Real Number
実数論
実数論は、実数の構造とその上で定義される極限や連続性を研究する分野です。WIISでは、実数の定義、数列、極限、連続関数、級数、関数列などを中心に、解析学の基礎を体系的に学ぶための教材を提供しています。実数の完備性や収束の概念を丁寧に理解しながら、定義・定理・証明を通じて数学的な厳密さを身につけ、微分積分学や位相空間論をはじめとする大学数学全体の土台を築くことを重視しています。
実数論の分野
実数を無限小数として定義する場合、実数に関する議論はすべて無限小数に関する議論として行うことになり面倒です。代替的な方法として公理主義的なアプローチのもとで実数を定義します。ここでは実数を特徴づける公理について解説します。
数直線の位相は、実数の集合に「近さ」や「連続性」を与える基本的な構造です。開集合や近傍、内部・閉包・境界などの概念は、連続性や極限を厳密に理解するための土台となり、微分積分学や実数論、位相空間論へとつながります。
1変数関数は、実数を入力として一つの実数を出力する写像であり、実数論や微分積分学における基本的な研究対象です。連続性や極限、微分可能性、積分などの概念はすべて1変数関数を基礎として定義されます。
数列とは無限個の実数を順番に並べたものですが、その無限個の実数を足すことで得られる和を無限級数と呼びます。ただ、実際に無限個の実数を足すことはできないため、無限級数の値として部分和の極限を採用します。
学習ガイド
新着教材
連続関数によるコンパクト集合の像はコンパクト集合になることが保証されます。また、連続関数の定義域がコンパクト集合である場合には、コンパクト集合の逆像がコンパクト集合になることが保証されます。
関連分野
論理学は、数学における証明や推論の基礎となる分野です。命題論理や述語論理を通じて、論理式、真理値、量化記号、証明の考え方を体系的に解説します。大学数学や理論的な学問を学ぶための出発点となる教材を提供しています。
集合論は現代数学の共通言語です。集合、写像、関係、濃度、順序関係を中心に、数学のさまざまな分野を理解するための基礎概念を体系的に解説します。実数論、線形代数学、位相空間論などへ進むための土台を築きます。
微分積分学では、関数の変化や空間の構造を解析するための基礎理論を学びます。1変数関数からベクトル値関数、スカラー場・ベクトル場、最適化問題までを体系的に扱い、多変数解析学や最適化理論への橋渡しを行います。