合の逆像がボレル可測であることが保証される場合、そのような関数はボレル可測であると言います。
1変数関数の微分可能性と連続性の関係

微分可能な関数は連続であり、右側微分可能な関数は右側連続であり、左側微分可能な関数は左側連続です。一方、これらの主張の逆は成立するとは限りません。
合成写像

集合 A から集合 B への写像 f:A→B と、集合 B から集合 C への写像 g:B→C が与えられたとき、A のそれぞれの要素 a に対して C の要素である g(f(a)) を像として定める写像を作ることができるため、これを f と g の合成写像と呼びます。
可測関数とほとんど至るところで等しい関数

ルベーグ測度空間は完備です。つまり、零集合であるようなルベーグ可測集合を任意に選んだとき、その任意の部分集合がルベーグ可測になります。したがって、ルベーグ可測関数とほとんどいたるところで等しい関数もまたルベーグ可測になります。

  • 2023年7月13日
  • 2023年7月13日
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